10.三角形的面积
教学前端分析
一、学材分析
从这个单元的教材编排体系来看，前面一课刚学了把平行四边形割补成长方形从而推导出平行四边形面积的计算公式；后面则要学习用两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形从而推导出梯形面积的计算公式。
因而三角形面积计算具有承上启下的作用，承上是巩固从一个图形上割补的方法，启下是要学习用两个相同图形拼成一个学过的图形的推导方法。当然这个作用还体现在解题思路上，平行四边形面积公式的推导思路只有一种：转化成长方形面积，梯形面积的推导思路有三种：转化成长方形面积、平行四边形面积、三角形面积，而本课三角形面积公式的推导对学生更好地理解从未知向已知的转化思路起到至关重要的作用。
所以本课的公式推导要承载两个任务，一是巩固学过的推导方法(“割补”的方法），另一个是学习新的推导方法(“拼”的方法）。其次，从学生思维的角度来看，这是两种完全不同的思维方式，它是可以培养学生从不同的角度思考问题能力的有效载体。
二、学情分析
学生在学习平行四边形面积计算公式的推导时，已学会了基本的转化方法，就是将要求的平面图形面积用割补的方法转化成已经学过的图形面积。
在平面图形周长的学习中，学生已经熟悉了代入公式计算周长的一般方法与技巧。
基于以上两点，三角形面积的推导与计算，学生是有充分能力进行自学的。
在推导三角形面积时，几乎所有的学生利用学材(教材、学具），都会将两个完全一样的直角三角形、钝角三角形、锐角三角形拼成一个平行四边形作为推导三角形面积公式的一般方法。
很少有学生会想到将一个三角形通过割补转化成平行四边形或长方形。过去都靠老师讲解。这次我想通过介绍我国古代的出入相补原理，使学生受到启发。
教学过程设计
一、教学内容
《九年义务教育课本(上海版）数学五年级第一学期(试用本）》第61～62页。
二、教学目标
1.知道三角形面积的计算方法，会用三角形面积的计算公式计算三角形的面积。
2.通过看书自学、动手操作得出三角形面积计算方法，从中感悟长方形、平行四边形和三角形之间的内在联系。
3.在三角形面积的推导过程中，利用“出入相补”原理的介绍，激发民族自豪感，渗透转化的数学思想。
教学重点：理解并掌握三角形面积的计算公式。
教学难点：理解三角形面积的推导过程。
三、教学过程
(一）复习引入、唤起旧知
1.求下列图形的面积
师：它们的面积分别是多少?
生：长方形的面积=6×4=24平方厘米。
师：这样算的依据是什么?
生：长方形的面积=长×宽。
生：平行四边形的面积=18×10=180平方厘米。
师：这样算的依据又是什么?
生：平行四边形的面积=底×高。
师：还可以怎么算?
生：平行四边形的面积=12×15=180平方厘米。找到对应的底和高就能求出平行四边形的面积。
师：为什么还可以这样算?
生：平行四边形有两组对应的底和高，都能算出面积。
师：对，分别沿着图中的两条高，都可以剪下一个三角形，拼成以高为宽、底为长的长方形。
2.揭示课题
师：今天我们要研究一种新的图形面积的计算。(板书：三角形的面积)
(二）动手操作、交流反馈
1.出示预习单
《三角形的面积》学习单 姓名____
1.看书自学第61～62页。
2.把下面两个完全一样的三角形剪下后拼一拼，能拼成什么图形，拼成后的图形与原三角形有什么关系？
3.一个三角形，你能剪拼成什么图形，拼成后的图形与原三角形有什么关系？
2.用两个完全一样的三角形拼成平行四边形
师：关于三角形的面积，你已经有了哪些了解?
生：我知道了计算三角形面积的方法是用底×高÷2。
师板书：三角形的面积=底×高÷2。
师：你们自己推导过面积公式吗?谁能介绍一下。
生：我把两个一样的三角形剪下后，拼成了一个平行四边形，发现三角形的面积是这个平行四边形面积的一半，所以三角形的面积=底×高÷2。
教师展示学生的三种拼法：
请学生指出平行四边形的底和高是三角形的哪条底和高。
师：你们非常聪明，不仅发现了两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，并根据平行四边形的面积推导出了三角形的面积，最重要的是你们还发现了计算三角形的面积，任意一条边都能作底。
3.用一个三角形剪拼成平行四边形
师：刚才我们用两个完全一样的三角形拼成了一个平行四边形来证明了三角形的面积=底×高÷2，那么谁还用一个三角形进行了剪拼?
生：试过了，但没剪拼成学过的图形。
师：很好，知道要把一个新的图形转化成已经学过的图形，你已经成功了一半。
师：在我国古代，数学家们依据一些经验成果，总结成一个简单明白的一般原理——出入相补原理，并且把它应用到多种多样的不同问题上去。请看什么是出入相补原理。
媒体播放：
师：请拿出三角形纸片，仿照图示剪拼一下。然后再想想，还有其他剪拼方法吗?
学生有的模仿，有的剪下上半部，没有继续剪，拼成了平行四边形，异常兴奋。
师：下课后，有兴趣还可以再试试，找到了其他剪拼方法，在下一节课中进行交流。
4.概括总结
师：同学们真了不起，通过预习知道了求三角形的面积的方法，现在又发现了多种把三角形转化成我们已经学过的平行四边形、长方形的方法。
(三）巩固应用
1.计算三角形的面积(单位：厘米）
师：三角形的面积计算公式通过大家的实践已经推导出来了，我们可以大胆使用，求三角形面积时，要注意书写格式，请看书上是怎么书写的。
生看书。
师：用你学会的书写方法说说第1题该怎么写?
