注释《九章算术》的刘徽

注释《九章算术》的刘徽

刘徽，中国古代数学家，大约生活在公元3世纪。据数学史学家考证，他出生于淄乡，即今天的山东省邹平县。

刘徽注《九章算术》，在数学上做出了许多杰出的贡献，是与他当时生活的社会环境分不开的。自先秦到魏晋，齐鲁地区作为孔孟之道发祥地，一直在文化发展程度上居于全国前列。战国时期，齐桓公在其都城临淄设立稷下学宫，广招天下博学之士。历时150年间，该地区成为学术气氛最为活跃的研究中心。另外，公元2世纪和公元3世纪的齐鲁地区数学也较为发达，有一批数学家出现，包括郑玄、徐岳等人。在这样一种文化氛围中，使得刘徽有机会学习各种文化典籍，有机会接触到当时先进的数学知识，为他以后的数学研究积累了丰富的资料。

刘徽最大的成就是他注释了《九章算术》，在这一过程中，刘徽取得了许多创造性的成就。经他作注的《九章算术》对我国数学的发展产生了深远的影响，成为东方数学的代表作之一。刘徽的创造性工作，我们可以从以下几个方面加以概括。

刘徽与圆周率的计算

古往今来，世界上许多数学家运用各种方法计算过圆周率，为认识π这个数付出了无数心血。我国战国时期的数学著作《周髀算经》中已有“周三径一”之说，意思是圆的周长约是其直径的三倍。这是人们在长期的实际生产生活中摸索总结出的经验性知识，并不是通过严格的数学计算得到的精确值，人们在应用过程中也发现用它计算出来的圆周长和圆面积都比实际值小。后来的数学家利用各自的方法逐步将其精确化，从此踏上寻找圆周率精确值的漫漫旅程，今天的数学家利用计算机已经将圆周率精确到小数点后数亿位。

刘徽在他的《九章算术》“圆田术注”中，论证了圆面积公式，给出了著名的圆周率计算方法——“割圆术”，并利用它计算出在当时相当精确的圆周率值。割圆术也成为数学史上伟大的创造之一。

刘徽从圆内接正六边形开始，使边数逐次加倍，作出正十二边形、正二十四边形…，并依次计算出它们的面积，这些结果将逐渐逼近圆面积，这样就可以求出圆周率的值，这种方法被称为刘徽割圆术。用刘徽的话来说，“割之弥细，失之弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”意思就是说把圆周分得越细，即圆内接正多边形的边数越多，用它的面积去代替圆面积，就丢失的越少。不断地分割下去，让边数不断地增多，那么边数无限多的正多边形的面积就与圆面积相等了。刘徽巧妙地利用极限思想，化“曲”为“直”，化“无限”为“有限”，对圆面积公式S＝1／2·CR作了相当严格的逻辑证明。利用相关的结果，在当时的计数方法、计算法则、计算工具等均不像今天这样方便的条件下，刘徽凭着他深刻的洞察力和执着钻研的精神，进行着艰苦的数字计算。推算到正192边形时，得出π＝3．14，或π＝157／50；推算到正3072边形时，可得到π＝3927／1250（≈3．1416），这在当时是相当精确的结果。为了纪念刘徽的功绩，人们把π＝157／50称为“徽率”。

刘徽的方法比希腊数学家阿基米德所用的方法更加巧妙。阿基米德用内接和外切正多边形确定圆面积的上、下限，而刘徽只用到了圆的内接正多边形。

刘徽的体积理论

我们在学习立体几何时，会接触到这样一条公理：“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”。最早明确提出这一原理的是祖冲之的儿子祖日恒（“缘幂势既同，则积不容异”）。而刘徽的体积理论则为这一原理的提出作了充分的准备。

《九章算术》时代，人们已经开始通过比较两个等高立体的最大截面积来解决某些体积问题，但并没有认识到必须保证任意等高处的截面积之比都等于最大截面积之比，才能进行比较。《九章算术》“开立圆术”中即认为球与外切圆柱之比等于π∶4，从而容易得出球体积公式

