概念教学与学生思维发展的认识与尝试

概念教学与学生思维发展的认识与尝试

张玉生

问题提出：概念是思维的基本单位，要促进学生思维的发展，必须首先强化概念教学。特别是数学学科逻辑思维性很强，更要根据数学概念的特点，让学生牢固掌握概念的本质属性，激发其解决问题的积极性，增强灵活性，从而掌握概念。

数学概念有什么特点呢？一是抽象地反映某一类事物内在的本质的属性，二是表现形式准确、简明、清晰，三是具体性与抽象性统一，四是具有较强的系统性。

明确了数学概念的特点，在教学中就要根据不同概念所呈现出的不同特点，采取不同的教学方法，从思维的基本单位开始，逐步开拓学生的思维发展领域。以下是我在实际教学中一些粗浅的认识和尝试。

一、几点认识

1.抓住概念的本质属性，突破抽象关

概念有内涵和外延。内涵揭示概念的本质属性，外延则指概念所包含的对象范围，就是指具有这种本质属性的那些对象的集合。如果用p（x）表示某一共同本质属性，用集合A表示某一概念的外延，则可以表示成：A＝｛x：p（x）｝。例如方程这一概念的外延用文字写成集合的形式则有：

方程＝｛含有未知数的等式∶p（含有未知数的等式）｝抓住了方程概念的本质属性，对概念的理解就比较容易了，对方程的分类、方程知识的掌握有较大的作用。

2.从运动变化的观点掌握概念

数学概念由于数学知识的逐渐复杂与深化，原有的数学概念就引起了其含意的变化发展。例如整除的概念在数的范围内与代数式的范围内就有所变化；又如角的概念，在初中只接触正角而范围有限，到高中之后，对角又重新定义；不仅扩大了范围，而且又有负角，同时将锐角三角函数扩充到任意角三角函数。因式分解的概念随着代数的内容逐渐深化而变化，关于一元二次方程的根的概念，按着数的概念的扩充而发生变化。而幂的运算法则，其定义则开始在正整数范围内，随着负整数、指数和根式的引入，幂指数便扩大到任意实数，其运算法则灵活自如。这样，在运算当中，掌握好概念，便增强了解题的灵活性。

3.明确概念间的对立统一关系

正数与负数，正角与负角，旋转的逆时针与顺时针，平面几何中定义的角与三角函数中的任意角等概念，都具有相互矛盾对立统一的性质。如：ax²＋bx＋c＝0（a≠0），在b²－4ac≥0时才有意义；随着知识的完备性和科学发展的需要，不得不将实数集扩大到复数集。这就是实数与虚数的对立双方转化统一于复数集。又如函数和反函数、指数函数与对数函数、微分与积分等概念，都体现了对立统一和相互转化的关系。

4.具体性与抽象性相统一

在概念教学中，首先应使学生明确感性认识与理性认识的依赖关系，不能认为由感性认识得出的观念就认为是概念。心理学认为，直观是反映于人脑中的映象，这种映象可以物化的形式再现出来，并被人们所感知。作为数学概念，一般不同于其他概念，由具体直观的形象通过抽象的思维活动总结出来的概念，应尽可以通过直观教学，使整个思维变得容易掌握。例如棱柱概念的掌握，先让学生观察实物，在具体直观认识的基础上，观察其主要特征，抽象概括出：“有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行。这些面所围成的几何体叫做棱柱。”这就是在具体性基础上抽象出来的概念。把抽象的概念具体化，学生感到直观形象，记忆牢固，掌握准确，应用起来也比较方便。从认识过程上看，学生头脑中形成感性认识的过程，就是思维的起点，是具体性上升到抽象性的开端。如果没有这个开端，学生的学习往往会停留在空洞的概念上，而无法形成数学的真正技能和带有创造性的思维能力。

二、初步尝试

如何设计数学概念教学，如何在概念教学中有效地培养和开发学生的思维品质，是我们在教学中经常遇到并必须解决的问题。以“两条异面直线所成的角”一课的教学为例，谈谈我在教学中的一些尝试。

1.展示概念背景，培养思维的主动性

导引阶段：教师与学生一起以熟悉的正方体为例，复习空间两条直线的位置关系后，请学生观察图中的几对异面直线。教师指出：从位置关系说，同为异面直线，但它们的相对位置，是否就没有区别？学生回答：有区别。教师紧接着说：既然有区别，说明仅用“异面”来描述异面直线间的相对位置显然是不够的。在生产实际与数学问题中，有时还需要进一步考虑它们的相对位置。这就给数学提出了一个新任务：怎样刻画异面直线间的这种相对位置，或者说，引进一个什么数学量来刻画这种相对位置。

这样引入新课，揭示了异面直线所成的角出现的背景，将数学家的思维活动暴露给学生，使学生沉浸于对新知识的期盼、探求的情境之中，积极的思维活动得以触发，思维的主动性待到进一步的提高。

2.创设求知情境，培养思维的敏捷性

思维的敏捷性表现在思考问题时，以敏锐地感知，迅速提取有效信息，进行“由此思彼”的联想，果断、简捷地解决问题。

情境设计阶段：我们知道平面几何中用数学量“距离”来刻画两平行直线间的相对位置，用数学量“角”来刻画两相交直线间的相对位置，那么用什么来刻画两异面直线的相对位置呢？角和距离——揭示课题。

