集合的基数

定义5．10 设A与B为集合，若存在从A到B的双射，则称A和B为等势的（或同基的），或说A和B对等，记为A～B。

等势关系具有如下性质（前三条性质说明等势关系是等价关系）：

性质5．1 A～A。

性质5．2 若A～B，则B～A。

性质5．3 若A～B，B～C，则A～C。

性质5．4 对于集合序列A1，A2，…与B1，B2，…，若满足

（1）∀i≠j，Ai∩Aj＝∅，Bi∩Bj＝∅；

（2）n＝1，2，…，An～Bn。

定义5．11 设Nn＝｛0，1，2，…，n－1｝，A为任一集合。若A＝∅或A与某个Nn等势，则称A为有限集；否则称A为无限集。

定理5．12 自然数集N为无限集。

定义5．12 （1）对于有限集合A，与其等势的那个唯一的自然数称为A的基数，记为｜A｜（或［A］，或＃A，或Card A）。

（2）自然数集N的基数记为א0（读作阿列夫零）。

（3）实数集R的基数记为א（读作阿列夫）。

定义5．13 与自然数集N等势的集合叫作可数集或可列集，其基数记为א0。与自然数集N不等势的无限集叫作不可数集或不可列集。

定理5．13 集合A为可数集的充要条件是A的元素可以排列成无限序列的形式（即A＝｛a0，a1，…，an，…｝）。

定理5．14 任一无限集必含有可数子集。

定理5．15 任一无限集必与其某一真子集等势。

定理5．16 可数集的任何无限子集是可数的。

定理5．17 两个可数集的并集仍是可数集。

定理5．18 集合R1＝｛x｜x∈R，0（x（1｝是不可数集。

定理5．19 实数集R是不可数集。

定义5．14 设A和B为任意两个集合。

（1）如果A～B，就称A与B的基数相等，记为｜A｜＝｜B｜；

（2）如果存在从A到B的单射，则称A的基数小于或等于B的基数，记为｜A｜≤｜B｜，或称B的基数大于或等于A的基数，记为｜B｜≥｜A｜；

（3）如果｜A｜≤｜B｜，且｜A｜≠｜B｜，则称A的基数小于B的基数，记为｜A｜＜｜B｜，或称B的基数大于A的基数，记为｜B｜＞｜A｜。

定理5．20（Zarmelo定理） 设A和B是任意集合，则以下三条结论中恰有一条成立：

（1）｜A｜＜｜B｜； （2）｜B｜＜｜A｜； （3）｜A｜＝｜B｜。

定理5．21（Cantor－Schroder－Bernstein定理） 设A和B是任意集合，如果｜A｜≤｜B｜且｜B｜≤｜A｜，则｜A｜＝｜B｜。

定理5．22 设A是有限集，则｜A｜＜א0＜א。

定理5．23 设A是无限集，则א0≤｜A｜。

证明 因为A是无限集，所以A必含有一个可数子集B，作函数f：B→A，使得f（x）＝x。由f是单射，故｜B｜≤｜A｜，但｜B｜＝א0，因此א0≤｜A｜。

定理5．24（Cantor定理） 设A是一个集合，T＝P（A），则｜A｜＜｜P（A）｜。