函数关系式的取值范围怎么求

定义5．1 设f是从集合X到Y的一个关系，如果对每一个x∈X，有唯一的y∈Y，使得（x，y）∈f，则称关系f为从X到Y的函数，记为f：X→Y。当X＝X1×…×Xn时，称f为n元函数。函数也称映射或变换。

人们常把（x，y）∈f或xfy这两种关系表示形式，在f为函数时改为y＝f（x）。这时称x为自由变元，y为函数在x处的值；也称y为x的像，x为y的源像。注意，函数的上述表示形式不适用于一般关系，因为对关系R，可能有（x，y1）∈R，（x，y2）∈R，但y1≠y2。若采用y1＝R（x），y2＝R（x）的表示方法，将产生y1＝R（x）＝y2的矛盾。

由函数的定义可知，从A到B的函数f与一般从A到B的二元关系有如下区别：

（1）A的每一元素都必须是f的序偶的第一坐标，即dom（f）＝A，此条件称为函数的像的存在性。

（2）若f（x）＝y，则函数f在x处的值是唯一的，即（f（x）＝y）∧（f（x）＝z）⇒（y＝z），此条件称为函数的像的唯一性。

通常函数有以下三种表示方法：

（1）列表法：由于函数具有“单值性”，即对任一自变量有唯一确定的函数值，因此可将其序偶排列成一个表，将自变量与函数值一一对应起来。列表法一般适用于定义域为有限集合的情况。

（2）图标法：用笛卡儿平面上点的集合表示函数。图标法一般适用于定义域有限的情况。

（3）解析法：用等式y＝f（x）表示函数，或关系的集合表示法。

定义5．2 设f：A→B，g：C→D，若A＝C，B＝D，且对每一x∈A，有f（x）＝g（x），则称函数f等于g，记为f＝g。若A⊆C，B＝D，且对每一x∈A，有f（x）＝g（x），则称函数f包含于g，记为f⊆g。

定理5．1 设A与B是有限集，基数分别为m和n，令

BA＝｛f｜f：A→B｝

则｜BA｜＝nm。

定义5．3 设f为从集合X到Y的函数，A⊆X，B⊆Y，令f（A）＝｛y｜有x∈A使y＝f（x）｝，f－1（B）＝｛x｜有y∈B使f（x）＝y｝，则称f（A）为A在f下的像，f－1（B）为B在f下的源像。

定义5．4 设A是集合，令IA＝｛（x，x）｜x∈A｝，则称IA为A上的恒等函数。