数学教师教学计划决策的问题及对策

第三节　数学教师教学计划决策的问题及对策

一、数学教师教学计划决策的问题归结

教学设计的过程实际上是教师不断进行决策的过程，是教师的内隐思维活动和外显操作活动的统一，教师的思维特点对教师的教学计划决策有重要影响。本章主要探究小学数学教师在解读、转化和组织教材信息的过程中作出了什么样的决策，是如何作出相应决策的，以及作出这些决策的深层缘由。通过三轮数据的三角互证的初步分析，结合与燕老师整个合作过程所经历的所有案例，研究者发现，燕老师在教学计划决策过程中存在以下一些问题。

（一）计划决策之“决策系统”各项指标的问题

具体说来，“分析”指标的特征表现为确立的教学目标不清晰，而且显得笼统，致使学习活动与目标经常“脱轨”。其原因在于教师一直认为目标高高在上，与他们的具体课堂活动联系不上。通常情况下，教师在设计或者决策数学活动时，头脑中基本没有清晰的目标意识。在“3的倍数的特征”口语报告中，燕老师确立的目标“通过例子找到并认识3的倍数的特征”，实际上是一个合理的目标。但是在具体细化为活动的决策过程中，燕老师却把该目标抛之脑后，造成活动与目标脱离，影响了最终的实施效果。

“设计”指标的特征表现为所设计的学习问题没能使学生产生有效的思维冲突，学生难以获得数学学习的内在快乐。其原因在于燕老师的观念和知识系统，培养学生数学思维的内容并不突出，致使教师在表述问题时对问题的强调不够。“3的倍数的特征”口语报告中，燕老师设计了“有些3的倍数个位上是3，6或9，而有些个位上不是3，6，9的数也是3的倍数”的问题困境。但是在口语报告时，燕老师并没有意识到在某个点上需要教师很明确地把这个困境“彰显”出来以引发学生的思维障碍。

“开发”指标的特征表现为所设计的学习活动过程与“设计”环节的问题没有很好地匹配，致使问题困境不突出，学生只能获得短暂的外在快乐。“3的倍数的特征”口语报告中，教师设计的活动过程“从55以内的数中找出3的倍数，并通过合作、讨论等尝试寻找3的倍数的特征”以及“直接告知学生方法和结果”与上述的“设计”问题的意图不吻合，从而减少了学生探究问题的欲望和获得内在快乐的可能性。

同时，分析、设计、开发三者之间是相互关联、彼此制约的。在燕老师的口语报告中，它们之间的关联性没有体现出来或者体现不够。

（二）计划决策之核心——“效能”决策的问题

正是基于上述教师“决策系统”的种种表现特征，计划决策之“评价系统”的各项指标的表现也不尽如意。最能直接感受到的是效力和感染力的表现。从老师的自我反思以及研究者的观察和推理，效力指标能够得到一定的实现。但是，在不少的案例中，教师所设计的数学问题和数学活动与教学目标脱节，或者说并没有得到较好地实现。感染力指标是通过学生的感受和表现来加以评定的，学生通过肢体操作获得了外在的快乐，这方面表现还是比较突出。但是，由于缺乏良好数学问题和数学活动的创设，学生并没有真正获得由于认知冲突得到解决而带来的思维提升的内在快乐。

教师之所以在“分析”“设计”和“开发”指标上欠缺认知冲突和思维障碍，其根本源自于教师并没有充分、合理、有效地理解和利用教材资源，即教师的“效能”决策存在一定问题，在专门分析教师“效能”决策能力的4个数据中能够清楚地看到这点。“效能”决策是教学计划决策的核心能力，具有牵一发而动全身的功能。如果教师在教材内容解读和分析的过程中就出现系列问题，那么，教学计划决策的“决策系统”肯定会受到不同程度的影响，对教材内容的深度挖掘和合理组织是决策系统的根本保障。

燕老师的效能决策存在不同层面的问题。在“制作100以内的质数表”口语报告中，教材中“先把2的倍数划掉，但2除外，划掉的这些数都不是质数”“那3的倍数也可以……”“划到几的倍数就可以了”以及“可以把每个数都验证一下，看哪些是质数”等，燕老师没有意识到这四句话实际上告知了两种寻找100以内的质数的方法。她把这些信息孤立看待，没有看到它们隐含的关系。“分数的意义”也存在类似现象。“底面积乘高”倒不存在燕老师误解教材信息的问题，问题在于她没能够充分挖掘有限的教材资源、创造性地使用教材。

