13.计算比赛场次
教学前端分析
一、学材分析
《计算比赛场次》是《九年义务教育课本(上海版）数学四年级第二学期(试用本）》数学广场的教学内容。
这一内容的体育背景是单循环赛，数学背景是组合。对于小学生来说，是前面所学枚举、列表、画图等知识、技能和策略的综合运用，体现了教材编排的螺旋上升。
从数学的角度来看，n个队进行双循环赛，每个队都要比(n-1）场，一共要比n(n-1）场，单循环赛的比赛场次是它的一半，即n(n-1）÷2。前者是n个元素每次取2个的排列，后者是n个元素每次取2个的组合。
教材只介绍单循环赛，并采用列表枚举的方式帮助学生思考。借助列表，既可以得出(n-1）+(n-2）+…+0的算法，又可以得到n(n-1）÷2的算法。
此外，教材选择学生感兴趣的体育比赛内容为学习载体，符合四年级学生的身心特点。
二、学情分析
学生在二年级时学过列表枚举、三年级时学过“搭配”(3件衣服配2条裤子的组合），通过这两个内容的学习，大部分学生已经会借助直观的方法来解决此类问题。
本课的学习是学生经历从“直观”到“抽象”全过程的一个契机，能使他们的思维层次上一个台阶。
通常学生习惯于“搭配”的思路：4个队比赛，每两个队比一次，第一个队要比3次，第二个队要比2次，列式为3+2+1。相比较之下，用加法计算，比较直观、容易理解。用乘除法计算，学生第一次接触，背景陌生。因此，以加法为主，并把它作为基本算法符合小学生的认知特点。
但本课的目的不仅限于此，教材的意图是通过列表让学生理解两种算法之间的联系。这就成了本节课要突破的难点。
教学过程设计
一、教学内容
《九年义务教育课本(上海版）数学四年级第二学期(试用本）》第78～79页。
二、教学目标
1.能通过列举、连线、列表等策略探索计算体育比赛场次的方法，学会有序、全面地进行思考.
2.通过亲历解决问题的过程，培养观察、比较和分析的能力，初步渗透数学建模思想。
3.培养大胆猜想、积极思考的学习品质和合作交流的意识。
三、教学过程
(一）交流自学成果
1.出示预习单
《计算比赛场次》学习单 姓名____
一、联系经验、发现问题(课前）
在你的小组中，每2位同学都握一次手。
1.每人握几次手？
2.你们这个组共需握几次手？
能把你的想法写下来吗？
二、小组合作、解决问题(课中）
1.把你的方法介绍给伙伴。
2.把你们小组想到的方法整理一下，然后介绍给全班同学。
2.学生交流
(1）我们是画图表示出来的。1号和2、3、4号先握3次，2号再和3、4号握2次，3号和4号握1次，4号就不握了，也就是3+2+1=6次。
(2）我们算出共需握6次手。试一试就知道了，我先和徐逸凝、黄君诚、李丹握了3次，轮到徐逸凝要和我、黄君诚、李丹握3次，可是我已和徐逸凝握过了，这3次中有1次是重复的，接着轮到李丹和我、徐逸凝、黄君诚握3次，这3次中有2次是重复的，最后轮到黄君诚和我、李丹、徐逸凝握3次，3次都是重复的，每个人都握3次，一共有12次，其中重复了6次，也就是重复了一半，所以用4×3÷2=6算出来。
(3）我们照书上的表格来画的。甲和乙、丙、丁握3次；乙和丙、丁握2次；丙和丁握1次；丁就不握了，就是3+2+1=6次，还可以看出每个人除了不和自己握以外，都会和别人握3次，但其中一半是重复的，所以列式为4×3÷2=6次。
板书：
(二）小组合作，探索问题解决方法
1.尝试用画图、列表得出计算方法
(1）你们知道这类方法还能够解决什么问题吗?(板书：计算比赛场次）
(2）这里就有一个计算排球场次的问题。小朋友听说过中国女排吗?中国女排可是中国体育史上的奇迹，从1984年起连续五次夺得了世界冠军，其中1984年夺得了洛杉矶奥运会的金牌，时隔20年后，中国女排在雅典奥运会上再次夺得冠军。让我们重温夺冠时的那一刻。(播放媒体）当时雅典奥运会的女排分为两个组，中国队被分在B组。小组中要进行单循环赛。什么是单循环赛?(板书：单循环）
(3）B组参赛队一共有几支?
(4）中国队在小组赛中要进行几场比赛?为什么?
