平均数教学三个时期的实践与反思

7.平均数教学三个时期的实践与反思

我从教以来，先后使用了三个不同时期、不同版本的教材，就平均数这一教学内容处理与相应教学设计的演变来看，反映了教学价值取向的变迁。

一、较复杂的平均数应用题(四省市教材^[1]）：重“变式”

四省市教材中，平均数是作为典型应用题出现的。教学目标是：知道平均数应用题的结构；能说出平均数的意义；能说出较复杂的求平均数应用题的解题思路和方法；会解答较复杂的求平均数应用题；会根据要求解答求平均数的实际问题^[2]。

当时对于平均数的“意义”通常是这样描述的：已知几个数，在其总和不变的情况下，移多补少，使它们成为相等的几份，求每份是多少。显然，这是把平均数作为平均分配的应用题来解释的。为使学生掌握解答求平均数应用题的思路和方法，教学时比较重视“平均数应用题的结构”，并总结、概括计算公式：

总数÷总份数=平均数

教师的教学设计和作业设计都围绕着“总数”与“总份数”的变化展开。以“总数”的变化为例，课本的两道例题是：

“实验小学五年级一班同学分成三个小组在小工厂糊纸盒，第一组16人，共糊256个；第二组14人，共糊210个；第三组15人，共糊255个。全班平均每人糊多少个?”

“一座炼钢厂在一个星期里，前3天平均每天炼钢0.16万吨，后4天平均每天炼钢0.195万吨。这一星期平均每天炼钢多少万吨?”

进一步的变式练习如：

“五年级二班某小组的一次算术测验成绩如下：3个男生共得292分；4个女生平均每人得95分。这个小组平均每人得多少分?”

相应的练习总结，往往强调总数、总份数与平均数要相对应。很明显，这一时期的平均数教学仍然是传统的应用题教学。

二、平均数(上海市一期课改教材^[3]）：重“操作”

上海市一期课改教材中的平均数单列为一个单元，分两个年级段出现，第一次出现在四年级(上），第二次出现在五年级(上），它们章节安排不归属于应用题。教学目标分别是：懂得求平均数与等分除法的联系与区别，会解简单的平均数应用题；会解答较复杂的平均数应用题^[4]。

教材的例1是：“有4组小长方体，第一组有9个，第二组有5个，第三组有7个，第四组有3个，平均每组有多少个?”

这样一个缺乏现实背景的问题情境，它的明显意图是提供一种直观材料，便于学生通过操作，探究平均数的算法，理解平均数是“移多补少”的结果。

实际教学时，学生首先想到的就是移多补少：第三组移1块到第二组，第一组移3块到第四组。也有学生想出把前三组多于3块的拿出来平均分，并且自己给这种方法命名为“平分差”。而平均数的一般算法经过教师启发“如果组数、块数比较多，有什么好方法算出平均每组几个”，才有学生想到“求和平均”。

当时，尽管平均数已经归入统计初步知识，但平均数统计意义的教学，实际改变不大，平均数应用题的教学对策大多仍在沿用。印象中比较明显的改观，除了上述让学生动手操作，探究算法之外，还有两点：

第一，启发学生明确平均数的取值范围。例如：

有6个同学的身高分别是140厘米、141厘米、143厘米、144厘米、145厘米、151厘米。不计算，判断这6个同学的平均身高，下面哪些说法是对的，哪些说法是错的，在括号里填入“√”或“×”。

(1）低于140厘米(　　）；

(2）高于151厘米(　　）；

(3）在140厘米到151厘米之间(　　）。

第二，通过实际例子帮助学生理解平均数与等分除法的联系与区别。例如：

育才小学五年级3个班的同学在小工厂糊纸盒，计划糊2600个纸盒，实际完成情况如下表：

计划全年级平均每人糊多少个?

实际全年级平均每人糊多少个?

这里，全年级平均计划每人糊20个，是平均分，而实际平均每人糊16.5个是统计数，并不是真正的平均分。

第三，针对学生解答“已知两个部分平均数求总体平均数”问题时的常见错误(将两个部分平均数相加再除以2），设计辨析练习。例如：

“某班男生平均身高140厘米，女生平均身高142厘米。全班学生平均身高是多少?(　　）。

A.(140+142）÷2=141(厘米）　　　　B.缺少条件，不能做

C.全班学生平均身高在140厘米～142厘米之间，但不能确定”

经小组讨论后交流：

①为什么选择C?

②补上什么条件，就能求出全班学生的平均身高?

③补上什么条件，算式A是正确的?你能验证吗?

④补上什么条件，全班学生平均身高比141厘米高?

⑤补上什么条件，全班学生平均身高比141厘米低?

