4.乘法分配律
教学前端分析
一、学材分析
乘法分配律是《九年义务教育课本(上海版）数学四年级第一学期(试用本）》的教学内容。
中小学数学一般只讲五条运算定律。它们是“数字大厦”的重要基石。
前四条运算定律就是交换律和结合律，都只针对一种运算，揭示了加法或乘法的运算规律。进一步分析表明：有了正负数之后，减去一个数就等于加上这个数的相反数，利用代数和把减法转化为加法，加减法可以统一成加法；有了倒数概念之后，除转化为乘，乘除法可以统一成乘法。因此，运算定律只涉及加法和乘法。
至于加法与乘法之间的联系，是由乘法分配律揭示的。也就是说，五条运算定律中只有分配律起到了沟通了两种运算的作用。也正因为如此，乘法分配律的应用也最为广泛。
这么重要的运算定律如何解释，以便于小学生理解?过去我们总是强调它的结构形式，以帮助学生记忆和运用。实际上，在整数范围内，只要把它归结为乘法运算的意义，如：“5个3加3个3等于8个3”，“12个3等于10个3加2个3”，这样就通俗易懂了，既便于小学生理解和记忆，也有利于灵活运用。
二、学情分析
学生对于学习乘法分配律已经有很好的基础。
第一，在学习分配律之前已经大量接触了乘法分配律的事实。例如，早在学习表内乘法时，一般教材都会编排“8×5+8”、“8×8-8”等练习，实际上是在渗透5个8加上1个8是6个8，8个8减去1个8是7个8。可见，学生的感性认识基础还是比较丰富的。
第二，前面通过学习加法交换律和结合律、乘法交换律和结合律，学生已经具有将具体的计算事实概括成规律的基础。
因此充分放手让学生去探索这一规律应该是水到渠成的。
教学过程设计
一、教学内容
《九年义务教育课本(上海版）数学四年级第一学期(试用本）》第64～65页。
二、教学目标
1.理解乘法分配律的含义，掌握它的结构特征，并会用字母表示。
2.能运用乘法分配律进行一些简便计算。
3.通过导学材料加深对乘法分配律的体验、感悟、认识，提高合理、灵活的计算能力。
4.在学习过程中逐渐形成良好的数学认知结构。
三、导学材料
(一）复习
我们已经学了加法、乘法的运算规律，用字母表示：
加法交换律_______，加法结合律_______；
乘法交换律_______，乘法结合律_______。
那么，加法和乘法之间有什么运算规律呢?
(二）试一试
(12+8）×6=
12×6+8×6=
它们是得数相等的两个算式，可以用等号连起来：
(___+___）×___=___×___+___×___。
你能再写出几个这样的算式吗?(___+___）×___=___×___+___×___；
(___+___）×___=___×___+___×___。
你发现了什么规律?能总结吗?有困难看课本。
__________________________________________________________________。
小组交流。
(三）验证与理解
希望小学的操场是一个长方形，原来长65米，宽32米。扩建后，长不变，宽将增加15米，操场面积有多大?(课本例题）
看作一个长方形求：____________；
看做两个长方形求：____________。
算法不同，结果应该是______的。
所以：(___+___）×___=___×___+___×___。
你能编一道这样的实际问题吗?
_____________________________________________________?
你能用乘法意义说明吗?
例如：(12+8）×6=12×6+8×6表示
一共有___个6=___个6加___个6。
小组交流。
(四）巩固练习
1.运用乘法分配律填空。
(93+28）×11=93×□+28×□
□×(85-13）=29×□-29×□
2.不计算，判断下面各题是否正确，并说说理由。(对的用“√”表示，错的用“×”表示）
(1）(22-17）×35=22×35-22×17 ( ）
(2）78×91+91×25=78+25×91 ( ）
(3）8×(11×9）=8×11×8×9 ( ）
(4）101×99-99=(101-1）×99 ( ）
(五）温故知新
我们以前有没有用到过乘法分配律呢?
计算长方形周长(单位厘米）：
可以这样算：___×___+___×___；
也能这样算：(___+___）×___。
两位数乘法，如24×32，用竖式计算是：
把计算过程写成横式：(___+___）×___=___×___+___×___
(六）总结
今天学了什么?有什么用?
