置换群与循环群

定义7．4 非空集合X到自身的映射，称为集合X的一个变换。根据这个映射的性质，分别称这个变换为满射变换、单射变换或双射变换。由X的若干变换关于变换的乘法（复合运算）所构成的群，称为X的一个变换群；由X的若干个双射变换关于变换的乘法所构成的群，称为X的一个双射变换群。

定义7．5 设X为一个非空集合，X的全体双射变换构成的群S（X）又被称为X上的对称群，当｜X｜＝n时，记为Sn，并称为n次对称群。Sn的任意一个子群，都称为一个X上的n次置换群，简称X上的置换群。

定理7．4（Cayley定理） 任意一个群都同一个双射变换群同构。

定义7．6 设G是X上的一个置换群，任取g∈G，x∈X，称g（x）为群元素g对x的作用，并称G作用在集合X上。设G为作用在集合X上的群，对于任意x，y∈X，如果存在g∈G，使得g（x）＝y，则称x，y具有等价关系R。任意x∈X，R在X上定义的等价类

｛g（x）｜g∈G｝

常常称为X在G作用下的一个轨道，简记为Ω（x），x称为此轨道的代表元。以x为不动点的群G的所有元素的集合，即

｛g｜g∈G，g（x）＝x｝

称为G中使x保持不动的不动置换类，简记为Fix G（x）。

定理7．5 G是作用在集合X上的一个有限群，对于任意x∈X，有：

｜G｜＝｜Ω（x）｜｜Fix G（x）｜。

定理7．6（Burnside定理） G是作用在有限集合X上的一个有限群，X在G作用下的轨道数为：

其中，Fix X（g）＝｛x｜x∈X，g（x）＝x｝，即在g作用下所有的不动点集合。

定理7．7（Plóya计数原理） G是作用在集合X上的一个有限群，如果用k种颜色对X中元素着色，则本质不同的着色数为：

其中，m（g）为＜g＞作用在X上的轨道数量，＜g＞称为循环群。

定义7．7 如果群G可以由一个元素a生成，即G＝｛ak｜k∈Z｝，则称G为由a生成的一个循环群，记为G＝＜a＞，并称a为G的一个生成元。

若群的代数运算用加号表示时，则指数可以改为倍数的形式，即＜a＞＝｛ka｜k∈Z｝。

定理7．8 设＜a＞是任意一个循环群，有

1）若｜a｜＝∞，则＜a＞与整数加群Z同构；

2）若｜a｜＝n，则＜a＞与n次单位根群Un＝＜ε＞（ε为n次单位根）同构。