效能决策是教学计划决策的核心，教师对教材资源的合理理解和充分挖掘是良好效能决策的标准。充分合理的效能决策是计划决策之“决策系统”良性运转的前提，是计划决策之“评价系统”良性运作的内动力。

如果再进一步追问，小学数学教师怎样才能做到合理理解和充分挖掘教材资源，使效能决策发挥到最好呢？要回答这个问题，首先要弄清楚效能决策乃至整个计划决策的影响因素有哪些（后有详细论述）。教师的教学信念、教学思维方式、教师知识是计划决策的主要影响因素。上述5个案例中，燕老师传统的教学信念、不完善的数学学科知识以及关于学生的知识、教学思维方式特定的表现特征等造成其效能决策乃至整个计划决策的质量不尽如人意。

二、数学教师教学计划决策的影响因子

根据上面对燕老师计划决策存在问题的阐述，可以推出，造成教师“效能”决策低效的根本原因在于教师内在因素的影响。其中教师的信念、教学思维方式和教师的数学知识是主要的因素（教学信念的相关问题将在第4章专门论述），教学信念比教学思维方式更隐存于教师的内心深处。

教学信念是数学教师教学计划决策的“魂”。在追踪燕老师的大半年时间里，特别是在第二轮和第三轮数据的收集过程中，研究者在与燕老师的交流和互动过程中，明显感觉到在她的种种决策背后有一股强大的“内势力”在执拗地与外力对抗，支持着燕老师的决策、判断和行为，致使研究者常常认为燕老师“很固执”。特别地，当希望燕老师按照研究者的某些设想修改她的教学计划决策时，即使她进行了修改，但通常都是表面性的，把某些环节的顺序进行调整，其实其内在的“魂”并没有改变。比如，“底面积乘高”这节课的表现正是如此。燕老师的这些表现在其他小学数学教师身上也类似发生。研究者曾经做过一个“新课程实施中有效教学的理论与实践”课题，在小学的调查和实验历时两年。这两年中，每周至少听小学数学课两节，课后与任课教师至少交流一个小时。研究者也深深感受到教学信念对两个实验老师教学计划决策，乃至教学交互决策、评价决策的深刻影响。笔者将在第4章专门探讨燕老师到底拥有怎样的教学信念，以及是怎样影响着具体的教学决策。

教学思维方式和特点是数学教师教学计划决策的“骨”。燕老师在教学计划决策的过程中，研究者深切感受到燕老师有一个固定的“套路”统摄着她的整个计划和决策。比如，先看看教材的内容信息，按照教材顺序组织数学活动等，统观燕老师的整个教学计划决策过程，其教学思维呈现出一定的特点，而且这些特点直接地影响着数学教师教学计划决策的最终结果。有时候燕老师也会在研究者的建议下做一些调整，但是其固有的思维方式最终决定着决策的方向和结果。

教师拥有的数学知识的结构和性质是数学教师教学计划决策的“血液”。数学学科知识影响着教师教学计划决策的生动性和深刻性，教材中呈现的静态信息需要教师所拥有的相关知识加以活化和结构化。如果缺乏合理的结构性，教师只能以零碎、散落的数字信息与学生交流，并因此影响学生对数学知识的理解和建构。前面提到的“分数的意义”的各种教学决策是教师相关分数知识结构不完善引起的。另外，“制作100以内的质数表”也体现了教师质数和合数相关知识欠缺造成决策和行为的失误。