四、教学过程
(一）回忆连加、连乘的运算规律
我们已经学了加法、乘法的运算规律，这几个运算规律怎样用字母表示?完成导学材料的复习。
请学生说字母表达式，教师加以板书：
加法交换律a+b=b+a 加法结合律a+b+c=a+(b+c）
乘法交换律a×b=b×a 乘法结合律a×b×c=a×(b×c）
(二）在活动中探究加法和乘法的关系
1.感悟乘法分配律
(1）加法和乘法之间有规律吗?有什么规律呢?完成导学材料的试一试。
小组交流、讨论。
(2）乘法分配律用字母可以怎么表示?
根据学生回答板书：(a+b）×c=a×c+b×c
(3）现在你能看着字母式子，说一说乘法分配律吗?
让学生借助字母表达式，试着用语言叙述乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把这两个加数分别与这个数相乘，再把两个积相加，所得的结果不变。
2.理解乘法分配律
(1）在以前的学习中你曾经用过乘法分配律吗?完成导学材料的验证与理解。
(2）小组交流。
(3）请学生解释(32+15）×65与32×65+15×65的含义。
如：32+15的和表示大长方形的宽，65表示大长方形的长，用长×宽算出了大长方形的面积。32×65表示蓝色长方形的面积，15×65表示黄色长方形的面积，把两个面积相加也是大长方形的面积。
指出：用两种不同的算法求出了同一个大长方形的面积，这两个算式一定相等。记住了这个图，也就记住了乘法分配律。
(4）请再回忆一下，还有哪些实际问题，也运用了乘法分配律。
(5）交流自己编的实际问题。
(三）在巩固练习中熟练对乘法分配律的运用
1.完成导学材料的巩固练习
2.集体核对
3.乘法分配律的推广
从判断题的最后一小题：
101×99-99=(101-1）×99(√）
可以看出，乘法与减法也有类似的规律。
(四）在拓展练习加深理解并提升应用水平
我们以前有没有用到过乘法分配律呢?完成导学材料的温故知新。
全班交流。
(五）学习小结
特别强调：乘法分配律是哪两种运算之间的规律?哪些地方用到了这个规律。
教学后继研究
一、教后反思
基础知识的教学，核心目标是要使学生形成良好的数学认知结构。
因此整节课的教学思路就是引导学生在知识系统的背景下展开新的学习。“我们已经学了加法、乘法的运算规律。那么，加法和乘法之间有什么运算规律呢?”尽管部分学生对分配律已经有所了解，但所有学生都愣住了，可见他们都没有注意到这个规律的特殊意义。这样设置悬念，一方面激起了学生的认知欲望；另一方面有助于加深对分配律的印象。
本课导学材料的设计突破了以前惯用的教学框架，把原来散乱的知识系统化，沟通了知识之间的联系。实践表明数学知识的联系既是学生掌握知识的张力，也是数学知识本身的魅力，还是学生应用数学知识的活力。
教学进入到“编一道这样的实际问题”环节，学生有不少出彩的表现。
生1：我编的题目是：黄苹果有2盘，每盘有3个，红苹果有6盘，每盘也有3个。黄苹果和红苹果一共有几个?
黄 红
师：怎么运用乘法分配律呢?
生1：可以先算红苹果和绿苹果分别有几个，再把它们的和相加，也可以算红苹果和绿苹果一共有几盘，再算一共有几个。
师：很好，你能把两种算法用等号连起来吗?
生1：(3+5)×3=3×3+5×3。
师：能用乘法意义说明吗?
生2：8个3等于3个3加5个3。
生3：我编的题目是：每捆铅笔4支，小丁丁买了3捆，小亚买了2捆。小丁丁和小亚一共买了多少支铅笔。这道题目的两种算法也运用了乘法分配律。
师：用等号把两种算法连起来。
生3：(3+2)×4=3×4+2×4。
小丁丁 小亚
师：谁来用乘法意义说明?
生4：8个4等于6个4加2个4。
课堂上就感觉到的问题是：学生依据导学材料自学、探究，轻而易举发现了规律，但表述规律却很困难。尽管课中运用了“小组讨论”策略，最终多数学生还是采纳“有困难看课本”的建议。
课后，教研组同伴认为，对乘法分配律的体验、感悟和理解固然值得关注，但对分配律的形式化训练也不应忽视。
二、改进实践
怎样让多数学生能够自然地表述乘法分配律呢?
