失败学视野下学生代数类错题的管理策略探析

失败学视野下学生代数类错题的管理策略探析

数学科　云　静

[摘　要]失败学是一种从过去的失败中总结经验、积累知识，用以指导现在的行动并预测将来，努力不犯同样的错误的理论。相对于小学而言，初中处于从单纯的知识获取到掌握认知学习方法的过渡阶段，而在数学学习过程中，通过错题的管理来进行再学习是很有必要的。基于失败学的视野，初中学生代数类错题的产生可以分为心理障碍型、知识缺陷型、策略错误型、逻辑错误型四种类型，据此从教师层面上探索出具有一定创新性及可操作性的初中学生代数类错题的管理策略体系。

[关键词]错题管理　失败学视野　代数类错题　初中数学

在初中代数内容的日常学习中，很多学生都会或多或少地出现一些做错的题目，学生做错题要么是因代数知识理解不完善造成的，要么是因思维过程不严密或方法、技能没有完全掌握等原因造成的，而这些错误的解题过程往往展现了学生在解决代数类问题时的真实想法，暗含着学生的思考痕迹。如果教师对这些有价值的信息进行有效的管理，在教学中能准确地针对学生的错题的类型，正确分析错误产生的原因，并且又能及时地加以纠正和补救，那么学生就可以完善自己对代数知识的理解，提高解决代数问题的思维能力，他的学习就会不断地进步；相反，如果教师对学生的错题听之任之，不作任何具体的统计和分析，那么就无法了解错误的严重程度，错题得不到及时纠正便会积压起来，甚至形成错误的习惯，其结果必将阻碍学生继续顺利地学习高中的代数内容。有鉴于此，从失败学的视野来看，“现实生活中的事务往往相互关联，牵一发而动全身，这种复杂性决定了失败的多重性，要立体地把握失败和事故的真相，才能从失败中认真总结经验，开拓人类未知的新领域。”因此，教师要认真分析，深刻反思，正视学生的错误，针对不同的学生、不同的错误，应开出不同的处方，然后对症下药。本文针对初中学生数学代数类的错题，从教师的层面上针对心理障碍型、知识缺陷型、策略错误型、逻辑错误型等四种类型的错题，探索出具有一定创新性及可操作性的初中学生代数类错题的管理策略体系。

一、心理障碍型错题的管理策略

心理障碍型错题主要由学生数学学习心理上的缺陷所造成的错题。在初中代数内容的学习中，心理障碍主要表现为缺乏坚强的意志和信心，具有依赖心理，缺乏主动钻研精神，急功近利，盲目下笔，导致解题出错。产生的错误有以下几类：对概念、法则认知不清晰，感知数据和符号组成的算式不准确；注意分散，产生注意不稳定现象；由于“先入为主”形成思维定势，表现为老、旧方法干扰新方法，产生负迁移，造成错误。

初中学生在代数类问题的学习中出现的错误虽然多种多样，但就出错的心理原因来说，一是基础知识不扎实，缺乏数感；二是学生虽然具备了解决问题所必需的代数知识和技能，教师事先也刻意对学生反复强调，但是由于存在缺乏正确的心理状态和心理能力不足等问题，解题还是失败了，也就是“粗心”造成的。因此，对于学生的“粗心”，对代数类问题的错误进行心理分析，帮助学生消除心理性失误对解题的影响，不仅可以使教师了解学生产生错误的原因，有针对性地预防和纠正错误，而且还可以使教师掌握代数类错题的心理规律，为教师制定防止错误的具体措施，从而提高教学水平。

1．以错激趣

失败学提出：“要避免失败，要树立人人思考的习惯，即发挥每个人的主观能动性。”初中学生进行代数类的运算时，急于求成，都希望能很快算出结果，要么当数目少、代数式简单时，产生“轻敌”思想；要么当数目大、代数式复杂时，又表现出不耐心，产生厌烦情绪。因而，他们常常会出现莫名其妙的错误。

