函数概念发展史的概述

函数概念发展史的概述

张春花

摘　要:本文通过文献综述了解函数概念的发展经历了漫长的历史进程，概括出从函数概念的产生到目前大致经历了三个阶段，即变量说、对应说、关系说。

关键词:函数概念　变量　对应　关系

函数是数学中最重要的概念之一，有举足轻重的地位，了解函数概念的发展历史，对于每一个数学教育工作者是很有必要的，本文试着给出关于函数概念的发展史的简短的概述，仅供参考。

从文献中得知，早在古希腊时期，数学家们开始同函数打交道，只是没有给出一般函数的定义。如在14世纪，法国数学家奥莱斯姆(Oresme)用坐标表示点，就使用图形表示依时间t而变的x，并把“t”与“x”分别称为“经度”与“纬度”。马克思曾经认为，函数概念来源于代数中不定方程的研究。那时，杰出的数学家丢番图对不定方程已有相当程度的研究，据此，可以认为函数概念至少在那时已经萌芽。真正导致函数概念得以迅速发展则是在16世纪以后，特别是由于微积分的建立，伴随这一学科的产生、发展和完善，函数概念经历了漫长曲折，渐渐抽象化的、完善化的发展历程，大致经历了如下三个阶段:

一、第一个阶段——变量说

1.几何观念下的函数

伽利略(Galileo)在力学著作《两门新科学》中用文字语言叙述了一些函数关系。如“从静止开始以定常加速度下降的物体，其经过的距离与所用时间的平方成正比”;“沿着同高度但不同坡度的倾斜平板下滑的物体，其下滑的时间与平板的长度成正比”^[1]等这些只需要引进适当的数学符号就可表示为简洁的数学关系，可以看作是早期函数的雏形。

1637年，笛卡尔(Descartes)在《几何学》中用运动的观点，把曲线看成点的运动的轨迹，不仅建立了点与实数的对应关系，而且把形(包括点、线、面)和“数”两个对立的对象统一起来，建立了曲线和方程的对应关系。这种对应关系的建立，不仅标志着函数概念的萌芽，而且标明变数进入了数学，使数学在思想方法上发生了伟大的转折——由常量数学进入变量数学的时期。正如恩格斯所说:“数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辨证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了。”函数概念的形成与微积分的发展是密不可分的。牛顿在他的微积分中，一直用“流量”来表示变量之间的关系。

莱布尼茨(Leibniz)在17世纪第一次提出函数这一概念。起初用函数来表示x的幂，后来又用函数表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长、法线长、次切线长等几何量。现在一般把菜布尼茨引用的函数概念的形式看作是函数的第一个定义。用函数表示某些几何量，可以看作是函数概念的几何的起源。但这时的函数绝大部分是被当作曲线来研究的。

2.代数观念下的函数

1718年，约翰·伯努利(Johann Bernoulli)给出“解析的函数概念”，就是由变量x和常数组成的式子叫做函数。当时，由于变数与常数的主要运算是算数运算(加、减、乘、除、乘方、开方)，三角运算(正弦、余弦、正切)以及指数运算和对数运算。所以后来1748年，欧拉(Euler)就用这些运算连接变数X和常数C而成的式子称为解析函数。显然，幂只是其中的一部分。后来欧拉又把函数定

义为:在xy平面上徒手画出来的曲线所表示的y与x间的关系。1755年，欧拉又给出了如下的函数定义:如果某些变量以如下方式依赖于另一些量，即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一些量是后一些量的函数。这个定义强调了函数中变量之间的依赖关系，缩小了函数概念的外延。沿用至今的函数符号f(x)也是欧拉给出的。

函数的变量说的特点从动态的角度揭示了大量生活中量与量之间的关系，变量y随变量x变化的思想，本质上反映了量与量的关系，这为以后函数概念的拓展留下了余地，打下了思想基础。它的缺点是函数是一个变量，这与其本质是相悖的，没有揭示出函数的本质是对应关系，没有解析式就不是函数等。

二、第二阶段——对应说

1823年，法国数学家柯西(Cauchy)给出的定义:“当某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数之值，其它变数之值亦可随之而确定时，则将最初的变数称之为‘自变数’，其它各变数则称为‘函数’。”依据这个函数定义，某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否是以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又向前推进了一个层次。又经过傅立叶、柯西、罗巴切夫斯基、狄利克雷、黎曼等人的扩充发展，函数概念的对应说逐步发展了起来。

