中考数学专题复习——定义设为代数结构

定义7．1 设＜G；＊＞为代数结构，其中G是一个非空集合，＊是G上的一个二元运算，若

1）运算＊满足结合律，即（a＊b）＊c＝a＊（b＊c），∀a，b，c∈G，

2）运算＊存在单位元e∈G：e＊a＝a＊e＝a，∀a∈G，

3）对任意a∈G，存在逆元a－1∈G，使得a＊a－1＝a－1＊a＝e，则称代数结构＜G；＊＞是一个群。

对于群＜G；＊＞任意的两个元素a，b∈G，均有a＊b＝b＊a，则称＜G；＊＞为交换群或称为阿贝尔群。

如果一个群只包含有限个元素，则称为有限群，否则称为无限群。若有限群G的元素个数为n，则称n为群G的阶，并记为｜G｜＝n。若n＝1，则称G为平凡群。无限群的阶称为无限。

定理7．1 设＜G；＊＞是一个群。

1）运算＊满足消去律；

2）对于任意a，b∈G，方程a＊x＝b，y＊a＝b对于未知量x、y皆有唯一解；

3）对于任意a，b∈G，有（a－1）－1＝a，（a＊b）－1＝b－1＊a－1。

由归纳法很容易将结论（a＊b）－1＝b－1＊a－1推广到任意n个元素的情形，即对于任意a1， a2，…，an∈G，有：

（a1＊a2＊…＊an）－1＝an－1＊an－1－1＊…＊a2－1＊a1－1

特别是当＜G；＊＞是阿贝尔群时，有：

（a1＊a2…＊an）－1＝a1－1＊a2－1＊…＊an－1

定义7．2 设a为群G的一个元素，使

an＝e

的最小正整数n，称为元素a的阶或周期。若这样的n不存在，则称元素a的阶为无限，常记为∞。元素a的阶常用｜a｜表示。

定理7．2 设a是群＜G；＊＞中的一个阶为r的元素，k是一个整数，则有：

1）ak＝e当且仅当r｜k；

2）a与a－1的阶相同；

3）r小于或等于群＜G；＊＞中元素的个数。

定义7．3 群G的非空子集H如果对于G的运算也成一个群，则称H为G的子群。

如果｜G｜＞1，则群G至少有两个子群，一个为由单位元e作成的子群｛e｝（以后常记为e），另一个是G自身，这两个子群被称为群G的平凡子群。如果还存在其他子群，则被称为非平凡子群或真子群。

定理7．3 1）群G的非空子集H对于G的运算构成一个子群的充要条件是：任意a，b∈H，有ab－1∈H。

2）H是群G的非空有限子集，H对于G的运算构成一个子群的充要条件是：任意a，b∈H，有ab∈H。