案例1：计算：－2＋3=？

错解：－2＋3=－（2＋3）=－5。

教师：规定右为正，向左为负，一个人从原点出发向左走了2米，记为－2米，又向右走了3米，记为＋3米，问离原点多少米？

学生：在离原点右侧的1米处，即－2＋3=＋1。

教师采用数轴拟人化的教学，启发学生思考，把人站的位置看作数轴的原点，把右边规定为正方向，左边规定为负方向，加强了学生对数的概念的认识，克服麻痹心理并加以正确的引导，既提高了学生的学习兴趣，又锻炼了他们有理数的运算能力。

对于一些代数的概念的认识错误，如果教师一味反复强调，学生会感到单调、乏味，达不到纠错的效果，如果我们换一种形式，用错解来要求学生判断和辨明真伪、阐明道理，这样学生就会感到新奇，会积极去思考错误所在，从而激起学生的学习兴趣。

2．针对遗忘

失败学提出：“要察觉潜在的隐患，才能少走弯路，把事故消灭在萌芽状态。”在代数类问题的运算中，学生首先必须通过感觉器官来感知数据和符号组成的代数式，然而他们感知事物的特点是比较笼统、粗糙，对相似、相近的数据或符号容易产生感知失真，造成错误。特别是当一些概念和条件扩展了，但学生的思维却产生惰性，停留在原来的地方时，解答就会产生失误。

案例2：在有理数学会用正数、负数和零表示实际问题中的数量的内容时，教师可设置问题：在－2，＋2．5，＋0，－0，－3．5，11，－13%中，正数是________，负数是________。

错解：正数是＋2．5，＋0，11；负数是－2，－0，－3．5，－13%。

学生没有正确理解0表示的意义。因此，教师引入了一个问题：有没有一种既不是正数又不是负数的数呢？能举例说明吗？

学生讨论后举例：如某一天某地的最高温度是零上7℃，最低温度是零下5℃，应该表示为＋7℃和－5℃，这里的＋7和－5就分别称为正数和负数。当温度为零摄氏度时，我们表示为0℃。由于零摄氏度既不是零上温度，又不是零下温度，所以，0既不是正数也不是负数。

教师在教学中通过对0的意义探讨，进一步强化正负数的理解，对0的分界和基准进行必要的分析，为以后有理数的加减做好了准备。

学生首次感知新材料时，感知材料所呈现的程序、结构及刺激物信息程度会给大脑皮层留下深深的印迹。因此，抓好代数内容的新知的教学，强化首次感知，在教学中，遇到代数概念外延变化时，要让学生深刻体会其内涵的相应变化。

3．打破定势

失败学提出：“经多次尝试后，会剩下能提高作业效率与利润的‘最好方法’，并为了维持质量稳定，因而把作业流程‘手册化’。但必须留意的是，在提高效率的同时，人往往变得只会照本宣科，创造力与观察力都逐渐下降，人的视野都变得狭窄起来！”学生如果多次重复练习某一类型代数类题目，会形成一个比较稳固的习惯性思考和解答数学代数类问题的程序化、规律化的思维模式和思维惯性，这种思维定势一方面有利于学生按照一定的程序思考代数问题，比较顺利地解出同类代数问题，而另一方面，学生易被表面现象所迷惑，会对题目的条件发生变化的代数问题的解答带来负面影响。

案例3：计算：4^2m÷2^2m

错解：4^2m÷2^2m=（4÷2）^2m－2m=2⁰=1

此题学生把同底数幂相除和单项式除以单项式的运算法则在使用中混淆了，进行了不恰当的类比。

因此，教师展示错解后提出大家回头看看计算过程，回答两个问题：

①4^2m和2^2m是同底数幂吗？

②4^2m和2^2m属于单项式除以单项式的计算吗？如果是，要先算哪一步？

同学们进行了热烈的讨论，得出结果。

在代数教学中，常常有一些学生有思维定势，被头脑中固有的顺序束缚，这时教师就要打破定势，让学生回头重新审视自己的思维，看辨析题目的条件、性质、运算应用可否类比，找出不足，继而思考解决新问题的顺序。

因此，教师不仅应注意培养学生的求异能力，还要引导学生从不同的角度、不同的方位、不同的观点去分析思考同一问题，扩充思考的领域，应注意培养学生养成细心观察、认真审题、规范书写、及时检查演算、及时纠正错误的良好的代数学习习惯。