关于数学教师教学信念、教学思维方式、数学学科知识之间的关系，将在随后章节的相关部分进行阐述。

三、数学教师教学计划决策问题的归纳及应对策略

基于初步的数据分析和讨论，我们归纳出燕老师在教学计划决策的过程中存在拼凑思维和线性思维的特点。

（一）数学教师教学计划决策问题的归纳

1.拼凑思维方式

所谓拼凑思维是指教师在进行教学计划决策时，需要对教材信息进行选择和转化，其思维的立足点是把教材提供的所有信息采取简单加减法的方式拼凑和堆积起来。比如前面谈到的《质数和合数》案例中，教师处理和决策教材信息的思维方式就属于拼凑思维。教师看到了教材中显现的所有信息，诸如“可以把每个数都验证一下……”“先把2的倍数划去……”等，把信息拼凑堆积却没有理解信息背后的根本意义和意图，致使学生茫然、教师混乱。这种思维形式在小学数学教师中似乎并不少见，笔者在某地重点小学有幸听了一节《圆的面积公式》，该教师在教学计划决策过程中的主流思维形式也属于拼凑思维，具体情况如下：

教材信息描述：教材按照主题图（云南的曼飞龙白塔），“估一估”“拼一拼”“议一议”和“试一试”的顺序和形式呈现教学内容，并在“课堂活动”的第一题设置了“讨论”的情境。其中“估一估”是以方格纸为背景，通过数方格比较圆和以圆的半径为边长的小正方形的面积大小，直观感受到“圆面积是小正方形面积的3倍多一些，也就是半径平方（r²）的3倍多一些”；“拼一拼”通过切分圆为若干等份转化成“接近于平行四边形”的图形；“议一议”主要在“拼一拼”的基础上通过讨论“平行四边形和圆之间的关系”逐步推导出圆的面积公式；“试一试”主要运用圆的面积公式解决主题图中的问题；“课堂活动”的“讨论”承接“拼一拼”，将圆等分后如果拼成近似梯形和三角形的图形“能否推导出圆的面积公式”。

教材形式如图2.12所示。⁽²²⁾

图2.12

针对上述信息内容，教师对课堂学习过程做了如下设计（根据研究者听课笔记和录音整理）：

活动1：回顾“圆的面积“概念

活动2：用什么样的图形做参考？（对应“估一估”信息）

（希望学生能说方格图，然后老师展示课件）

活动3：怎样求圆的面积呢？（对应“拼一拼”信息）

（将圆转化成近似平行四边形，把圆等分的份数越多，拼成的图形越接近平行四边形）

活动4：还可以将圆转化成什么图形？（对应“课堂活动的‘讨论’”信息）

（还可以转化成三角形和梯形）

活动5：推导圆的面积公式（对应“议一议”和“课堂活动的‘讨论’”信息）

（要求学生小组合作，选择一种方法或平行四边形或三角形或梯形进行公式推导）

通过课堂观察和课后访谈发现，教师没有依托主题图（云南的曼飞龙白塔）创设问题情境，是因为本地的学生不知道这个建筑，于是改为活动1的设计。其次，活动2，3，4，5是本节课的核心与重点，集中呈现了教材中的“估一估”“拼一拼”“议一议”和“课堂活动”之“讨论”中的所有信息。结合课堂观察以及对教师的访谈，可以确定的是在教学设计的过程中，教师基本上将教材提供的信息都囊括于设计之中，但是明显地显现出一种无序和无结构的状态。首先从每个活动的主题名称就可见一斑；其次从具体的课堂实施过程中也可以发现，各个活动之间确实没有一种逻辑关联性。比如活动2，3，4可以看出教师试图将“估一估”“拼一拼”和“课堂活动的讨论”糅合起来，一定程度体现了教师教学设计的创造性意识。

但是，教师对教材的欠理解不仅扑灭了他的创造性火花，而且使整节课的重心部分变得无序和非结构性。他把这3个部分看成并列关系，仅仅从形式上将这些信息拼凑在一起。事实上，这3个部分是逐步递进的关系，“估一估”利用原来学过的方格纸引导学生直观感受圆的面积是r²的3倍多一些，为后续学习作好思维铺垫；“拼一拼”和“课堂活动的讨论”可以糅合，但是糅合中也要体现出相应的层次性。转化思想是此处的第一要义，要体现出为什么要转化以及怎样转化（这一点教师基本没有考虑），其次才是体现转化思想方法化的多样性（不是多样的转化方法）。而活动1也反映出教师没有读懂教材设置该主题图的本意，即是希望教师在教学时要以真实问题情境作为本节课数学学习的大背景，素材当然可以弃用，但是其所承载的思想是要坚持的。