(5）整个B组共要进行几场比赛?你会计算吗?试一试。
(6）小组讨论并汇报。
①我们是用画图的方法来算，A队先和B、C、D、E、F队赛5场，B队再和C、D、E、F队赛4场，依此推算，一共要赛5+4+3+2+1=15场。
②我们也是画图的。一共有6支队，每支队都要赛5场，6个队共赛30场，其中一半是重复的，所以共赛15场。
③我们画了表格。A队先和B、C、D、E、F队赛5场，B队再和C、D、E、F队赛4场，依此推算，一共要赛5+4+3+2+1=15场，或者每支队都要赛5场，6个队共赛30场，其中一半是重复的，所以共赛15场。
板书：
2.灵活运用计算方法
(1）出示题目。
①6支队共有15个比赛场次，如果7支队进行单循赛，共有多少比赛场次?可以怎么算?还可以怎么算?
②如果现在有20支队进行单循环比赛，那么你能很快计算它的比赛场次吗?
(2）学生汇报。
(3）教师小结：用乘法算比用加法算简单。
(三）类推运用，巩固获得的方法
1.基本练习
选择题。
(1）学校组织乒乓比赛，小胖和小亚报名参加。和小亚同组的选手还有9人，小组中每2人都要进行一场比赛，小亚所在的小组共要进行( ）场比赛。
A.9×8÷2 B.10×9÷2
=9×4 =5×9
=36 =45
(2）从1、3、6、9四张数字卡片中任意抽出两张相加得到( ）个不同的和。
A.4×3÷2 B.4×3
=6 =12
2.综合练习
学校组织乒乓比赛，小胖和小亚报名参加。
(1）小胖所在的小组共有12人，小组中每2人之间都要进行一场比赛，小胖所在的小组共要进行几场比赛?
(2）乒乓比赛结束了，22名小选手纷纷合影留念，每2人之间都要拍一张照片。摄影师准备了6卷同样的胶卷，这些胶卷够吗?(每卷胶卷可以拍36张照片）
(3）“南翔杯”足球赛，共有8个参赛队，进行单循环比赛，一共要比赛几场?如果这8支足球队要进行淘汰赛，决出冠军一共要比赛几场?
(四）总结
通过这节课的学习，你又知道了哪些知识?
教学后继研究
一、教后反思
第一次试教时，几乎所有的学生都能用图示法表示比赛场次，并用加法算式算出结果，但没有一个学生会用列表法，也没有一个同学用乘除法计算，更不要说理解两种算法之间的联系了。我只能采取让学生看书自学的方法来解决。
以上是第二次的教学设计，我采用了先学后教的方法，让学生通过看书预习事先了解列表的方法，在课堂中通过兵教兵的形式使学生理解了用乘法计算单循环比赛要比用加法计算简单，而且列表法又能很好地解释两种算法之间的联系。
列表法的作用显然是不可忽视的。那么如何设计教学，既能让学生事先不预习，又能顺应学生的思维发展，比较自然地引出列表法呢?
二、改进设想
第二次教学，发现有学生采用列举的方法，写出所有比赛场次：
当时，因为这个同学没有举手，考虑到控制时间，我也没有让她交流。课后想来，可以用这个同学的列举法引出列表法：
当然，表格还可以继续简化。
最后让学生得出“每支球队要比赛的场数×球队支数÷2”的公式，这是把特例上升到数学模型的必要步骤。学生真正亲历数学模型产生的过程，才能取得对数学基本活动经验的积累。
专家点评
教师正确地分析了本节课是在学生已经学过列表枚举、“搭配”的基础上的进一步上升，通过经历一个从“直观”到“抽象”过程，并且这个过程最好由学生自然而然地表达出来。关键是让学生在发现列表反映了两种算法之间联系的基础上，实现从直观思维到抽象思维的转化。
教师在课后反思中说，第一次试教时，没有一个学生会用列表法，也没有一个同学用乘除法计算，更不要说理解两种算法之间的联系了。于是，第二次教学，就直接采用了先学后教的方法，让学生通过看书预习，事先了解列表的方法。后来虽然发现有学生采用列举的方法，可加以引导，但终因时间关系而未能如愿。
为什么小学生能一一列举，却不会列表呢?可能主要原因是不会设计表格。因为从学习统计表开始，学生的任务始终是填表，从来没有自己设计表格的实践，怎么可能一下子想到设计一个6×6的表格呢?所以，改进设想中的“引出列表法”，恐怕也只能是教师给出表让学生填。
由此想到，是不是一定要列表法?第二次教学，教师发现有学生采用列举的方法，排列成了楼梯状，这能不能算列表法?如此整齐的排列，实质上已经是一个没有格子线的表格了。
看来，实在没有必要因为教材出现了表格，就一定要学生自发想到画表。能一一列举，整齐排列，就已经很不错了。当然，能利用学生的列举排列，给它添上格子线，生成一个表格，也是一个很好的改进设想。
华忠明
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