4．主动展错

失败学提出：“对于‘不好的失败’（不该失败的失败，如不负责任、玩忽职守所导致的失败），要善意对待当事人，帮助他鼓足勇气战胜失败，不再重犯。”注意的稳定与分配能力是影响学生代数类运算的一个重要心理因素。在代数运算过程中，需要经常把注意同时分配到不同的对象上。由于初中学生注意不稳定、不持久，注意的范围不广，在局部满足感的驱使下，易被无关因素吸引而出现“分心”现象，常常会顾此失彼，丢三落四，忽视隐含条件而致错。

案例4：如在有理数的运算学习中：

（1）计算（－5）－（－5）××（－4）；

（2）计算1－（－1）×（－1）－（－1）×0×（－1）。

错解：（1）（－5）－（－5）××（－4）=0××（－4）=0

（2）2×（－1）－（－1）×［0×（－1）］=（－2＋1）×0=－1×0=0

学生因运算顺序错误而出错。教师设计“陷阱”让学生“展错”，通过训练激活学生的思维，激起他们的注意，让他们主动对题目再次“解读”，减少负迁移，减少盲目解题的出现。

此外，还有潜在假设、错觉、形似干扰、暗示误导等，都是让初中学生产生代数类问题的心理性失误，这里就不一一详述了。

二、知识缺陷型错题的管理策略

知识缺陷型错题主要指由数学知识上的缺陷所造成的错题。在初中代数内容的学习中，代数类知识缺陷型错题主要表现为对代数概念及性质的认识模糊不清而导致的错题；忽视代数公式、定理、法则的使用条件而导致的错题；忽视隐含条件导致的错题；遗漏或随意添加条件导致的错题。

失败学提到，“‘好的失败’是指在遭遇未知之事时，即使充分注意也难以避免的失败，如果能从这种失败中认真总结经验，往往能开拓人类未知的新领域”。错题和知识点是现象和本质的关系。代数类错题产生的其中一个重要原因就是知识缺陷，错题暴露出学生在掌握相关代数知识及其运用所需的条件化知识上的不足，反映了学生在代数知识学习中的薄弱环节。而针对代数内容的显性知识和隐性知识的转化与共享，将学生代数类知识缺陷型错误视为教学资源，进行再学习，可以加深学生对代数知识点的理解，梳理知识点的脉络结构，使学生获得被切实理解的、真正可用的系统化代数知识。

1．以错制题

失败学法则提到，“一件重大失败，有300个微小征兆。若枉顾或隐瞒看来无关紧要的小失败或抱怨，甚至假装不存在，重大惨剧迟早会降临”。在此理论下，我们看初中数学代数教学中出现的各种知识缺陷型错题，有的错题不失为检测学生对某些代数知识点掌握程度高低的一块“试金石”。由于认知能力的特殊性，如果学生存在代数知识盲点，往往会在考试或做题时出现普遍性的错误。

案例5：在数的开方和二次根式的教学中，将学生平时练习和作业以及考卷中常出现的错误编制了一些错解题，要求学生指出错处，说明错因。

下列说法对吗？如果不对，请说明理由。

（1，0，，，π，3．14，0．123 123……，0．101 001 000 1……，，这些数中属于无理数的是，，，0．123 123……，0．101 001 000 1……；属于有理数的是0，π，3．14，。

（2）－a没有平方根。

（3）=－4。

（4）－3²的平方根是±3。

问题一提出，学生通过积极的思考得出不同的答案，教师趁机因势利导，将他们分为两派，要两派各选一名代表并要求代表阐述各派的观点。然后，进一步指导他们逐个去对照课本的相关代数知识，认真辨析，从中寻求正确的解答，纠正了学生“有根号就是无理数”；“无限小数是无理数”；“π=3．141 592 6”；“－a就是负数”；“－3²=（－3）²”等这些错误的认识，学生对数的开方和二次根式的内容也了解得更全面、更深刻。