反复思考，想到了一个解决办法：把“试一试”的两道“计算题”改成“列式计算题”即文字题。
原题： 改换成：
(12+8）×6= 12与8的和与6相乘，积是多少?
12×6+8×6= 12乘6的积加8乘6的积，和是多少?
再次教学，效果明显。学生有了文字题的参照，规律表述的难题迎刃而解。
此外，还有三个地方作了改进。
其一，为了更好地突出乘法分配律的算理，同时也为了减少完成导学材料的时间，把例题的情境、数据稍作改变：
希望小学的操场上有一个长方形沙坑，原来长6米，宽3米。扩建后，长不变，宽将增加2米，现在的沙坑面积有多大?
看作一个长方形求：_________；
看做两个长方形求：_________。
算法不同，结果应该是_____的。
所以：(___+___）×___=___×___+___×___。
你能用乘法意义说明吗?
例如：(3+2）×6=3×6+2×6表示
一共有___个6，它等于___个6加___个6。
实践下来效果更好。看来降低计算难度既节省时间，又便于学生理解，更容易联系乘法运算意义作出说明。
其二，学生有画示意图的基础，可以增加一种说明方式，让他们选择：
你能用其他方法说明吗?(任选一种）
(1）画图说明：
_______________________________________________________
(2）编实际问题说明：
_______________________________________________________
再次教学，两种方式都有学生选用。
其三，吸取同伴的建议，在巩固练习环节增加两道用图形与字母表示乘法分配律的练习：
◆×★+●×★=(___+___）×___；
a×(b-c）=□×□-□×□。
相信这种形式化的练习能够促进学生形成乘法分配律的表象。
专家点评:
以学定教，为学而教，以学论教的实践——以《乘法分配律》的教学为例
一、教学前端分析
近年来，随着“教育以学生发展为本”的观念成为共识，“以学定教，为学而教”的思想正在被越来越多的教师所认同。相应地，一部分教师的教案中出现了“学情分析”，并成了固定栏目。长期以来，我们研究“教”多于研究“学”，“吃透学生”远没有“吃透教材”那样投入，那样下工夫。因此，在备课环节将研究“学”加以“规范化”，自有它的积极意义。
相对于教学设计学中通常的称谓“教学对象分析”或“学生分析”，“学情分析”明显更为确切。因为“教学对象”既可以指学生，又可以指学习内容；“学生分析”既可以是分析学生有关学习的情况，又可以是分析学生的道德品质或身心状况。而“学情分析”则更少歧义①。
与众不同的是，朱燕青老师又将“教材分析”改称“学材分析”。这似乎进一步体现了“以学定教”的思想，变“教材”为“学材”。
在肯定名词变换积极意义的同时，又不能不指出，教学思想的真正转变仅仅反映在教案栏目名称的改变上，是远远不够的，还必须有实质性的改进。
应该说，朱燕青老师的“学材分析”，非常深入。
首先，她以数学知识结构的整体观，道明了为什么运算定律只涉及加法、乘法。尽管对于学生来说，乘除法的统一、加减法的统一，要等到学了分数除法、学了代数和之后才能有所认识，作为老师，在学生学习之前理解这一点，还是很有必要的。
其次，她指出了乘法分配律的实质在于沟通乘、加两种运算的联系。
本来，加法、乘法的可交换、可结合的特点，以及乘、加运算之间可“分配”的特点，都是运算的性质，只是因为这些性质最为基本，是导出四则运算其他性质的基础，所以称之为“定律”。
在“学情分析”中，朱老师追溯了乘法分配律的早期渗透，并以此作为“放手让学生去探索”的依据，也言之有理。当然，如果能够找几位不同程度的学生通过对话、预测加以深入了解，可能会更好。
还需要补充一点：