生说师板书。
解：S=ah÷2
=15×4÷2
=60÷2
=30(cm2）
答：三角形的面积是30平方厘米。
师：请按照正确的书写格式完成第2、3两题。
生做师巡视。
2.选择题(单位：米）
求左图三角形面积的正确列式为：
(1)6.5×5
(2)6.5×5÷2
(3)无法解答
师：为什么不能选择?
生：因为找不到一组对应的底和高。
师：谁能分别指出对应的底和高?
一个学生上台指出后教师标出数据。
师：请同学们选择好数据并利用公式进行计算。
生开始安静地计算，教师巡视。
生汇报师演示结果。
师：为什么答案是相同的?
生：当然是相同的，因为求出的是同一个三角形的面积。
3.解决问题
有一块三角形空地，修建了4个临时展馆，要求每个展馆占地面积相等，并且为三角形。请你想一想，设计师是怎么设计的?
(四）全课小结
师：今天我们学习了什么?三角形的面积公式是怎么推导的?
教学后继研究
一、教后反思
三角形面积公式需要分这三种情况讨论吗?
第一次教学时，学生根据我提供给的三组6个三角形(如下图），按三角形的分类，分三种情况，归纳出三角形面积公式。这是目前各地小学数学教师的流行教法。
我正好有机会听了曹培英老师的讲座，才知道无须分类讨论，因为把两个锐角三角形拼成平行四边形的拼法具有一般性，与其他两类三角形拼成平行四边形的拼法完全一样。真正有意义的两个三角形拼成平行四边形有三种拼法，这是对计算三角形的面积、任意一条边都能作底的说明。
实践以后，感觉这样改进，思路清晰，效果比过去好多了。
我把6个三角形改成了2个完全一样的锐角三角形，学生在拼的过程中发现任何一个三角形都有3种拼法，三条边都可以作为底，显然要比第一次试教的推导过程来得有价值。
在两次施教的过程中，学生都不能自发地想到用一个三角形来剪拼、导出面积计算公式。
当然，这与我为学生准备的导学材料有关，限制了学生学习探究的思维，使思维发散不开，跳不出教师所画的“框”，从而导致了整班学生局限在两个三角形上。
二、改进设想
设计这样的学习单才更具有科学性、更能引发学生的深度思维。
1.平行四边形是转化为面积公式已知的长方形后，发现了它的面积计算公式。现在，面积公式已知的图形有两个，你认为可以把三角形转化为哪个面积公式已知的图形?
转化为_________。
2.怎样把三角形转化为平行四边形或长方形?
想好了再动手，你打算(在□里打√）：
(1）用两个完全一样的三角形拼□；
(2）用两个完全一样的三角形剪、拼□；
(3）用一个三角形剪、拼□。
对比两张学习单，发现修改过的学习单要求具体、目标明确，学生会根据自己的选择努力完成任务。这样设计就会启发引导学生生成由一个三角形转化成一个平行四边形的多种方法，在生成方法的同时促进对面积公式的理解。
专家点评"
朱燕青老师的这节课，既有大家公认的教学对策，如突出转化(化归)思想、等积变换，加强动手操作、几何实验，关注问题解决策略的多样化等等，又有与众不同的教学处理。特别是在走出教学的误区方面，有两点堪称特色。
一、恢复数学的本来面目
不知从什么时候开始，把两个全等三角形拼成平行四边形，流行起分类讨论：
如果是学生自己想到分类说明，进而归纳“任何两个完全一样的三角形都能拼成一个平行四边形”，应该得到称赞。
但是，将是否有意识地引导学生分类讨论，作为这一内容教学处理的一条科学性标准，赞誉为“从不完全归纳走向完全归纳”，甚至视为是否“体现课改理念”的指标，那就有失偏颇了。
就数学而言，仅以锐角三角形一种情况说明，本已“不失一般性”，无须画蛇添足，再重复说明。
真正有必要分三种情况说明的是，“两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，有三种拼法”，也就是说，三角形的任何一条边，都能作为所拼成的平行四边形的底。因为计算三角形的面积，任何一条边都能作为底，而且底的三种不同选择，面积计算的结果相等。
恰恰是这一点，长期以来，一直没有进入我们的教学视野。
要使全体学生感知这一点，很简单，只要放手让学生自己拼，再交流不同的拼法就行了。在多数学生眼里，不同拼法的分类标准是，以三角形三条的边为“拼缝”(重合边)，这是很自然的，教师不加启发，全班学生通过交流也能呈现不同拼法。
朱老师的教学，摒弃了“分类讨论”，强化了三种拼法，取得了良好的效果。
二、发挥数学文化的教学法功能
关注数学文化，是数学课程教学改革的亮点之一。但在很多教学中，穿插数学的史料、花絮，只是一种“调料”、“花边”。以介绍“出入相补原理”为例，充其量是渗透民族精神教育。
朱老师的教学，是出入相补原理的介绍，兼具德育功能与智育功能。
一方面，让学生了解史实，知道了刘徽的一项数学成就，以增强民族自豪感；另一方面，又启迪了学生的思维，开拓了学生关于图形转化的思路，发挥了数学史的教学法功能。
不少教师在教学三角形面积计算公式这一内容时，最为纠结的是预设了多种推导方法，实际施教时却发现学生难以接受。而且介绍的方法多了之后，反而干扰了基本推导方法的理解与掌握。朱老师的教学实践，提供了策略多样化的一种妥善处理方式，即先集中教学课本给出的推导方法，巩固练习之后，再通过出入相补原理的介绍，引出其他推导方法。有老师评价为“一法为先，多法在后，相得益彰”。确实，多种方法，有主有次，有利于不同水平的学生各得其所，获得适合自己的认知发展。
曹培英
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