让学生感知错误、认识错误、证实错误实际上是为了纠正和减少错误，促进学生对所学代数知识有一个全面的理解。因此，在日常代数教学过程中，根据学生在代数学习中易犯的错误、容易忽视的问题，加以总结和归纳并有针对性地编制成一组错解题，把它们放在课堂上让学生辨析，可以加深学生对代数知识的理解，跳出原有的认识误区。

2．解决困惑

失败学的法则提到，“三不管地带是失败温床。绝对不能轻视成熟期或利润高峰期出现的‘质变’”。在代数教学中，对于某些代数知识点，如某些代数概念和计算法则，学生学习起来总是难以理解、不易掌握，一涉及这类代数知识的相关问题，就感到束手无策，即使解答了，答案也未必完全正确。

案例6：化简计算：｜a－b｜＋

错解：｜a－b｜＋=a－b＋a＋b=2a

学生的错解就是因为不能结合数轴上a、b的位置去掉绝对值符号和根号。

教师因此设计了两道针对性的实战演练：

（1）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简｜1－a｜＋的结果是________。

（2）若－=（x－y）2，则x－y的值为________。

对初中学生来说，从具体的数过渡到字母就是由具体到抽象的过程，而对于这类实质性错误的代数类错题，教师仅指出错误是不够的，需对错误之处详细解释和说明，必要时设计针对性练习，提供充分、全面的变式训练，帮助学生从事物的各种表现形式和事物所在的不同情境认识事物的本质属性，使学生对代数概念、法则等的理解更精确、更概括，更易于迁移。

3．知识构建

失败学提出，“全面分析失败，有助于建立防止失败的预警机制”。由于初中代数知识具有一定的结构关系，所以在代数学习中，学习者必须清楚哪些是已有的概念，哪些是新概念，以及这些概念之间是什么关系，等等。如果没有掌握代数知识体系，忽视代数知识间的内在联系，孤立、凌乱的代数知识体系会影响代数知识的有效掌握。

案例7：因式分解：9a²－4b²

错解：9a²－4b²=（9a）²－（4b）²=（9a＋4b）（9a－4b）

这道题由于学生对积的乘方运算不熟悉和对平方差公式的整体化不理解，导致他们只注重字母的平方，而忽略系数。以后讲到分式运算时还会利用因式分解简化运算的作用，如计算＋=－==－，等等。这类知识会一直延伸到学习解方程（组）时用因式分解的方法降次，学习三角函数时用因式分解的方法恒等变形等。

因此，学习因式分解应逐步让学生认识因式分解是简化运算和恒等变形的有力工具，形成代数知识的构建。教师在平时的代数教学中加强梳理代数知识点的脉络结构，挖掘有关代数类知识缺陷型错题产生的相关知识以改善认知结构，有助于学生理解代数各个知识点之间的内在联系，建构起与代数知识结构相适应的认知结构，从而提高问题解决的能力。

4．还原纰漏

失败学的法则提到，“逆向推演，找出失败关键”。学生在解答单一的代数问题时，需要提取、运用的代数知识少，因而受到代数知识间的干扰小，产生错误的可能性也小。但在解答代数的综合问题时，需要多角度思考问题的能力，由于需要提取、运用的代数知识多，这时若综合能力不够，学生则会在代数知识的选取、运用上受到较大干扰，出现答案错误或不全面。

案例8：在测验不等式组的应用中，笔者将学生在测验中的各种错解归纳整理后作为教学案例展示。

已知关于x的不等式组，只有四个整数解，求实数a的取值范围。

错解一：解不等式x－a≥0得x≥a，解不等式5－2x＞1得x＜－3。所以原不等式组的解集为a≤x＜－3。

错解二：解不等式x－a≥0得x≥a，解不等式5－2x＞1得x＜。所以原不等式组的解集为a≤x＜。

错解三：解不等式x－a≥0得x≥a，解不等式5－2x＞1得x＜2。所以原不等式组的解集为a≤x＜2。由于原不等式组只有四个整数解，可得实数a的取值范围是－3＜a＜－2。

错解四：解不等式x－a≥0得x≥a，解不等式5－2x＞1得x＜2。所以原不等式组的解集为a≤x＜2。由于原不等式组只有四个整数解，可得实数a的取值范围是－2≤a＜－1。

