量子点组装光子晶体光纤的结构与设计

我们对量子点组装光子晶体进行模拟分析。目前，常见的光子带隙光纤的包层空气孔排列方式有两种:三角形结构和蜂窝形结构。根据实验中光子晶体光纤的结构，我们采用三角形结构的光子晶体光纤进行理论模拟与分析，以便于理论分析与实验数据的结合。图6.10所示为模拟使用的组装量子点后的光子晶体光纤1/4截面的结构图。图中Λ为最近的两个空气孔中心的距离，r为包层空气孔的半径，R为中心缺陷处空气孔的半径，n1为空气孔中介质的折射率，n0为基底材料的折射率，n2为量子点组装层的折射率。图6.11为该光纤三角形包层结构的示意图。

图6.10 模拟量子点光子晶体光纤1/4截面图

图6.11 模拟光纤三角形包层结构的示意图

本模拟计算中，中心缺陷处空气孔的半径R为2.8μm，包层空气孔的半径r为1.26μm，最近的两个空气孔中心的距离Λ为2.67μm。这里在分析中采用无量纲变量，定义归一化频率ω'=ωΛ/2πc，归一化传播常数β'=βΛ/2π，归一化波长λ'=λ/Λ以及归一化的孔半径r/Λ，其中c是真空中光速，ω是光的频率，β是光的离面波矢量，即光纤中的传播常数，k0是自由空间波数，k0=2π/λ，模式的有效折射率neff=β/k0=β'/ω'。基底材料为石英玻璃，在进行无量纲计算时，不考虑材料色散，n0=1.444，空气孔中介质通常为空气，此时n1=1，量子点组装层的折射率为n2，有一定变化。

采用分析电子晶体的方法结构电磁理论来研究光子晶体的特性，包层结构中的{R1，R2}是空间坐标下的单位栅格矢量，如图6.11所示，所围成的菱形区域是周期结构的最小重复单位，定义为原胞，在倒易空间中的布里渊区进行分析。图6.12为三角形结构对应的第一布里渊区，图中三角形阴影部分为不可约布里渊区。在研究三角形结构的光子能带结构时，只需要对不可约布里渊区边界处的面内波矢量进行计算。

图6.12 三角形包层结构所对应的第一布里渊区(其中阴影部分为不可约布里渊区)

利用平面波展开方法和有限单元法，对量子点组装光子晶体光纤进行数值分析。电磁波的传导机制由Maxwell方程描述，不考虑自由电荷和电流，Maxwell方程表示为:

其中E、H、D、B分别为电场、磁场、电位移矢量和磁感应强度。本文中讨论的材料为非磁性材料，假设材料磁导率与真空中相同等于β0，

B (r，t) =μ0H (r，t ) (6.5)

假设真空中介电常数为ε0，介质中相对介电常数为ε( )r，则电位移矢量表示为:

D(r，t) =ε0ε(r)E(r，t) 　(6.6)

在光子晶体中，ε( )r 为周期函数，可以表示为:

ε(r+ai )=ε(r)(i=1，2)3　(6.7)，

其中 a{ }i 为光子晶体基本栅格矢量，其中平移任意矢量 a{ }i和介电常数保持不变。由于介电常数具有周期性，因此可以把ε-1( )r傅里叶级数展开。所以引入基本倒格子矢量{bi;i=1，2，}3 和倒格子矢量{G} :

ai·bj=2πδij　(6.8)

G=l1b1+l2b2+l3b3　(6.9)

其中{li}为任意整数，δij为Kroneckerδ函数。ε-1(r)展开成:

把(6.5)和(6.6)带入(6.1) ～(6.4)，并消去旋度方程的E(r，t) 或H(r，t)，得到波动方程如下:

设

E(r，t)=E(r)e-iwt　(6.13)

H(r，t) =H(r)e-iwt 　(6.14)

其中，ω为特征角频率，E(r)和H(r)为波方程的特征函数，其满足特征值方程:

由于ε为空间坐标r的周期函数，运用Bloch理论，E(r)和H(r)也具有和ε相同的周期，可以表示为:

E(r)=Ekn(r)=ukn(r)eik·r　(6.17)

H(r)=Hkn( )r =vkn( )reik·r　(6.18)

其中k为第一布里渊区的波矢量，n为能带系数，ukn( )r和vkn( )r为满足下列关系的周期矢量函数:

uknr+a( i)=ukn(r)(i=1，2，3.)　(6.19)

vknr+a( )i =vkn( )r(i=1，2，3.)　(6.20)

对ukn( )r和vkn( )r进行傅里叶展开，带入(6.17)和(6.18)中得到下列形式的特征函数:

