对中考试题中最值问题的探究

对中考试题中最值问题的探究

刘岚英

（西安市庆安中学，陕西　西安　710077）

【摘要】近几年来，最值问题成为中考数学的热点问题。本文从不同的角度分析常见最值问题的解法，与大家共同探讨。

【关键词】几何　最大（小）值

按一定规律运动的元素，在一定的范围内变化，与它有关的某个量也随之变化，有时这个变化的量存在最大或最小值，这种问题便是几何中的最值问题。几何中的最值问题，在近年广泛出现在中考和竞赛试题中。这类问题具有很强的探索性，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合理想象相结合等思想方法。在此，对这类问题常用解题策略解析如下。

一、利用算术—几何平均不等式求最值

【题目】（2009年潍坊市初中学业水平考试数学试题二填空题17）

例1已知边长为a的正三角形ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC的长的最大值是.

分析：要求OC长的最大值，即四边形OACB的面积最大

解法1：∵S_{四边形OACB}=S_三角形AOB+S_三角形ABC

若要使S_{四边形OACB}有最大值，∵S_三角形ABC为定值，则S_三角形AOB有最大值，S_三角形AOB=OA·OB

又∵OA·OB≤，当OA=OB时，则OA·OB=

S_三角形AOB最大值=∴当OA=OB时，S_{四边形OACB}有最大值

又∵BC=AC∴OC垂直平分AB∴OC长的最大值==a

二、利用三角函数求最值

解法2：设OC与AB的夹角为θ，S_{四边形OACB}= AB·OC·sinθ

若要使S_{四边形OACB}有最大值，则sinθ=1∴θ=90°∴OC⊥AB

又∵△ABC为等边三角形，∴BC=AC∴OC垂直平分AB

∴OA=OB又∵∠AOB=90°

∴OC长的最大值=

评价：本题培养学生思考、分析、探究问题的能力，重在学生能力的考查，善于从同一题目中发现更多的问题，提出更多的解法，达到灵活应用知识的目的

变式题1：已知边长为a的正三角形ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，四边形OACB的面积最大=________。

变式题2：两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，已知AB=a，则三角形AOB面积的最大值=________。

三、利用几何性质：垂线段最短求最值

【题目】（2009年陕西省初中毕业学业考试数学试卷第二卷填空题16题）

例2如图，在锐角△ABC中，AB=，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是________。

【分析】这样的题对于同学来说并不陌生，利用对称变换巧解题，已知AD同侧有两点，一个是定点B，另一个是动点N，在AD上求做一点M，使得MB+MN有最小值以北师大版七年级下册课本为载体，课本上研究过一直线同侧有两个定点，在直线上求做一点到两个顶点的距离之和最小，研究此题方法不变，也就是所说的形变质不变，换汤不换药。此题有一定难度。

【解法1：】做点N关于AD的对称点N'，连接BN'交AD于点M

∵∠BAC的平分线交BC于点D

∴点N关于AD的对称点N'在AC上

易证△ANM≌△AN'M∴MN=MN'

∴BM+MN=BM+MN'=BN'

要使BN有最小值，即过定点B和线段AC上任一点连接的所有线段中，垂线段最短。所以BN'⊥AC其中N'为垂足

∴在Rt△BAN'中已知AB=，∠BAC=45°

∴BN'=AB·Sin∠BAC=4

∴BM+MN的最小值=4。

四、利用二次函数在顶点处求最值

【解法2：】设AN'=X，借助余弦定理BN^'2=AN^'2+AB²－2 AN'·AB·cos45°

借助二次函数求最小值∵a=1二次函数图像开口向上，函数有最小值

当X==4时函数BN'有最小值=16

∴BN'有最小值为4

∴BM+MN的最小值=4。

【总结】在今后的教学中一定要以书本知识为载体，在此基础上进行灵活变通，不断训练学生的变式思维，提高学生学以致用能力，及独立分析、解决问题的能力。

五、利用三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求最值

例3如图所示，△ABC中，AB=3，AC=2，以BC为边的△BCP是等边三角形，求AP的最大值、最小值。

分析：已知条件AB=3，AC=2与所求的AP比较分散，考虑到△BCP是等边三角形，若△ACP绕点P逆时针旋转60°到△A'BP中，则A'B=AC，A'P=AP，∠APA'=60°.可得△AA'P是等边三角形，则AB=3，AC=A'B=2与所求的AA，就集中到△AA'B中（特殊情况A、A'、B三点在同一直线上）。

∵AB－AB'≤AA'≤AB+A'B

∴1≤AA'≤5

六、运用构造法求最值

构造法就是数学建模在解题中的应用，它要求具有相当的基本功，能根据不同的题型，构造成我们能够解决的数学模型，从而使问题得以解决。

构造距离解题

例4求函数的最值

解：原函数可变形为：

∴函数y的值可看作点P（x，o）到点A（1，2）与点B（－1，1）的距离之和，而点P（x，0）为x轴上的点。

即在x轴上取点P使|PA|+|PB|为最小。

如图，作点B关于x轴的对称点B'（－1，－1）

连结AB'交x轴于点P，则PA+PB=AB'

中学数学中的最值问题遍及函数、不等式、三角、数列、向量、解析、几何、立体几何、概率统计及导数微分等各科之中，并在实际生产生活中也有广泛的应用。它是许多数学问题解决的桥梁，是学习高等数学中最值问题的基础，它一直是数学问题的热门课题，也是中、高考考查的热点。解决最值问题一方面要求学生有坚实的数学基础，具有严谨、全面的分析问题和综合的解决问题的能力；另一方面也要关注往年中、高考试题中的形式和特点，进行针对性的剖析和训练。在2010年中考来临之际，回顾2009年中考中最值问题显得尤为必要。希望本文为一线教师和在校的莘莘学子带来帮助。