逻辑函数及其表示方法

1．2．3．1 逻辑代数

逻辑是指事物的因果关系，或者说条件和结果的关系。在数字电路中，利用输入信号反映条件，用输出信号反映结果，这些因果关系可以用逻辑运算来表示，也就是用逻辑代数来描述。

逻辑代数又称布尔代数，是研究逻辑电路的数学工具。逻辑代数的变量称为逻辑变量，用大写字母表示，取值只有两个: 1和0。这里的1和0不表示数量的大小，而是表示两种对立的逻辑状态。

逻辑代数有两种逻辑体制: 若规定以高电平表示逻辑1，低电平表示逻辑0，这种规定称正逻辑。反之，若规定用低电平来表示逻辑1，高电平表示逻辑0，这种规定称负逻辑。对于同一电路，可以采用正逻辑，也可以采用负逻辑，但应事先规定。即使同一电路，由于选择的体制不同，功能也不相同。若无特殊说明，一般采用正逻辑。

1．2．3．2 基本逻辑运算

用逻辑变量表示输入，逻辑函数表示输出，结果与条件之间的关系称为逻辑关系。基本的逻辑关系有3种: 与、或、非。与之相应，逻辑代数中有3种基本运算: 与、或、非运算。

1．与逻辑(与运算)

当决定一件事情的所有条件全部具备之后，这件事才会发生，这种因果关系称为与逻辑。

例如在图1－3所示的电路中，只有开关A与B全部闭合时，灯Y才会亮。显然对灯亮来说，开关A与开关B闭合是“灯亮”的全部条件。所以，Y与A和B的关系就是与逻辑的关系。

图1－3 与逻辑电路实例

功能表(Function table): 把开关A、开关B和灯Y的状态对应关系列在一起，所得到的就是反映电路基本逻辑关系的功能表，如表1－2所示。

表1－2 与逻辑功能表

真值表(Truth table): 用逻辑1和逻辑0分别表示开关和电灯有关状态的过程，称为状态赋值。通常把结果发生和条件具备用逻辑1表示，结果不发生和条件不具备用逻辑0表示。如果用1表示开关A、开关B闭合，0表示开关断开，1表示灯Y亮，0表示灯Y灭，则根据表1－2就可列出反映与逻辑关系的真值表，如表1－3所示。

表1－3 与逻辑真值表、逻辑符号及逻辑规律

上述逻辑变量的与逻辑关系可以表示为

Y=A·B

读作Y等于A与B。式中，“·”是与逻辑的运算符号，在不致混淆的情况下，常常可省去不写。与逻辑又称为逻辑乘。

2．或逻辑(或运算)

在决定一件事情的所有条件中，只要有一个条件具备，这件事就会发生，这样的因果关系称为或逻辑。

例如在图1－4所示的电路中，只要开关A或开关B有一个合上，灯Y就会亮。或逻辑的真值表、逻辑符号及逻辑规律如表1－4所示。

图1－4 或逻辑电路实例

表1－4 或逻辑真值表、逻辑符号及逻辑规律

上述两个变量的或逻辑可以表示为

Y=A+B

读作Y等于A或B。式中，“+”表示“或”运算，即逻辑加法运算。因此或逻辑又称为逻辑加。

3．非逻辑

非就是反，就是否定。只要决定一事件的条件具备了，这件事便不会发生; 而当此条件不具备时，事件一定发生，这样的因果关系称为逻辑非，也就是非逻辑。

在图1－5所示的电路中，开关A闭合(A=1)时，灯Y灭(Y=0); 开关A断开(A=0)时，灯Y亮(Y=1)。非逻辑的真值表、逻辑符号及逻辑规律如表1－5所示。

图1－5 非逻辑电路实例

表1－5 非逻辑真值表、逻辑符号及逻辑规律

上述关系可表示为

读作Y等于A非，或者Y等于A反。A上面的一横就表示非或反。这种运算称为逻辑非运算，或者称逻辑反运算。

上面介绍的3种基本逻辑关系可以用一些电子电路来实现，这些电路统称为门电路。能够实现与逻辑运算的电路称为与门(AND gate)，能够实现或逻辑运算的电路称为或门(OR gate)，能够实现非逻辑运算的电路称为非门(NOT gate)。