错解五：解不等式x－a≥0得x≥a，解不等式5－2x＞1得x＜2。所以原不等式组的解集为a≤x＜2。由于原不等式组只有四个整数解，可得实数a的取值范围是－2＜a≤－1。

错解六：解不等式x－a≥0得x≥a，解不等式5－2x＞1得x＜2。所以原不等式组的解集为a≤x＜2。由于原不等式组只有四个整数解，可得实数a的取值范围是－2≤a≤－1。

错解七：解不等式x－a≥0得x≥a，解不等式5－2x＞1得x＜2。所以原不等式组的解集为a≤x＜2。由于原不等式组只有四个整数解，可得实数a的取值范围是－3≤a≤－2。

错解八：解不等式x－a≥0得x≥a，解不等式5－2x＞1得x＜2。所以原不等式组的解集为a≤x＜2。由于原不等式组只有四个整数解，可得实数a的取值范围是－3≤a＜－2。

针对以上情况，笔者在讲评时或由学生自述想法，或是投影原始的解题过程，然后由其他学生进行审查，通过交流讨论，找出错误的思维环节并分析致错的原因，加强思维的深刻性，最后由小组给出正确的解答。通过错解一和二，学生总结解不等式要注意移项和化系数为1；对于错解三至八，学生总结不等式解集要注意实心与空心的取值。

因此，在初中代数教学中，教师要善于发现并利用学生的生成性资源，关注学生对已有旧知的掌握程度，引导学生通过剖析他人的错解，对解题思路进行认真的回顾和分析，找到失败的关键，使学生在头脑中进一步建构正确的模型，同时还会促使学生全面地、辩证地多角度思考问题，从而提高学生的辨析能力、纠错能力、反思能力。

三、策略错误型错题的管理策略

在初中代数内容的学习中，策略错误型错题主要表现为在解题方法上出现偏差，造成思路阻塞，或是一种策略产生错误导向，或是一种策略过于曲折、存在多余的思维回路，明显增加了过程的难度和复杂性，由于时间的限制，问题最终得不到解决。

失败学提出，“由于组织上的懈怠、政治判断失误、组织构造不良、计划不良、经营不良、管理不良等原因导致的失败是应该尽力避免的”。代数类错题产生的其中一个重要原因就是解题策略错误。而初中学生在解代数类题目时最容易出现的策略性错误，包括对隐含条件关注不够或不知道如何挖掘代数类题目中的隐含条件，不能完整地掌握代数定理、公式、法则，以及不善于在解题中整体把握等。因此，代数教学中要培养学生的分析能力，教会学生多角度思考问题，多途径解决问题，培养思维创新，学会“数学的思维”。

1．问题解剖

失败学提出，“各行各业做事之前一定得想到‘下意识着眼点’，这些着眼点转化成为数据、文字、图像等‘形式暗号’，像咒语般默记于心，未来若发生异常状况，就很容易透过暗号先有所感，并找出究竟是哪儿出了问题”。解初中代数类题目时，许多学生由于对隐含的代数条件（题目的条件中未明确给出但客观存在）关注不够或不知道如何挖掘代数类题目中的隐含条件，而使解题陷入困境，或导致解题失误，或使思路复杂化。

案例9：已知3^m=a，9ⁿ=b，求3^2m－6n＋1。

错解：因为3^m=a，9ⁿ=b，

所以3^2m－6n＋1=3^3m÷3⁶ⁿ×3¹=（3^m）³÷（3ⁿ）⁶×3¹=（3^m）³÷（3ⁿ）⁶×3¹……

计算无法进行下去。

教师提示：能否将3⁶ⁿ化成以9为底的幂？（教师在这里设置的一个中途站）

3²=9，学生很快解决了原问题。

案例10：当a为何值时，方程ax ²－3x＋2=0，只有一个实数根？

错解：令Δ=（－3）²－8a＞0，则a＜时，方程只有一个实数根。

学生在解答该题目时，直接令Δ=（－3）²－8a＞0。在这个过程中，学生对该方程是什么方程没有进行讨论，对于方程的概念、Δ的认识不到位。

“解题的价值不在于答案本身，而在于弄清是怎样想到这个解法的。”代数教学中忌讳就题论题地给出解答并演练，要展现思路尤其是思路的寻找过程。我们通过注重学习过程、内化学习、体验反思的教学，引导学生通过题干中的蛛丝马迹分析出隐含条件，在中间设立中途站，把代数问题分解成若干个代数小问题，通过这些代数小问题的解决，使原代数问题得到解决，这对于从已知条件出发直接解不出来的问题很有帮助。