学生们在思辨中体验、在验证中加深对平均数的理解，其纠错效果比一再强调用“总数÷总份数=平均数”要好得多。

三、统计(上海市二期课改教材^[5]）：重“意义”

上海市二期课改教材将平均数安排在五年级第一学期，由于学生在这以前已经学习了收集数据、整理数据、选用适当的统计图表示统计结果等内容，理解平均数的统计意义有了更为有利的条件。怎样充分利用学生的已有基础，在引进平均数的过程中初步理解平均数的统计意义?如何将平均数作为一个概念，而不仅仅作为一个算法来教?这些都是我在备课之前，在执教过几个版本教材的基础上，对如何上好这一课的思考。

1.情境创设，认识平均数

出示甲乙两名篮球运动员在小组赛中得分情况统计表：

如果你是教练员，下一场派谁上场呢?

学生面对表格，首先想到用对应比较的方法，第一场甲多得2分，第二场乙多得2分，平了；第三场甲多得1分，第五场与第四场对应，乙多得5分，所以两人各比了4场，乙比甲得分更高，应该派乙上场。也有学生说，两人比赛场数相同，比较两人总分更方便。

我又在上表中添加了丙运动员的得分情况：

问：现在该派谁上场呢?丙只参加了3场比赛，还能用得分总数比较吗?

观察表格，多数学生认为比赛场数不同，不能再比较得分总数了，因为前面已经知道乙的得分更高，所以只要在乙和丙之间进行选择。也有学生说：比较第二、三、四场两人的得分，乙比丙多得1分。马上有学生表示异议：乙第一场只得7分，只去掉乙的最低分不公平。那么怎样比较呢?面对老师的追问，有学生建议计算乙和丙各人平均每场得了多少分，这一想法得到大家一致赞同。于是，比较不同样本同类数据的整体情况，采用平均数的认识就在解决实际问题的过程中自然生成了。

实践表明，这样的教学设计以学生较为熟悉的问题情境为载体，比较浅显而又贴切地揭示了平均数的统计意义，学生更容易接受和理解。

2.练习巩固，理解平均数

既然平均数本质“属性”是“统计”，那么平均数的题目理所当然地应反映统计的内容。

第一层次：简单应用。

下面是小巧家第一季度部分费用的统计表。(单位：元）

(1）把表填完。

(2）你还能提出什么问题?

第二层次：估算平均数的取值范围。

小胖用计算器算出黄浦江上五座桥的平均桥长是658.46米。你认为算的对吗?为什么?

鼓励学生估计检验平均数的计算结果，发现错误，既能培养学生的估算意识与估算能力，还能帮助他们理解一组数据的平均数一定是在数据的最大值与最小值之间。

第三层次：变式练习。

学校图书馆上周借阅图书的人数统计表：(周一至周五均开放）

上周平均每天有多少人到图书馆借阅图书?

借助这样的实例，一方面提醒学生注意，计算一组数据的平均数时，通常不能删去其中的特殊数据；另一方面促进学生理解，在实际生活中人数不可能出现小数，但表示人数的平均数，可以是小数，因为它是一个虚拟的代表数。

进一步的变式练习如：

“4个篮子平均每个篮子装3.5个鸡蛋可能吗?”

“小明所在班级的学生平均身高是1.4米，小强所在班级的学生平均身高是1.5米，小明一定比小强矮吗?”

这些练习设计都力求帮助学生体会平均数的统计意义。

亲身经历了平均数教学的三个时期，平均数作为统计初步知识，总算回归了它的本来面目。

专家点评：

这是一篇具有历史纵深感的教学研究文章。

朱燕青老师充分利用个人可贵的教学经历，分析了自己在三个时期教学平均数的亲身实践与体会，从中反映了三个时期教学同一内容处理方式的差异，进而提炼出三个时期平均数教学各自的特征，为我们呈现了这一教学内容演变的历史画卷：

重“变式”→重“操作”→重“意义”

仔细思忖，概括非常简练，也比较贴切。因为一个时期某一内容的教法多种多样。三个关键词，是对各时期多数教师采用的，处在主流地位的教法的概括，很不容易。的确，我们是这么走过来的。

我们常说，历史是一面镜子，传承与创新在一定条件下可以相辅相成。对于课堂教学来讲，同样如此。了解过去是怎么教的，至少有助于我们明确今天改进教学的出发点，更有助于我们对照改革方向与目标，看清发展的空间。

在课程改革背景下，这样的研究，少之又少，值得推介。

曹培英

【注释】

[1]指北京、天津、上海、浙江小学数学教材联合编写组编的教材。

[2]小学教学目标(中），上海教育出版社，1992年。

[3]指北京、天津、上海、浙江小学数学教材联合编写组编的教材。

[4]九年义务教育课本数学教学参考资料第七册、第九册，上海教育出版社，1997年。

[5]由上海师范大学组织编写的教材。