以激励为特征，以学生为中心

以激励为特征，以学生为中心

——高中新课程背景下的数学教学案例分析

王　勇

［课题］两条异面直线及其所成的角

一、设置情境，提出问题

让学生实验操作：将学生分成四人一组实验、讨论

问题1：桌面上两只铅笔所在的直线有几种位置关系？

问题2：将一枝铅笔离开桌面那么两只铅笔所在的直线有几种位置关系？

问题3：你发现两只铅笔除了平行和相交还有怎样的位置关系？

学生讨论积极气氛热烈——他们喜欢摆弄铅笔。

小组一代表发言：在同一平面上两只铅笔所在的直线只有平行和相交两种位置关系，将一枝铅笔离开桌面那么两只铅笔所在的直线出现了既不平行也不相交的情况。

教师作补充发言：首先对学生的发现和表述给予鼓励，并且指出今后同学们要把思维从平面扩展到空间，养成在空间研究问题的习惯。

让学生观察感知：通过对课本图示的观察结合自己的生活经验看一看、想一想、议一议，你还见过那些类似的位置关系？

观察在教室的各墙角线中哪些直线不同在任何一个平面？

让学生举出实例：

学生甲：横跨公路的高压电线和公路之间的位置关系是既不平行也不相交。

学生乙：教室里的日光灯管和黑板的竖沿它们所在的直线不共面。

学生丙：校园里的国旗杆和校园道路之间不可能在任何一个平面内。

教师：请同学们思考不在同一个平面的两条直线一定既不平行也不相交吗？异面直线的本质特征是什么？

让学生尝试作图：

边作图边思考两条直线“不同在任何平面内”的深刻含义。

（从不同角度用不同方式表达两条直线的这种位置关系，既可深化理解，也更进一步体会到数学语言的严谨、准确，养成良好的个性品质。）

让两名同学在黑板上板演作图过程。教师投影展示学生作品，师生共同评析。并简要说明图形是易于表达，方便交流的一种形象的语言，把抽象的概念用直观的图形表达出来，易于理解，便于应用。（强调用平面衬托的必要性）

投影展示两条异面直线常用画法：每个同学和自己所作的图形进行比较。

图一

图二

二、自主体验，引出概念

（1）由学生讨论给出异面直线的数学定义：

学生可能给出下列几种定义：

（A）不在一个平面上的直线叫异面直线

（B）既不平行也不相交的直线叫异面直线

（C）没有公共点且不平行的直线叫异面直线

……

（2）教师板书异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

如何判定两直线是异面直线呢？定义中“不同在任何平面内”不好验证，引导学生分析图一、图二的本质，从而引出异面直线的判定：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。

（3）问题与讨论（多媒体播放以下问题）

问题1：你能给异面直线下定义吗？

问题2：如何理解定义中的“任何”二字，它与“分别在某两个平面的直线”有何区别？

问题3：你能以“共面”和“异面”为标准，对空间两直线的位置关系进行分类吗？

问题4：你能画出空间两直线的位置关系吗？

问题5：你还能以怎样的标准对空间两直线的位置关系进行分类？

学生展开讨论并表述以上问题。

（4）如何定量地研究异面直线的位置关系呢？

回忆以前是怎样刻画两条相交直线的；教师手拿两根竹签在空间比划各种相互位置，旋转则“角度”改变，平移则“角度”不变，由此想到可以平移成相交直线来进行定量研究，启发学生思考如何量化两异面直线的相对位置呢？如何将空间问题平面化？

从而引出异面直线a与b所成的角(或夹角)的定义：（教师板演）两异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)，如果是直角，则称两直线互相垂直。