把(6.21) 和(6.22) 分别带入(6.15) 和(6.16) 得到展开系数{Ekn(G) }和{Hkn(G) }的特征方程:

用数值方法求解上面两个特征方程中的一个，就可以获得特征模的色散关系及光子带结构。

但是由于平面波展开方法只能计算完整的周期结构，在计算引入缺陷的光子晶体结构时，需要采用超元胞近似的方法。在这种近似如图6.13所示，把带有缺陷的光子晶体结构看成一个元胞，然后把这种元胞按照原有周期结构的栅格方向周期排列，形成完整的周期结构。通过求解由超元胞构成的周期结构，获得缺陷模式。

图6.13 一个超元胞到由超元胞构成的周期结构

同时，对于相似的空间结构，只需要计算一次，然后利用比例关系把无量纲波长范围变换到实际需要的波长，这简化了量子点光子晶体光纤模拟计算过程［7，8］。

对光子晶体结构中的长度r和时间t做尺度变化:

其中a是栅格常数，r'和t'无量纲量。定义新的介电常数分布和电场矢量:

εsc(r' ) =ε(r ) 及Esc(r' ，t') =E (r，t )　(6.26)

则Esc满足如下无量纲波动方程:

其中Δ'为对r'求导数。这样如果两个光子晶体结构相似，相差一个长度单位，如栅格常数，通过比例变换可以得到相同的无量纲波动方程，因此具有相似的能带结构，频率和波矢量只差一个比例关系。

利用超元胞近似虽然可以获得缺陷模式，然而由于在计算中隐含采用了周期边界条件，因此这种方法不能计算损耗等常数。此外由于平面波展开法中采用频率作为特征值，所以不能直接考虑材料色散，通过结合有限元方法分析可以弥补了平面波展开方法的不足。

有限元方法分析中为了分析波导中电磁波的传导，需要求解下面的边界值问题:

其中，Ω为波导横截面，Γ1和Γ2分别为电场开路和磁场开路边界条件，k0为波矢量，为相对介电常数张量，在本文中可以简化表示为:

方程(6.28)所对应的边值问题的泛函为:

三角形边单元的结构，它有6个节点，1～3在三角形的角上，表示磁场的轴向分量Hz，4～6在三角形的边上，代表磁场的切向分量，如图6.14所示，可以用一阶多项式近似表示:

Hz=j{N(x，y)}T{Hz}e　(6.31)

图6.14 三角形边单元

其中

其中{Hz}e是每个单元中节点上的轴向磁场分量，N是每个三角形单元的形函数，Lk(k=1，2，3)是面积坐标，单元面积Ae和系数ak、bk、ck可以用下式计算:

ak=xlym-xmyl　(6.34)

bk=yl-ym　(6.35)

ck=xm-xl　(6.36)

其中，xk，yk(k=1，2，3) 为三角形角点1～3的笛卡儿坐标，下标k，l，m的值依次递增1然后除以3取余数。

其中，切向分量Hx和Hy分别近似表示为y和x的线性函数:

Hx=U( )y TH{ }t e　(6.37)

Hy=V( )x TH{ }t e　(6.38)

其中:

其中，{Ht}e为每个单元在横截面边上的变量。{U}、{V}为形函数矢量，系数˜ak、b˜k和˜ck定义为:

其中:

其中xk+3和yk+3(k=1，2，3)是三角形边上点4～6的笛卡儿坐标。

将要计算的区域分成离散的单元，如图6.15所示，在每个单元中，磁场H表示为:

H=[N]T{H}e　(6.46)

其中:

将(6.46)带入(6.30)中，并应用变分原理，获得如下特征值问题:

其中

将(2-2-24)带入(2-2-23)，可以得到下面的特征值问题:

其中

求解代数特征值方程(6.55)就可以获得特征值β2和特征向量Ht，由于这里采用传播常数β的平方为特征值，因此能够直接计算光纤中特定波长(频率)的传导特性，并可以通过Sellmeier方程直接考虑材料色散［9，10］。

图6.15 量子点组装光子晶体光纤的三角形单元有限元离散网格图及局部放大图

为了计算损耗，在边界采用各向异性PML(perfectly matchedlayer)边界条件。对于光子晶体光纤，带有PML的磁场波动方程变为:

其中

当取光子晶体光纤的1/4区域进行计算是，PML边界层可以分成3个区域，如图6.16所示。

图6.16 带有PML边界条件的量子点组装光子晶体光纤计算区域

表6.1显示了在三个区域中sx和sy的定义，其中

其中n是与PML相邻材料的折射率，λ是波长，d是PML层的厚度，ρ是到PML边界的距离。

其中σmax是最大传导率［11-13］。

表6.1 PML区域中sx和sy的值