2．问题识别

失败学提出，“让失败当事人从背景、经过、原因、处理对策等各层面记述失败内容，并从直接或间接原因、组织人员心理、当事人主观想法与感受等不同角度，做整体总结，思考如何通过简捷的搜寻方式，在最短时间内，从这些案例中找到前人失败的轨迹，并加以避免”。初中学生在解代数类问题时，如果不能深入地钻研与思考问题，不善于从复杂的事物中把握它的本质，而是被一些表面现象所迷惑，如在代数概念学习中，弄不清一些容易混淆的概念；在代数定理、公式、法则的学习中，不能完整地掌握它们（包括条件、结论和使用范围等），不能领会其精神实质，表现为形式主义、表面化和一知半解等，就会导致解题的策略错误。

代数概念是代数思维的细胞，若能读懂题干中的每一个代数概念，则对代数问题的分析就迎刃而解了，尤其是一些易错、易混的代数类题目。在平时的代数教学中，教师对代数概念的辨析不能放松：怎么得到这个代数概念的过程？代数概念的内涵是什么？在解代数类题中如何应用？讲解代数类问题时，要捕捉条件中与代数概念有关的“元素”，让学生养成分析代数概念的习惯。

3．问题加工

失败学提出，“杜绝失败和事故不能仅仅靠加强管理，还必须提高所有当事者的认识水平，让每一个人都了解事物（如产品制造）的全过程，以及每个环节与整体的关系及影响”。对于初中的代数类问题来说，整体考虑是以合制分，着眼于全局的思考，它与分解代数问题的条件或结论以各个击破恰恰相反，是尽量将各个条件集中，将各个结论集中，能够全面地、四通八达地建立条件与结论的有机联系，摆脱局部细节上一时难以弄清的关系的纠缠。

案例11：化简：4（a＋b）＋2（a＋b）－（a＋b）

策略错误解法：

4（a＋b）＋2（a＋b）－（a＋b）

=4a＋4b＋2a＋2b－a－b　　　　　

=（4a＋2a－a）＋（4b＋2b－b）　

=5a＋5b　　　　　　　　　　　　

例题中策略错误解法按照整式加减的一般步骤解题，如果把（a＋b）看成一个整体，按照合并同类项的法则解决问题，解法简洁明快。而整体思想对学生来说比较困难，教师为此整理了一系列变式题目，让学生内化知识。

变式①：4（x＋y）－5（x＋y）－6（x＋y）。

变式②：设x＋y=5，xy=－3，求（2x－3y－2xy）－（x－4y＋xy）的值。

变式③：已知2a²－3ab=23，4ab＋b²=9，求整式8a²＋3b²的值。

在初中代数教学过程中，有的代数问题从整体看问题，全局把握联系，向着既定目标逐步推进，很容易达到解题目的。这种问题若从各个细小的部分逐一考虑，会使解题陷入繁复计算和恼人的迷津之中。

4．问题组织

失败学提出，“逆向探究隐藏在背后的要因与关键，从失败中认真总结经验教训，往往能开拓人类未知的新领域”。学生解答代数类问题时习惯于从正面考虑问题，从条件出发，借助于一些具体的代数模式和方法，进行正面的、顺向的思考，这种思考具有定向性、求同性和专注性。然而事物往往是互为因果的，具有双向性和可逆性的特征。

案例12：已知x ²－4x＋2=0，求（x－1）²－2（1＋x）－3的值。

这题用整体代换的方法在求代数式的值时很常用。但是很多同学会直接解关于x的一元一次方程x ²－4x＋2=0，将求得的x的值代入（x－1）²－2（1＋x）－3进行计算，运算量大，容易出错。

