数制与码制

1．2．2．1 数制

数制，就是数的进位制。按照进位方法的不同，就有不同的计数体制。例如，有“逢十进一”的十进制计数，有“逢八进一”的八进制计数，还有“逢十六进一”的十六进制计数和“逢二进一”的二进制计数等。

1．十进制计数

十进制数(Decimal number)是人们在日常生活中最常用的一种数制，它采用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个基本数码，计数规则是“逢十进一”或“借一当十”，即9+1=10。

在十进制数里，同一数码在不同位置上所表示的数值是不同的。例如，“888”虽然三个数码都是“8”，但左边的是百位数，它表示800，即8×102; 中间的一位是十位数，它表示80，即8×101; 右边的一位是个位数，它表示8，即8×100，用数学式可表示为888=8×102+8×101+8×100

对于十进制数的任一n位数正整数M，可以写成以10为底的幂求和的展开形式，即

M=an－1×10n－1+an－2×10n－2+…+a1×101+a0×100

式中，n是十进制数的位数(n=1、2、3、4、…)，10n－1、10n－2、…、101、100是各位数的“位权”，an－1、an－2、…、a1、a0是各位数的数码，由具体数字来决定。

由上可见，十进制数是由数码的值和位权来表示的。需要指出的是，十进制数及运算是大家熟悉的，但在数字电路中，采用十进制计数很不方便。因为在数字电路中，是通过电路的不同状态来表示数码的，而要使电路具有十个严格区分的状态来表示0、1、2、…、9十个数码，这在技术上是困难的。在电路中，最容易实现的是两种状态。如电路的“通”与“断”、电平的“高”与“低”、脉冲的“有”与“无”，在这种条件下采用只有两个数码0和1的二进制将是很方便的，因此，在数字电路中，广泛采用二进制数。

2．二进制计数

(1)二进制数的特点

二进制数(Binary number)只有0、1两个数码，基数为2，计数规则是“逢二进一”或借“一当二”，即(1+1)2=(10)2。

任何一个二进制数P，转换成十进制，可以写成

P=an－1×2n－1+an－2×2n－2+…+a1×21+a0×20

式中，n是二进制数的位数，2n－1、2n－2、…、21、20是各位数的“位权”，an－1、an－2、…、a1、a0是各位数的数码。例如，二进制数(11010)2的展开式可写成

P=a4×24+a3×23+a2×22+a1×21+a0×20

=1×24+1×23+0×22+1×21+0×20

(2)二进制数的四则运算

①加法运算

运算法则: “逢二进一”。

例1－1 求(10101)2+(1101)2=?

解

②减法运算

减法是加法的逆运算，运算法则: “借一当二”。

例1－2 求(1101)2－(110)2=?

解

③乘法运算

运算法则: 各数相乘再作加法运算。

例1－3 求(1011)2×(101)2=?

解

④除法运算

运算法则: 各数相除后，再作减法运算。

例1－4 求(11001)2÷(101)2=?

解

3．二进制数和十进制数的相互转化

(1)二进制数化为十进制数

把二进制数按权展开，然后把所有各项的数值按十进制相加即可得到等值的十进制数，即“乘权相加法”。

例1－5 将二进制数(1010)2化为十进制数。

解 (1010)2=(1×23+0×22+1×21+0×20)10

=(23+0+21+0)10

=(10)10

(2)十进制数化为二进制数

方法是把十进制数逐次地用2除，并依次记下余数，一直除到商数为零。然后把全部余数，按相反的次序排列起来，就是等值的二进制数。即“除2取余倒记法”。

例1－6 将十进制数(14)10化为二进制数。

解

1．2．2．2 码制

在数字系统中，由0和1组成的二进制数码不仅可以表示数值的大小，而且还可以表示数值的信息。这种具有特定含义的数码称为二进制代码。编码是给二进制数组定义特定含义的过程，例如用二进制数来描述电梯动作，可以用二进制数D=D1D0来表示，D=00表示停止，D=01表示上升，D=10表示下降。这些关系的定义可以有多种方法，一旦定义后，D的不同值就代表了不同的含义。在日常生活中编码的种类很多，如运动员的编号、学生的学号、住房门牌号等。

由于十进制数码(0～9)不能在数字电路中运行，所以需要转换为二进制数。常用4位二进制数进行编码来表示1位十进制数。这种用二进制代码表示十进制数的方法称为二－十进制编码，简称BCD码(Binary Coded Decimalsystem)。

由于4位二进制代码可以有16种不同的组合形式，用来表示0～9十个数字，只用到其中10种组合，因而编码的方式很多。其中8421码属于有权码，每一位的权是固定的，和二进制数各位的权一样，从高到低依次为8、4、2、1，每个代码的各位数值之和就是它所表示的十进制数，由于其便于记忆，因而应用较广。其他编码如5421码、2421码、余3码、格雷码等，限于篇幅，不再介绍。常用的BCD编码见表1－1。

表1－1 常用的BCD编码