2.线性思维方式

线性思维是指教师在课前教学设计时对教材信息进行决策的过程中，习惯性地按照教材信息的呈现方式进行线性罗列的思维方式，上面谈及的《长方体、正方体体积公式之底面积乘高》就是一个典型案例。具有线性思维方式的教师认为，相关的两因素之间的关系仅是一一对应的线性的关系，用直线将这些因素连接起来并向未知领域作无限的延伸，用数学的语言来描述就是y＝kx+ b。具体表现为，一是单因素决定论，即有A就有B，A变B也变，A如何变B也如何变。比如，教材有的信息，教师决策的方案就一定有，教材怎样设置的事件发展线索，教师决策的方案也就照样变化。进入这一思维状态的教师往往忽略了其他因素对所考虑问题的影响，比如，教材各信息之间隐含的内在的逻辑关系，学生因素等。二是非线性关系线性化，其特点是将线性关系中所有的正比关系套到非线性的问题思考上去。比如，数学问题和数学活动本身是复杂的关系系统，并不是简单的正比例关系。而线性思维方式的教师则把例题多元的数学问题和数学活动线性化，改变了问题和活动的结构，从而弱化了学生学习数学的实际思考深度。

线性思维亦称为线性系统思维，可以分为两种情况：空间性线性思维和时间性线性思维。所谓空间性线性思维或称为功能性线性思维，是指根据局部信息推断整体情况时，将整体的性态和功能视为局部的比例放大。所谓时间性线性思维，是指根据阶段性信息推断全过程整体情况时，特别是根据过去和现在推断未来时，将未来视为近期变化趋势的自然延伸。⁽²³⁾小学数学教师在进行教学计划决策时，这两种情况交错出现。在“不规则物体的体积”的案例中，教材呈现的一个例题中所使用的量杯标注了刻度，教师便把这种局部情况放大到整体的性态，认为只要有刻度的量杯才能测量不规则物体的体积，这便是空间性线性思维方式的结果。而在诸多案例中，教师对学生行为的评价和处理方式则体现出时间性线性思维的特征。比如，某学生好出风头，则在教师眼里，他在任何教学时间里的行为都是为了出风头。特别地，在教学计划决策中也体现出时间性线性思维的特征。比如，在学习“2和5的倍数的特征”时，有学生对于概念表述中某些词汇理解不透彻，则在学习“3的倍数的特征”时，教师则有意识地引导学生理解她认为必须要理解的某些字或词汇。大多数情况下，空间性线性思维和时间性线性思维交错出现在小学数学教师的教学计划决策的过程和结果中。

线性思维是一种基于直观经验的思维方式，具有单一性、均匀性和不变性，即单一的方向、均匀的分布、不变的速度，一切都随着初始条件的给定而给定。该思维系统没有创新，没有意外，一切都是确定的和可预见的。其特征是定向思维和顺向思维，以偏概全，迷位和盲从。就小学数学教师教学计划决策来说，线性思维具有单一性和静态性的特点。单一性是指在课前教学设计时对教材信息的决策过程中，教师的思维指向局限于某一个方向，造成思维路径狭窄的思维方式。静态性是指课前教学设计时对教材信息的决策过程中，教师仅仅关注静态知识的梳理，忽视知识所承载的动态思维历程和内部的逻辑关联性。

（二）数学教师教学计划决策问题的应对策略

基于上述对拼凑思维方式和线性思维方式的阐述，研究者便围绕这两种思维特点和与其对应的思维方式进行初步的、实践意义上的反思。

1.数学教师教学计划决策应从拼凑思维走向理解性思维

从拼凑思维的含义及实践表现看，拼凑思维具有单向性、无序性的特点。单向性是指教师视教材为仅仅提供信息的无生命的工具，教师对教材是单向的信息提取和利用的关系。无序性是指教师对所掌握信息的无结构化的处理特点。总体上，拼凑思维的单向性和无序性特点使教师在教学设计过程中进行决策时，会忽视小学生数学学习需要教师帮助的特点，使其决策出来的教学方案在上课前就埋下许多阻碍小学生更好学习数学和进行实际数学思维的隐患，上述涉及的5个案例均有不同程度的体现。