在工程实际应用中，逻辑问题比较复杂，因此在数字逻辑电路中常常命名一些具有复合逻辑函数功能的门电路。含有两种或两种以上逻辑运算的逻辑函数称为复合逻辑函数。

表1－6列出了常用的复合逻辑门的名称、功能、逻辑符号及逻辑函数表达式。工程以及技术人员要熟悉这些常用的复合逻辑函数的逻辑符号以及它们的逻辑函数表达式。

表1－6 常用的复合逻辑函数

续表1－6

表中，与非逻辑是由与运算和非运算组合而成的，运算顺序是先与后非; 或非逻辑是由或运算和非运算组合而成的，运算顺序是先或后非; 与或非逻辑是由与运算、或运算、非运算组合而成的，运算顺序为先与再或最后非。

1．2．3．3 逻辑函数的表示方法及相互转换

从以上几种逻辑关系可以看出，在逻辑电路中，逻辑变量分为两种: 输入逻辑变量和输出逻辑变量。如果将原因作为输入变量，将结果作为输出变量，那么当输入的取值确定之后，输出的取值便随之唯一地确定。描述数字逻辑电路输入变量和输出变量之间的因果关系的表达式称为逻辑函数，可表示为

Y=F(A，B，C，…)

任何一个具体事物的因果关系都可以用一个逻辑函数来描述。由于逻辑变量只有0、1两种取值，因此逻辑函数是二值逻辑函数。

常用的逻辑函数表示方法有五种: 逻辑真值表(简称真值表)、逻辑函数式(也称逻辑式或函数式)、逻辑图、波形图和卡诺图，本节只介绍前面三种方法。

1．逻辑真值表

将输入变量所有的取值下对应的输出值找出来，列成表格，即可得到真值表。

例1－7 在一个举重比赛中，比赛规则规定，在一名主裁判和两名副裁判中，必须有两人以上(而且必须包括主裁判)认定运动员的动作合格，试举才算成功。请列出其真值表。

解 设A表示主裁判的判定，B和C表示两名副裁判的判定，“1”表示裁判认为动作合格，“0”表示判定动作不合格; Y表示运动员试举是否成功，以“1”表示试举成功，以0表示试举不成功。根据题意，列出真值表见表1－7。

2．逻辑函数式

把输出变量与输入变量之间的逻辑关系用与、或、非等逻辑运算符号组合起来得到的表达式，即为逻辑函数式。

仍以例1－7为例，该逻辑函数用逻辑函数式表示为Y=A(B+C)。

3．逻辑图

将逻辑函数中各变量之间的逻辑关系用与、或、非等逻辑符号表示形成的图形，称为逻辑图。例1－7中的逻辑函数用逻辑图表示，如图1－6所示。

表1－7 真值表

4．各种表示方法间的互相转换

既然同一个逻辑函数可以用三种不同的方法描述，那么这三种方法之间必能相互转换。经常用到的转换方式有以下几种。

(1)真值表与逻辑函数表达式的相互转换

①由真值表写出逻辑函数表达式

由真值表写出逻辑函数表达式的方法是: 将真值表中每一组函数值Y为1的输入变量都写成一个乘积项，在这些乘积项中，输入变量取值为1用原变量表示，取值为0用反变量表示，将这些乘积项相加，就得到了逻辑函数表达式。

图1－6 逻辑图

②由逻辑函数表达式列出真值表

由逻辑函数表达式列出真值表的方法是: 将输入变量的各种可能取值代入逻辑函数表达式中运算，求出函数的值，并对应地填入表中，即可得到真值表。

例1－8 已知真值表如表1－8所示，试写出对应的逻辑函数表达式。

表1－8 例1－8的真值表

解 由真值表可见，只有当输入变量A、B取值不同时，输出变量Y才为1。按上述转换方法，可写出逻辑函数表达式为Y=¯AB+A¯B。

(2)逻辑函数表达式与逻辑图的相互转换

①根据逻辑函数表达式画出逻辑图

由逻辑函数表达式画出逻辑图的方法是: 用逻辑符号代替逻辑函数表达式中的逻辑运算符号，并正确连接起来，所得到的电路图即为逻辑图。

②由逻辑图写出逻辑函数表达式

由逻辑图写出逻辑函数表达式的方法是: 从输入到输出逐级写出逻辑图中每个逻辑符号所表示的逻辑函数式，就可以得到对应的逻辑函数表达式。

例1－9 已知逻辑函数表达式为Y=¯AB+A¯B，请画出对应的逻辑图。

解 将式中所有与、或、非的运算符号用逻辑符号代替，按照运算优先顺序正确连接起来，就可以画出图1－7所示的逻辑图。

图1－7 例1－9的逻辑图