在学习加法、乘法的交换律、结合律时，学生很少产生混淆，如计算125×(12×8），简便方法算的正确率很高。但当学了乘法分配律之后，经常有学生误用乘法的分配律，将上式算成125×12+125×8。以往，大家总以为主要原因是由于乘法的结合律与分配律形式相近，造成后摄干扰，却没有想到“防患未然”的重要措施是在引进乘法分配律时，就让学生明确它的特殊性，即前面学的四条运算律都只针对一种运算，而分配律却是乘、加两种运算之间的规律。实践表明，新授时强调这一点，以凸显分配律与交换律、结合律的实质性区别，有利于发挥先入为主的认知优势，有效促进分配律与前四条运算律的精确分化。
显然，这是“学材分析”与“学情分析”两者相结合的产物。
那么，把它写在哪个标题之下比较合适呢？无所谓，只要认识这一点并落实到教学中就行。
阅读朱老师的“学材分析”，也有类似情况。她在最后一段中指出：以前的教学，强调乘法分配律的结构形式，以帮助学生记忆和运用。
例如，将算式78×37+78×13与乘法分配律的字母表达式(a+b）×c=a×c+b×c相对照，让学生识别78相当于c，37与13分别相当于a与b，以帮助学生对号入座。这当然有助于提高简便运算的正确率，但若忽视算理解释与理解，充其量只是训练“按图索骥”的技能。
鉴此，朱老师提出：“把它归结为乘法运算的意义”，以上题为例，即37个78加13个78等于50个78，确实通俗易懂，有利于促进学生在理解的基础上记忆和运用。
不难看出，这段内容，已经超出了“学材分析”的范畴。它是基于学生“知其然不知其所以然”的学习行为分析，基于对以往教学的反思，得出的教学新对策。如果朱老师把它归入“学情分析”，读来同样贴切；或者干脆另列标题，冠之“教学对策”，也未尝不可。毕竟形式取决于内容，是为内容服务的。
其实，所谓“教学”原本就包含“教”与“学”两个方面，它们是不可分割、浑然一体的。教材的解读只有与学生的解读紧密联系起来，才是有效的解读，才能真正“读懂”，从而切实做到“以学定教”。
二、导学材料的设计
为贯彻、落实“为学而教”，比较典型的表现是将“教案”改为“学案”或“导学案”。仅就名称而论，“教案”、“学案”都有偏执一词之嫌，“导学案”看上去更符合教学实际。当下之所以竭尽全力强调“学”，其合理性可以认为是对过去只关注“教”的“物极必反”。每一位教师心里都清楚，发生在课堂上的“学”，或多或少、或明或暗都离不开教师的“导”。
就教学理念来讲，“导学案”被誉为是“先学后教”的操作化，是实现教师指导与学生自主学习统一的手段。还可以用当下流行的话语来阐述其意义，如“以学为基础，以教为导向，以发展为目的”，②等等。
从结构形式看，“导学案”主要是将“教学目标”改称“学习目标”、“教学重点与难点”改称“学习重点与难点”等等。进一步的变化是将“巩固练习”分为“课内练习”与“达标检测”。
从文本表达看，少数编撰水平较高的，学习目标、学习过程等的描述，由成人语言换成了儿童语言，更多的则还是原来的教师用语。
这样的“准儿童版”教案，课课翻印给每一位学生，其可行性与实际使用效果如何？能否持续发展？有待实践回答。
在我国，中国科学院心理研究所卢仲衡研究员有过近40年的自学辅导教学的理论研究与实验。最盛时扩展到全国29个省市自治区的5000多个实验班，每年印发教材约90万套，成为在全国颇具影响的教学流派。现在呢？
本文无意探讨教学改革“潮起潮落”背后的多方面的深层次原因，只想指出一点：社会发展的多元性，必然要求教学改革走向多样化。
朱燕青老师设计的“导学材料”，是教师基于教学前端分析，编制给学生使用的引导性学习材料。与课本相比，它更注重问题设计，它的导读、导听、导思、导做功能更加明显；与“导学案”相比，它摒弃了学习目标、学习重点与难点等套路，显得更加实在。
还有必要指出一点：朱老师的“导学材料”是在课堂上使用的，因而避免了“课后练习+课前预习”的双重作业容易加重课外学习负担的潜在问题。
要在课堂上的有限时间内有效“导学”，“材料”的选择、设计必须格外精心。朱老师的“精心”之处，最为可圈可点的是学与教的思路相当清晰。
首先，复习环节，不仅是承前启后、由“旧”引“新”，还通过问题设计，引导学生在回忆、再现加法运算律、乘法运算律的基础上，明确学习任务即探索方向：加法和乘法之间有什么运算规律呢？
