集合及其表示

所谓集合，就是把人们直观的或想象中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起组成的一个整体。组成集合的各个对象，称为这个集合的元素或成员。

通常，用大写字母A，B，C，…表示集合，用小写字母a，b，c，…表示元素。用如下的字母表示常用的集合：

N——自然数的集合（包含0）；

Nm——小于m的自然数集合，即｛0，1，…，m－1｝；

Z——整数的集合；

Z＋——正整数的集合；

Z－——负整数的集合；

R——实数的集合；

R＋——正实数的集合；

R－——负实数的集合；

Q——有理数的集合；

C——复数的集合。

从集合和元素的概念出发来定义一种集合和元素之间的最简单的关系——“属于”关系。

在集合与元素之间的使用可区分性还表现为如下的意义：设a为任一个对象，A为任意一个集合，则在a和A之间有且仅有以下两种情况中的一个出现：

（1）a为A的元素，记作“a∈A”，并称为“a属于A”或“A含有a”；

（2）a不为A的元素，记作“a∉A”，并称“a不属于A”。

定义3．1 设A为任一集合，用｜A｜（或＃A）表示A含有不同元素的个数，也称为集合A的基数，有：

（1）若｜A｜＝0，则称A为空集合，记为∅；

（2）若A包含所讨论问题的全部元素，则称A为全集合，记为U；

（3）若｜A｜≠0，则称A为非空集合；

（4）若｜A｜为某自然数，则称A为有限集合；

（5）若｜A｜为无穷，则称A为无限集合。

集合常用的表示方法有两种。

1．列举法

这种方法是将集合中的元素一一列举出来，或者列出足够多的元素以反映集合中成员的特征，并用花括号将元素括起来，其表示形式如：

A＝｛a1，a2，…，an｝或A＝｛a1，a2，a3，…｝

2．描述法

这种方法是用一个条件来描述集合中元素具有的共同性质。这个条件可以是一句话或一个或多个表达方式。其表示形式如：

A＝｛x｜P（x）｝或A＝｛x：P（x）｝

其中P（x）表示“x满足性质P”或“x具有性质P”。A＝｛x｜P（x）｝或A＝｛x：P（x）｝的意义是：集合A由且仅由满足性质P的那些对象所组成，也就是说a∈A当且仅当a满足性质P （或P（a）为真）。若a不属于该集合，则P（a）为假。

定义3．2 设A，B为任意两个集合，则有：

（1）对于每个a∈A皆有a∈B，那么称A为B的子集或B包含A，也称B为A的母集，记作A⊆B或B⊇A。

（2）若A⊆B且B⊆A，则称A和B相等，记作A＝B；否则，称A和B不相等，并记作A≠B。

（3）若A⊆B且A≠B，则称A为B的真子集或B真包含A，记作A⊂B或B⊃A。

定理3．1 设A，B和C为任意三个集合，则有：

（1）∅⊆A；

（2）A⊆A；

（3）若A⊆B且B⊆C，则A⊆C；

（4）若A⊇B且B⊇C，则A⊇C。

定理3．2 空集是唯一的。

定义3．3 设A为任意集合，令P（A）＝｛x｜x⊆A｝，称P（A）为A的幂集，有时也记为2A，或称为幂集公理。

定理3．3 若A为有限集，则｜P（A）｜＝2｜A｜。

定理3．4 设A，B为任意两个集合，则有：

（1）∅∈P（A）；

（2）A∈P（A）；

（3）若A⊆B，则P（A）⊆P（B）。