公平切蛋糕

数学概念：公平分配

下次参加别人生日聚会的时候，细想一下，其实简单的切蛋糕当中也蕴含着大量的数学知识。如何确保每个人都能得到令自己满意的那一份，而又不觉得其他人得到的比自己更多呢？加之并不是每个人都喜欢一样的蛋糕，这个问题就更复杂了：有的人喜欢糖霜，有的人不喜欢；有的人喜欢花朵图案，有的人喜欢字母。数学家们试图回答的问题是，有没有一种分法，可以让每个人都得到令自己满意的一块？事实上，两个人分蛋糕，理想的分法必须满足三个条件：

1．任何一方都不想要对方的蛋糕，这种方法被称为无妒忌。

2．不可能再让任何一方更满意，否则就要让其中一方不满意，这是效率。

3．分配是公平的，也就是说，对于任何一方来说，他们得到的蛋糕具有相同的价值（举例来说，假如是三个人分蛋糕，而且每个人都喜欢糖霜上的花朵图案，那么，公平的分法就是每个人得到的那一块都有一个花朵图案）。

2014年，两名研究者———美国联合学院的朱利叶斯·巴巴内尔和纽约大学的史蒂文·布拉姆斯在《数学情报》上公布了一种满足上述三个条件的分法，可以完美地解决分蛋糕问题（但他们的方法假定只有两个人分）。首先，这种分法考虑到蛋糕是“异质”的，也就是说，蛋糕的不同部分对两个人有不同的价值。例如，一个人可能喜欢蛋糕外围的大量糖霜，另一个人可能更喜欢蛋糕本身。其次，这种分法也需要一个第三者来当裁判。最后，这种分法还涉及所谓的概率密度函数，也就是表示每个人偏好蛋糕不同部分的数学方法。

根据这种方法，每个人首先向裁判提交自己的概率密度函数，裁判（电脑、大姐姐、街上的陌生人和父母等都可以充当裁判）在蛋糕上标出概率密度函数交叉的地方，也就是每个人的偏好相互重合的地方，如果这时每个人都能得到同样大小的蛋糕，就算分好了，可以开吃了。假设一块蛋糕有两种味道，甲喜欢巧克力味，乙喜欢香草味，如果这两种味道各占一半，裁判只需将蛋糕沿着它们的边界切开，让每个人拿他们更喜欢的那一半。如果这两种味道并不是各占一半，分到更大块的人可以分一部分给另一个人，可以先从他的偏好度最低的区域开始，一直继续这个过程，直到每个人得到的部分大小相同。

除了能帮两个人公平分蛋糕的布拉姆斯巴巴内尔法以外，还有一种更普遍的方法，可以帮助不限数量的人将蛋糕分成无数份，这种方法是由布拉姆斯和另一位名叫艾伦·泰勒的数学家发明的，并发表在1995年1月的《美国数学月刊》上。这种方法很复杂，大意是甲切完了以后，如果乙觉得甲切得不公平，他可以对其中一部分做些微调，让蛋糕的大小看起来更相等，然后由丙来调整，接着是丁，依此类推。此外，这种分法可以确保最后会剩下几块，如果有人觉得自己被骗了，可以从剩下的几块中选一块，这就至少会跟他想要的那块一样大。

非可加性效用

公平分配方案的假定条件是非可加性效用，也就是说，一方面，如果我喜欢糖霜，我会想要很多，越多越好。另一方面，如果吃糖霜给我带来的满足感不是可加的，也就是说，它是非可加性的效用，那么，达到一定程度后，我的满足感就不会再增加了。研究者发现，在非可加性效用的情况下，公平分配方案就会失灵。