理解性思维是指教师在教学设计时对教材中的信息进行决策的过程中，教师与教材文本是基于一种双向理解性关系而进行思维决策的，即教学计划决策时教师要进行文本理解。事实上，教材是有生命的事物，它以文本形式承载着编者的思想和意图，教师在课堂教学设计过程中要阅读教材，与教材编者对话和交流，最终达成与编者的“视域融合”。对于文本的理解，诠释学主要有3种观点：一种是施莱尔马赫（Schleiermacher）的“作者中心”论；一种是伽达默尔（Gadamer）的“读者中心”论；还有一种是法国诠释学家利科尔（PaulRicoeur）的“文本中心”论。“作者中心”论倡导通过“体验”和“心理移情”而“重构”文本的意义，达成对文本作者意图的复制和重建。“读者中心”论认为，对文本的诠释是读者与作者心灵的对话与沟通，读者不是对作者意图的简单复制，而是阐明和揭示文本中的真理性的思想。正如老师在向学生讲授欧氏几何学时，他决不只是重构或复制欧几里得的意图，而是阐明具有真理性的几何学原理。⁽²⁴⁾“文本中心”论不同于“作者中心”论把文本作者意图看做最终解释，也不同于“作者中心”论弘扬文本的理解与解释中读者开启的创生性意义，而是把文本视作理解和解释的中心。⁽²⁵⁾

毫无疑问，三种观点的基本立场都是“要理解文本”，只是关注的中心不同。“作者中心”论强调对作者创作“原意”的复制性理解；“读者中心”论强调对作者“原意”的创造性解释；“文本中心”论强调文本本身的意义。就教学设计而言，教师能够“读懂”教材作者（学科专家和一线优秀教师）的“原意”，对教学设计具有不可替代的指导意义，而教师对“原意”的创造性解释和应用是教学设计的灵魂所在。因为唯如此才能真正达成教师与教材作者的“视界融合”和思想交流，也因此起点而踏上数学课堂教学设计的思维征程。就前面提到的“圆的面积公式”案例而言，可以在分析教材表层信息的前提下，理解编者的“以真实问题为大背景→引导学生直观感受圆的面积是r²的3倍多一些→渗透转化思想，推导出圆的面积公式→给出转化思想方法化的多样性（即可以转化成不同图形，而根本思想都是转化）”编写思路，进而设计这样的课堂学习过程：直观感受→理性探究→归纳概括→发散思考的数学学习和思维过程。以此起点所设计的课堂活动过程应该与前面呈现的大相径庭。

从上述分析中不难发现，理解性思维具有意义性、结构性的特点。意义性是指教师对教材信息的阅读和决策除了关注能够看得见的信息本身外，还要关注信息所蕴涵的深层意义。结构性是指教师对教材信息的阅读和决策除了关注信息的独立性外，更要关注信息之间的相互关联性。教学世界和系统是非线性的存在方式，各个要素之间相互联系，相互制约，构成复杂的动态系统。教师置身于如此的复杂系统之中，在处理教材提供的信息时，应该与文本对话，依托理解性思维方式帮助学生建构个人意义。

2.数学教师教学计划决策应从线性思维走向创造性思维

与线性系统思维相对应的是非线性思维。非线性思维的思维指向特征是发散思维，包括逆向思维、多视角思维、否定思维等。由于事物的非线性可能有不同的表现形式，如质变、突变、跃变、分叉等，非线性本身即意味着不确定性。因此，不可能开发出一种非线性思维的规范方式，能够容纳和包括所有可能性的非线性关系。但是，即便如此，以科学家的创造性思维为原形开发的启发程序式对于摆脱线性思维的束缚，树立非线性思维，也是大有裨益的。立足教学系统看，教学系统是一个非线性系统，则静态知识的线性叠加便是失效的。教学系统的未来并不是按照时间或空间顺序计划好的，教学进程中存在着间断、突变、分叉、混沌及创新。在这样的一个非线性系统中，只注重有序性显然是片面的。所谓“教育内容”并不存在于教科书、教材程序之中和客体一方，它是以教科书、教材程序和他人的见解而展开的。⁽²⁶⁾“他人见解”便关乎于教师教学设计决策的创造性思维。