这一学习定向，从一开始就让学生对新旧知识加以实质性的区分。如此“定向”的后续影响，它的积极意义，就是前面已经谈到的，将后摄干扰消除在萌芽状态。
紧接着的探究环节，引导学生计算、观察教师给出的两个算式，感悟其中的等价关系，再通过自己举例，发现、归纳、表达规律。
以往关于运算定律的教学，常常到此为止。但是，朱老师的设计，却不是浅尝辄止，而是继续引导学生将现实问题与几何直观相结合，使学生获得“现实”与“直观”两方面的理解支撑。进一步，再启发学生根据乘法运算的意义说明规律。其实质是从“事理”、“算理”两种视角解释规律，促进理解。
应该说，这是运算定律教学的一个突破。
小学数学十分关注教学的量力性，因此历来不要求对运算定律加以理论证明。通常的教学处理，就是通过计算实例，让学生发现规律，再让他们自己举例，验证规律，进而作出不完全归纳。除此之外，还能怎样帮助学生多侧面地理解，加深认识呢？主要的途径或者说方式、手段，无非是借助几何直观、调动生活经验。朱老师的“突破”，就在于较好地综合利用两种方式，使学生在他们的认知水平上，向“知其所以然”迈出了一大步。
后面的“温故知新”环节，则突破了传统的运算定律教学，只用于“简便运算”的局限，让学生初步领悟，原来前面的学习中，已经有很多地方用到了乘法分配律。
看来，如果没有基于学科特点的教学内容分析、学生学习状况分析，没有针对具体教学内容的教学改进与突破，无论是“导学案”，还是“导学材料”，都难免徒有形式。
三、教学后继研究
朱老师的教学后记，同样颇有新意。
首先，她的教后反思不写空话、套话，言之有物，非常实在。
她不仅记录了教学的成功之处，还写下了课堂上发现的问题。正如《礼记·学记》所言：“学，然后知不足；教，然后知困。”教学反思本来就应该是关于教学的知困、释困、解困活动。
其次，朱老师的教后反思不仅反思教，也反思学。
一般认为，教学反思是教师以自己的教学活动为思考对象，对自己的教学行为、决策及其结果进行回溯、检验与审视、分析③。看来，这样的认识有失偏颇，与“以学定教”、“为学而教”相匹配的教后反思还应当“以学论教”。
的确，课前以学定教考虑再周密，仍难免百密一疏。实际教学时，老师在课堂上就发现了学生“轻而易举发现了规律，但表述规律却很困难”。为什么呢？道理很简单，因为在这之前，学生还没有“两个数的和与一个数相乘”这样的语言叙述经历。怎么办？朱老师想到了“铺垫”，将“计算题”改为“文字题”，让学生看着“12与8的和与6相乘”列出算式，凭借语言的转化、翻译，使学生受到启发。真是太妙了!显然，通过“以学论教”，分析问题、解决问题，为进一步以学定教，为学而教提供了切实可行的依据。
更难能可贵的是，朱老师的教学后记并不停留于“纸上谈兵”，而是付诸“改进实践”，让跟进行动检验“反思—决策”的实际效果。无疑，反思成效的真正体现，还在于从“心动”走向“行动”，“思”“行”相伴。
这一“教学反思+改进实践”的“教学后继研究”，其价值在于：
一方面，这种“后继研究”，其实就是教师针对自身教学所开展的“行动研究”。它与本案例的前面两部分一道，构成了行动研究的一次螺旋上升的循环，而且是真正贯穿以学生的“学”为研究主线、研究主旨的教学行动研究：
另一方面，如此“知行合一”的“后继研究”，是教师隐性教学感悟的显性化，也是十分珍贵的经验积累与提升。它有助于教师形成自己的实践性知识，进而提高教学水平，实实在在地促进自身的专业发展。
这样的“教学后继研究”，值得提倡!
曹培英
主要参考资料：
[1]曹培英：学情分析的意义、内容与方法.小学数学教育，2009年第9期.
[2]余文森：课堂是教师指导与学生自主的统一.中国教育报，2012年12月13日第8版.
[3]曹培英：教学反思的涵义、分类与内容.小学教学研究，2010年第12期.
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