我们还知道两异面直线不相交，它们又确实存在角度关系，这就需要我们找到一个角以它的大小来度量异面直线所成的角的大小。为了解决这个问题，我们看一道题：

一张纸上画有两条能相交的直线a、b（但交点在纸外）。现给你一副三角板和量角器，限定不许拼接纸片，不许延长纸上的线段，问如何能量出a、b所成的角的大小？

通过旧知识的迁移探测问题，为新知识的形成开辟通道，进而使新旧知识得到完美的衔接。这对提高学生的数学素养，优化认知结构是非常有益的。

3.精确表述概念，培养思维的准确性

思维的准确性是指思维符合逻辑，判断准确，概念清晰。

启迪发现阶段：引导学生分析本课开始部分几对异面直线所成的角，分别可用哪两条相交直线的角（锐角或直角）来度量。至此，教师让学生自己来概括得出新概念——异面直线所成角的定义，其间，对学生表述上的任何微小缺陷与不当之处，老师应诱导启发。在正式给出定义时要求语言简练、准确，符合逻辑性和科学性。

新概念的引进解决了导引中提出的问题。学生自己参与形成和表述概念的过程培养了抽象概括能力。因此，概念教学亦蕴含了丰富的培养能力、训练思维的素材，教学过程中应充分重视。

4.解剖新概念，培养思维的缜密性

思维的缜密性表现在抓住概念的本质特征，对概念的内涵与外延的关系全面深刻地理解，对数学知识结构的严密性和科学性能够充分认识。

解剖概念阶段：教师提问，这角（或平行线）一定可以作出来吗？角的大小与作法有什么关系？这里提出的就是定义的合理性（即存在性和确定性问题）。

通过解决以上两个问题得到：两异面直线所成角的范围规定在（0，π/2］内，那么它的大小，由异面直线本身决定，而与点O（一线的平行线与另一线的平行线的交点）的选取无关，点O可任选。一般总是将点O选在特殊位置。

这样引导学生“解剖”定义，使学生看到抽象的数学术语和符号与现实存在的具体事物和现象之间的联系，了解整个定义的结构，培养了学生思维的缜密性。

至此，两异面直线所成角的概念完全建立了，在这个过程中渗透了把空间问题转化为平面问题这一化归的数学思想方法。

5.运用新概念，培养思维的深刻性

思维的深刻性主要表现在理解能力强，能抓住概念、定理的核心及知识的内在联系，准确地掌握概念的内涵及使用的条件和范围。在用概念判别命题的真伪时，能抓住问题的实质；在用概念解题时，能抓住问题的关键。

巩固深化阶段：在学生深刻理解数学概念之后，应立即引导学生运用所学概念解决“引入概念”时提出的问题（或其他问题），在运用中巩固概念。使学生认识到数学概念，既是进一步学习数学理论基础，又是进行再认识的工具。如此往复，使学生的学习过程，成为实践—认识—再实践—再认识的过程，达到培养思维深刻性的目的。

例1，求本课开始时的几对异面直线所成的角及距离。

启发学生寻求一题多解，不仅可以使所学知识融会贯通，还可使学生掌握多种解题方法，并学会从众多解法中，优选最佳方法，从而培养思维的灵活性和广阔性。

例2，M、N分别是正方体ABCD－A¹B¹C¹D¹中BB¹. B¹C¹的中点，求MN与AD所成的角。

思路1：过M点作MG∥BC交CC¹于G，MG、MN所成的锐角（或直角）为所求。

思路2：连BC¹，则BC与BC¹所成的角（锐角或直角）为所求。

思路3：连BC¹，AD¹，则AD与AD¹所成的角（锐角或直角）为所求。

这样设计至少有两个好处：其一，加深了学生对概念的理解；其二，再一次激起了学生思维的浪花。

6.分析错解成因，培养思维的批判性

思维的批判是指思维严谨而不疏漏，能准确地辨别和判断，善于觅错、纠错，以批判的眼光观察事物和审视思维的活动。

深化阶段：对数学概念的理解要防止片面性。除在运用概念时，用典型的例子从正面加深对概念的理解、巩固概念之外，还应针对——某些概念的定义中有些关键性的字眼不易被学生所理解，容易被忽视；某些概念的条件比较多，学生常顾此失彼，不易全面掌握；某些概念与它的邻近概念相似，不易区别等等——举反例，从反面来加深学生对概念的内涵与外延的理解，培养思维的批判性。

我从自己的教学实践中体会到，数学教学的根本任务不仅在于向学生传授知识，更重要的是要优化学生的思想品质，培养学生的多种能力。概念教学不仅要使学生记住概念，会用概念去解题，还应让学生了解概念建立的合理性，知道知识的发生发展过程。在教学的每个环节，都应通过启迪和引导，使学生参与到分析知识的形成过程中去，提高概念教学的课堂时效性，真正把素质教育落实在实际教学中，从而使学生思维能力得到有效的培养和开发，这也正是教学的目的。以上是我在教学中一点初步的认识和尝试，有不当之处，请专家指正。