事实上，世界本质上是非线性的。基于经验的线性思维是许多重大决策失误的认识论根源，而事物之间非线性关系的发现往往是新的重大战略决策制定的基础。⁽²⁷⁾另一方面，非线性思维从本质上讲是一种用总体性的思考、综合的方法、整体的观念来理解宇宙万物的复杂网络思维，认为事物具有相关性、整体性、突变性、曲线性和开放性，体现出高维度、高效率、强关联特点，具有极强的创造性。

创造性是非线性思维最突出的特征之一，创造性在教师教学计划决策中显得尤为重要。现今倡导的教师应该具备对教材二次开发的能力，其实就是指教师对教材的创造性使用，即是说教师在教学计划决策过程中应该体现创造性思维。从这个意义上说，数学教师教学计划决策的思维方式应该从线性思维走向创造性思维。对数学教材实施的“效能决策”要注意避免单因素决定论和非线性关系线性化倾向；在时间和空间思维中强调事物的相关性、整体性、突变性、曲线性和开放性，使决策的数学问题和数学活动具有生动性和灵动性，使学生在对数学活动中体验解决数学问题的真实快乐。

需要说明的是，一般意义上线性思维与非线性思维并非对立，也并非不好。线性思维是一种“元思维”，与其他思维方式共存，是其他思维方式形成的基础。在本书中，笔者主要描述了“线性思维”的负面因素，原因在于燕老师的线性化特征过于突出，其线性化方面已经抑制了其他思维方式的特征表现，给其计划决策造成的影响是负面的。

正如前面所述，教学设计和教学计划决策对于课堂教学实施和决策意义重大，是学校教学决定教什么、怎么教、一个主题需要多长时间等问题的一个主要决定因素。教师们估计会花费一周工作时间中的10%～20%的份额进行教学设计工作，这也能说明教学设计在整个教学工作中的重要地位。⁽²⁸⁾在研究者的调研过程中，教师们认为成功、优秀的课堂教学有至少50%的功劳要给教学设计，一堂课失败了，首先是因为教学设计的时候就出现了决策错误或失误。教学设计有两种计划模式：线性模式（Rational-Linear Planning Model）和非线性模式（Nonlinear Planning Model），它们的含义如图2.13所示。⁽²⁹⁾

线性模式：

图2.13

无论哪种教学设计模式都是教师的决策过程，是不能观察到的心智活动，是教师的思维活动过程。因此，教师的思维方式影响着教学设计的决策过程和结果，而结果也体现出教师的教学思维特点等。有经验的教师会兼顾考虑两种模式的优势。比如，线性模式的指向性很明确，学生能明确知道它要到达的地方是一个怎样的景象，非线性模式则能使教师对学生的想法和说法更敏感。⁽³⁰⁾这里关心的是线性模式引领学生预达到的景象到底是怎样的，而非线性模式中学生的想法到底是什么元素使教师敏感，而这些皆取决于教师教学计划决策时的思维方式。

本章通过对5个案例的口语报告数据进行的纵向分析、三角互证分析和初步归纳，探索出小学数学教师教学计划决策存在着拼凑思维和线性思维的思维特点。结合笔者在其他场合所收集的小学数学教学计划等相关资料，一般性地解释了什么是拼凑思维和线性思维以及它们的特点和弊端，进而在教学实践层面上结合解释什么是理解性思维和非线性思维（创造性思维）的基础上，提出小学数学教师教学计划决策的教学思维方式应该从拼凑思维走向理解性思维，从线性思维走向创造性思维。

【注释】

(1)徐碧美.追求卓越　教师专业发展案例研究［M］.陈静，李忠如，译.北京：人民教育出版社，2003：30.

(2)Douglas A.Grouws.Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning.Macmillan Publishing Company，Maxwell Macmillan Canada，Inc，1992：216.

(3)R.M.加涅，等.教学设计的原理［M］.5版.王小明，等，译.上海：华东师范大学出版社，2007：21-22.

(4)Patricia Lea Brandow Hardre’s dissertation：The effects of instructional design professional development on teaching performance，perceived competence，self-efficacy，and effectiveness. Copyright2003 by ProQuest Information and Learning Company.