让同学思考异面直线夹角大小为什么与O的位置无关？（点O可在空间任意选取）

启发学生利用空间等角定理进行合情说理给出口头证明三、以学定教，注重练习

例1，判断下列说法是否正确

①无公共点的两直线一定是异面直线　　　　　　　　（　）

②互不平行的两直线一定相交　　　　　　　　　　　（　）

③分别与两条异面直线同时相交的两直线一定是异面直线吗？（　）

④在空间，不相交的两直线一定是异面直线　　　　　（　）

⑤已知直线，异面，异面，则一定异面　　　　　　　（　）

表扬举手发言的同学，鼓励大家要跃跃欲试不用举手随便说。

例2，正方体AC₁中，（1）DD₁和A₁B₁的位置关系如何？D₁B和AC的位置关系如何？A₁C和D₁B的位置关系如何？

（2）和AD成异面直线的棱所在直线有几条？（3）和BD1成异面直线的棱所在直线有几条？

（4）如图，MN和PQ的位置关系如何？

（5）六个面的正方形对角线共12条，这些对角线所在直线中，异面直线共有多少对？

选用该题的目的是熟悉正方体并为今后学习排列组合做些铺垫。

例3，下列说法是否正确？你能用模型演示吗？

（1）过空间一点与已知直线垂直的直线只有一条。

（2）同时垂直于第三条直线的两直线平行。两命题在平面几何中成立，但在空间中不再成立，通过例2，使学生的思维方式逐步由平面转向空间。（鼓励学生转变观念、与时俱进和知识共同成长）

例4，如图立方体中：

（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？（2）求直线BA′和CC′的夹角的度数（3）哪些棱所在直线与直线AA′垂直？解：（1）由异面直线的判定方法可知，与直线BA′成异面直线的有直线B′C′、AD、CC′、DD′、DC、D′C′。

（2）由BB′//CC′，可知∠B′BA′等于异面

直线BA′与CC′的夹角，所以BA′与CC′的夹角为45°。

处理方式：教师示范，其余由学生口头表达判定过程。

多种平移方法（教师多媒体动态演示）。

体会新旧知识的联系，构建新的知识结构。

四、讨论小结，感受收获

给出两个问题引导学生回顾学习过程，形成一个发展中的认知结构。课堂教学模式的基本结构是：问题始问题终

问题1：学完本节课后，两条直线的位置关系有哪些知识发展变化了？

问题2：在思想方法上你有哪些收获？

问题3：我们是怎样定量表示两条异面直线所成的角的？

教师投影展示知识结构以及思想方法：

2.两条异面直线所成的角的定义：

两异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)，如果是直角，则称两直线互相垂直。

4.归纳思想方法：第一次集中地将概念由平面扩充到空间；平面→空间

第一次学习空间问题平面化的化归思想。空间→平面

五、课后反思，反馈提高

异面直线的感念本身比较抽象，而且是学习立体几何的第一道门槛，高一学生第一次将概念由平面扩充到空间；第一次接触化归思想（空间问题平面化）；第一次量化空间两条直线的位置关系，因此是个难点。学生的认知容易从平面几何中的一些结论形成负迁移。

1.本节课教师首先转变了自己的角色和地位，以一个合作者、引导者、学习者的身份和学生一块参加讨论共同发展知识。因此课堂气氛民主、和谐。

2.为了使学生真正成为学习的主体，变被动接受为主动探究，成为新知识的探索者、发现者、建构者。本节课的教法主要采用分组讨论以学定教的方法，多给学生动手动脑发言表达的机会，多媒体重点是辅助学生的学而不是教师的教。教学的目标定为促进学生能力的发展，初步培养学生勇于探索、严谨求实、合作交流的学习品质。应该说这节课学生活动充分心情愉快，达到了培养能力提高时效的预想目标。

3.同行与专家的评价在教研组的评课活动中同行普遍认为这节课基本做到了充分关注和普遍激发，课堂气氛活而不乱，容量大效率高，教师驾驭课堂能力强。自治区教研室专家葛建华老师的评价：

（1）课堂教学模式具有鲜明的新课程理念，学生分组合作讨论形式好效率高，学生成了学习的主角和知识发展的推动者，学生在不断探究和发现中及时得到教师的激励及时得到收获的喜悦，教材处理的清楚了容易了生动了。

（2）学生发言中出现的一些问题教师的点评一带而过、过于简单，教师应善于从学生的发言中反馈教学中的缺陷并且及时给予弥补。

4.本人自评

（1）这节课在教材的处理上下了很大功夫，其出发点是力图让知识的发生发展变的自然、清楚和容易。也就是努力做到引入是清楚的、定义是清楚的、论理是清楚的、收获是清楚的。（参考了课本的主编寄语）

（2）教学过程从实际到书本、从具体到抽象。知识的发展合情合理、富于人情，学生在不断的激励中体会到了学习的快乐，由于教师走下了讲台和学生打成一片体会童心，感受到了教书的快乐。

（3）遗憾：课堂节奏有些太快，讨论收获时间不够草草收场，没有让更多的学生谈出自己的心得。学生发言中的一些缺陷和闪光点没有及时捕捉住，为我所用。