V＝9／16·D³

其中D是球的直径。刘徽在“注”中指出此公式是错误的。他将两个底面半径等于球半径的圆柱正交，称其公共部分为牟合方盖（见下图）。刘徽指出球与外切牟合方盖的体积比为π∶4。这一结论为200年后祖冲之父子求出牟合方盖的体积，从而为得到正确的球体积公式奠定了坚实的基础。

刘徽与计算方法

《九章算术注》中有几百个公式和解题方法，刘徽对每个算法的正确性均作了考察，并对各种算法的内在联系及应用进行了论述。“率”是这些工作中使用最普遍的工具，刘徽极大地发展了“率”的思想，从而将《九章算术》的算法提高到系统理论的高度。

“率”本是规格、标准之意。刘徽将率定义为“凡数相与者谓之率”，即相关的一组量称为率，用以讨论若干量之间的相关性，即相对的数量关系。这一概念要比我们现在常用的比率概念宽广得多。为了求出各物的率，要有一个公度作为标准，这个公度就是单位度量，亦即一，刘徽将它称为“数之母”。如五单位米可以化为一，则米率即为5，三单位粟可以化为一，则粟率即为3，米、粟的相与率为米5、粟3。由此可见率表示某物的度量与另一物的度量的相对关系，相当于现在密度、速度等意义。我们容易知道，分数的分子和分母也可以看成一种率关系。

刘徽还给出了率的一些重要性质，如：“一组成率的数，在投入运算时，其中一个缩小或扩大某倍数，则其余的数必须同时缩小或扩大同一倍数”。由此出发，刘徽给出了三种重要的等量交换：“约以聚之，乘以散之，齐同以通之”。“约以聚之”就是说，分子、分母同时缩小同一倍数，称作约分，此时分数单位变大；“乘以散之”即分子、分母同时扩大相同的倍数，分数单位就会变小。同时，刘徽还指出经过这样两种运算之后，虽然分数单位发生了变化，表现的形式不同，但分数值不变，明确阐述了分数的基本性质。

在运算时，几个分数只有化成同一分数单位才能进行加减，从而刘徽提出“齐同术”即“齐同以通之”，也就是我们现在所说的通分。刘徽指出应先使诸分数的分母同一，而后使每个分数的分数值保持不变。

刘徽将《九章算术》中的许多算术问题解法进行了归纳总结，形成了一些系统的方法。如他高度评价了今有术，将《九章算术》中的许多术文归结为今有术，把其中包含的原理（若A∶B＝a∶b，则B＝Ab／a）称为“都术”即普遍方法，这一方法传到印度和西方后被称为三率法。

率在代数中的应用主要表现在方程术中，刘徽在方程的定义、方程直除法、互乘相消法消元中的齐同原理及方程新术等方面做了创造性的工作。另外，刘徽还把率应用于圆周率、面积、体积、勾股容方、容圆等许多几何问题的解法中。

《九章算术》粟米、衰分、均输三章都是关于比例和比例分配的问题，内容交错。刘徽用率将这三章的方法统一了起来，不仅把比例、比例分配归结为今有术，而且将分数、追及、利息等一般算术问题都化为今有问题，并将率应用于方程、面积、体积等问题，使得率成为计算问题的灵魂。

总之，刘徽的《九章算术注》不仅有概念、命题，而且还有联系这些命题的逻辑推理，它标志着我国古代数学已经形成了自己独具特色的理论体系。

另外，刘徽熟练地运用直角三角形的性质，推广了我国古代的“重差术”，写成了《海岛算经》一书，从书中所解决的问题可以看出刘徽已经掌握了相当复杂的测量和计算方法。

刘徽注《九章算术》，充分体现了他作为一个数学家应有的科学态度。他实事求是，不仅继承了《九章算术》所开创的数学联系实际的传统，更重要的是他没有盲目崇拜古人取得的成就。他在全面论证《九章算术》的公式、解法的同时，指出了其中的许多错误和不精确之处，并给以纠正或提出改善建议，他对许多问题的补充解法，大大丰富了《九章算术》的内容。但用对《九章算术》作注的形式展现自己的数学思想，在一定形式上也限制了刘徽的数学创造的展开及其数学思想对后世的影响，或许这该是最让人引以为憾的事情了。