(5)Gagne，R，＆Medsker，K.（1996）.The conditions of learning：Training applications.New York：Harcourt Brace.From Patricia Lea Brandow Hardre’s dissertation.

(6)Patricia Lea Brandow Hardre’s dissertation：The effects of instructional design professional development on teaching performance，perceived competence，self-efficacy，and effectiveness.Copyright2003 by ProQuest.

(7)人民教育出版社课程教材研究所小学数学课程教材研究开发中心.义务教育课程标准实验教科书数学五年级下册［M］.北京：人民教育出版社，2006.

(8)Anderson，Linda M.Short-Term.Student Responses to Classroom Instruction.Elementary School Journal，82（1981，11）：97-108.

(9)　约翰・杜威.民主主义与教育［M］.王承绪，译.北京：人民教育出版社，1990.

(10)　约翰・杜威.民主主义与教育［M］.王承绪，译.北京：人民教育出版社，1990.

(11)人民教育出版社课程教材研究所小学数学课程教材研究开发中心.义务教育课程标准实验教科书数学五年级下册［M］.北京：人民教育出版社，2006.

(12)人民教育出版社课程教材研究所小学数学课程教材研究开发中心.义务教育课程标准实验教科书数学五年级下册［M］.北京：人民教育出版社，2006.

(13)（美）杜威.我们怎样思维・经验与教育［M］.姜文闵，译.北京：人民教育出版社，2004：55.

(14)孙昌识，姚平子.儿童数学认知结构的发展与教育［M］.北京：人民教育出版社，2004：147.

(15)人民教育出版社课程教材研究所小学数学课程教材研究开发中心.义务教育课程标准实验教科书数学五年级下册［M］.北京：人民教育出版社，2006.

(16)Robert E. Reys，Marilyn N. Suydam，Mary Montgomery Lindquist.Helping children learn mathematics（3rd ed）. Copyright by Allyn and Bacon，1992：199-200.

(17)　Robert E. Reys，Marilyn N. Suydam，Mary Montgomery Lindquist.Helping children learn mathematics（3 rd ed）. Copyright by Allyn and Bacon，1992：199-200.

(18)　Robert E. Reys，Marilyn N. Suydam，Mary Montgomery Lindquist.Helping children learn mathematics（3 rd ed）. Copyright by Allyn and Bacon，1992：199-200.

(19)　Robert E. Reys，Marilyn N. Suydam，Mary Montgomery Lindquist.Helping children learn mathematics（3 rd ed）. Copyright by Allyn and Bacon，1992：199-200.

(20)Robert E. Reys，Marilyn N. Suydam，Mary Montgomery Lindquist.Helping children learn mathematics（3rd ed）. Copyright by Allyn and Bacon，1992：201.

(21)人民教育出版社课程教材研究所小学数学课程教材研究开发中心，义务教育课程标准实验教科书数学六年级上册［M］.北京：人民教育出版社，2006.

(22)人民教育出版社课程教材研究所小学数学课程教材研究开发中心.义务教育课程标准实验教科书数学六年级上册［M］.重庆：西南师范大学出版社，2006.

(23)彭小孟，曾泽鑫.实现从线性思维到非线性思维的转变［J］.中国成人教育，2006（3）：38.

(24)洪汉鼎.诠释学——它的历史和当代发展［M］.北京：人民出版社，2001：218-230.

(25)彭启福.理解之思——诠释学初论［M］.合肥：安徽人民出版社，2005：33-69.

(26)佐藤学.课程与教师［M］.钟启泉，译.北京：教育科学出版社，2003：397.

(27)彭小孟，曾泽鑫.实现从线性思维到非线性思维的转变［J］.中国成人教育，2006（3）：38.

(28)　（美）阿伦兹（Arends，R. I.）.学会教学［M］.西安：陕西师范大学出版社：教育科学分支学科影印版系列教材，2005：97-100.

(29)　（美）阿伦兹（Arends，R. I.）.学会教学［M］.西安：陕西师范大学出版社：教育科学分支学科影印版系列教材，2005：97-100.

(30)　（美）阿伦兹（Arends，R. I.）.学会教学［M］.西安：陕西师范大学出版社：教育科学分支学科影印版系列教材，2005：97-100.