1834年，罗巴切夫斯基给出了函数定义:函数的一般概念要求x的函数是一个数，它对每个x是给定的并逐渐地随x变化。函数的值可以这样给出，或者用一个解析表达式或者用一个条件，使它能给出试验所有数的方法并选定其中之一;或者最后存在一种依赖性，它的具体形式不必知道。

1837年，狄利克雷进一步拓广了函数概念:如果对于某一区间［a，b］上x的每一个确定的值，都有完全确定的y值与之对应，不管这一对应使用什么方式建立的，总可以把y称作是x的函数。按此定义，狄利克雷给出一个的函数: f(x)=(这个函数就被称为狄利克雷函数)，充分体现了“对应说的特点”。

1851年，黎曼给出的函数定义是:我们假定Z是一个变量，它可以逐次取所有可能的实数值，若对它的每一个值，都有为定量W的唯一的一个值与之对应，则称W为Z函数。

这个阶段的函数概念是对数集上对应关系的概括，也是现在中学函数概念的基本内容。它的优点在于坚持了变量说的优点，尤其是它加强了对应思想的表达，用对应说克服了“函数必须有封闭的表达式”的局限。它的缺点是对应没有定义，对应法则没有确切的界定，因此，函数概念需要进一步发展和完善。

三、第三阶段——关系说

19世纪末维布伦(Veblen)给出了变量、变域、常量的定义。变量:是代表某集合中的任意一个“元素”的记号;变域:变量x所代表的“元素集合”;常量:是特殊的变量，它是上述集合中只包含一个“元素”的情况下的变量。维布伦(Veblen)给出了函数的近代定义:“在变量y的集合与另一个变量x集合之间，如果存在着对于x的每一个值，y有确定的值与之对应这样的关系，那么变量y叫做变量x的函数。”这里涉及到的x、y既可以是数，也可以是点;既可作为有形之物，也可作为无形之物。显然，这个定义具有广泛性，揭示了函数概念的实质。

随着近代数学的发展，人们对函数的认识逐渐深刻。到了19世纪70年代，德国数学家康托尔的集合论的产生，函数用“集合”与“对应”来叙述:“给定两个集合A和B，如果按照某种确定的对应关系，对A的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，则这种对应关系称为从集合A到集合B的函数。”

到了20世纪初，豪斯道夫(F·Hausdorff)引入“序偶”来定义函数，其优点是避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念，其不足之处是又引入了不明确的概念“序偶”。1921年，库拉托夫斯基(Kuratowski)用集合概念来定义“序偶”，使豪斯道夫的定义变得严谨，即:集合(a，b)={{a}，{b}}称为一个序偶，设f是一个序偶的集合，如果当(x，y)∈f且(x，z) ∈f时y=z，则f称为一个函数。

1939年，法国著名的布尔巴基学派所著系列巨著《数学原理》，提出了用数学结构观点统一数学的思想，其中这样定义函数:“设E和F是两个集合，它们可以不同，也可以相同，E中的一个变元x和F中的变元y之间的一个关系称为一个函数关系，如果对每一个x∈E，都存在惟一的y∈F，它与x满足给定关系。”至于给定关系是什么，则根据具体内容确定。

这样，经过数学家们的努力，关系说的函数定义得到了发展和完善。函数的关系说的优点是:更能深刻反映函数的本质，包容了以前函数概念的各种形态，适合数学各学科的需要。但它也有缺点:因为建立在集合论基础上，太抽象，不太容易被接受。

从以上函数概念的发展历史可以观到:函数概念经历了从含糊到精确，从特殊到一般，从直观到抽象的过程，理解函数概念的定义经过300多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式，但这并不意味着函数概念发展的历史终结，因此，随着以数学为基础的其他学科的发展，函数的概念还会继续发展。

参考文献

［1］(美) M·克莱因.古今数学思想［M］.上海科技出版社，1979.

［2］杜石然.函数概念的发展历史［J］.数学通报，1961.9.36-40

［3］杜瑞芝主编.数学史词典.山东教育出版社，2000.

［4］徐品方，张红，宁锐.中学数学简史.科学出版社，2007.

［5］孔丽丽.初中学生函数概念发展的研究.首都师范大学，2009.

【注释】

[1]郑毓信著《数学方法论》广西出版社1991年版