浅议数形结合的思想方法

浅议数形结合的思想方法

杨瑞杰

（汉中市铺镇中学，陕西 汉中 723000）

【摘要】数学是研究空间形式和数量关系的科学。中学数学可以说是由三部分内容组成：基本知识、基本技能、基本思想方法，简称“三基”。数学思想方法是数学的重要组成部分。数形结合思想是一种很重要的数学思想，数与形是事物的两个方面，正是基于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科，才使人们能够从不同侧面认识事物。

【关键词】数形 思想 方法

一、数形结合的实质

“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞；数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，割裂分家万事非。”华罗庚先生一语道出了数形结合的重要作用。把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的策略，就是数形结合的思想。数形结合思想的实质就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，通过空间形式结合起来考察思想。通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，实现抽象概念与具体形象、表象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观。根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题去讨论，或把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究，换言之“数形之间相互取长补短”。

在使用过程中，由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化意识。因此，数形结合的思想的使用往往偏重由“数”到“形”的转化。

二、数形结合的优越性

几何问题比较直观，代数问题比较抽象，抽象的代数问题一旦与几何图形结合就往往使问题简便，易猜测结果。而且一些纯代数问题结合图形来解，显得特别容易，“脑中有图像，直观又形象”。数形结合的思想方法作为一种策略思想，能最直接揭示问题的本质，直观地看到问题的结果。综上所述，数形结合的优越性可以概述为以下三点：①能够直接导出结果；②易于寻找解题思路；③能避免复杂的计算和推理，简化解题过程。

总之，它以解题的直观性和简捷性被广泛使用，特别是作为高考中重要数学思想方法考查以来，各类题解使用的深度和广度逐渐升级，形成热点。考试中心在考试说明中强调：“在高考中，充分利用选择题和填空题的题型特点，为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形问题来解决的意识，而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法，解答题中对数形结合思想的考查以由‘形’到‘数’的转化为主。”

三、数形结合规律总结

数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决。运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征。

例（2006年，重庆卷，理）如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f（x）表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y=f（x）的图像是（）

【分析及解】这是一个图像信息题，需要根据图形信息判断函数，再由函数的性质判断图像。由题意，f（x）=x－sinx.当0＜x＜π时，由sinx＞0，f（x）＜x，当π＜x＜2π时，由sinx＜0，f（x）＞x.根据四个选项的图形，应选（D）.

例3（2005年，湖南卷，理15）设函数f（x）的图像与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在［a，b］上的面积，已知函数y=sinnx在［0，］上的面积为（n∈N*），（i）y=sin3x在［0，］上的面积为_______；（ii）y=sin（3x－π）+1在［，］上的面积为______.

【分析及解】本题给出了y=sinnx在［0，］上的面积为，需要由此类比y=sin3x在［0，］上的面积及y=sin（3x－π）+1在［，］上的面积，这需要寻求相似性，其思维的依据就是已知条件给出的面积的定义和已知函数的面积，因此要研究这个已知条件，要注意已知条件所给出的是半个周期的面积，而第（ⅰ）问则是n=3时一个周期的面积= ，第（ⅱ）问又是y=sin3x经过平移和翻转后一个半周期的面积，画出y=sin（3 x－π）+1在［，］上图像，就可以容易地得出答案π+.