教师提出：可以先化简再求值吗？

“一语惊醒梦中人”，同学们化简得到x ²－4x－4后顿时大悟，得到正解。

一些代数类问题，从正向思考不易甚至无法解决，逆向思维便成为合理的解题策略。在这种情况下，如果解题者不善于从正向思考转为逆向思考，不善于将结果处理由直接肯定转为排除否定结果，那么就容易产生策略上的失误。因此，在适当的时候，教师可以创设一种使学生犯错的环境，让学生“体验错误”，引导学生从错误中发现问题，直至解决问题。

总之，对学生解题思维策略能力的培养是提高学生数学素养的重要方面。在初中代数教学中要采取适当的措施，积极地多方面、多途径去避免和消除初中代数类问题的策略性错误，提高学生分析问题、解决问题的能力，从而提高解题的准确度和速度。

四、逻辑错误型错题的管理策略

逻辑错误型错题主要是因思维混乱、推理不严、表达不清而导致的错题。在初中代数内容的学习中，出现逻辑错误型错题的原因主要是有些学生代数思维发展水平低，思维离不开具体的直观对象的支撑；代数概括能力弱，对具体事物、表象进行提升有障碍；推理能力弱，代数知识、能力、方法准备不足，思路不明；思维品质差，解决代数类问题时往往只作肤浅的思考。

常见的代数类逻辑错误的表现形式有：虚假理由、偷换概念、分类不当、循环论证等。在实际初中代数教学中，教师可归纳典型的逻辑错误并及时给予剖析和指正，通过挖掘题目的条件、目标间的联系，让学生提出不同解法并进行比较，进行适当的说理性训练，培养学生联想、转化、推理、归纳、探索的逻辑思维能力，养成寻找理由、言必有据的习惯。

1．激活错解

失败学提出，“错误示范和正确示范一样重要，那些只会‘正确方法’的学生，固然可轻易解决过去曾发生过的问题，然而他们在设计领域最重视的创新力上，却显得相对贫乏。因此，透过‘了解失败原因’，让学生更能深入创新的过程”。代数知识本身有着严密的逻辑性，我们应该遵循这一特点，使初中代数知识点纵连成线，横联成面，形成一个联系紧密的代数知识网络体系，弄清哪些知识在网络中起决定性作用，哪些知识是从属关系的。

案例13：在整式加减的教学中，不少学生在计算和化简中混淆了解方程的等式性质，出现了看到式子有分母就去分母的现象，错把计算和化简题当作方程来解。比如，化简：＋。

授课时有一位学生解的过程是：

＋=3（x－1）＋2（2－x）=3x－3＋4－2x=x＋1。

当教师点评这个学生的解法时，引来一些嘲笑，于是教师立即问：“错在哪儿呢？”

学生回答道：“把方程变形（去分母）搬到解计算题上了，结果丢了分母。”

教师回应：“根据这位同学的解法，将该题去掉分母来解，其‘解法’确实简洁明快，因此能否考虑利用解方程的方法来解它呢？”

由此一个新颖的解法也出来了。

解：设＋=A

　3（x－1）＋2（2－x）=6A

　　　　　3x－3＋4－2x=6A

　　　　　　　　　x＋1=6A

　　　　　　　　　　 A=

教师通过引导学生提取和激活错解中的合理成分，挖掘题目的条件、目标间的联系，改变解题思路中方法之间的联系与规律，让学生提出不同解法并进行比较，既培养学生联想、转化、推理、归纳、探索的逻辑思维能力，又使学生在心理上认同和接受“纠错”，使产生这种错误的学生在实事求是的激励下接受帮助，让相关、相似知识的规律性内化为学生的知识与能力，从而使学生达到“解一题，带一串，通一类”的理想境界。

2．开发典例

失败学中提到，“找出代表性案例，将失败过程知识化”。由于代数逻辑认知能力的特殊性，一些代数类型的题目学生经常会错，并且会存在普遍性，因此，在初中代数的日常教学过程中，把典型的逻辑错误错题当作例题在课堂上讲解，往往事半功倍。

案例14：解方程：（2x－1）－1=（5－x）

错解：2（2x－1）－1=3（5－x）

　　　　　 4x－1－1=15－3x

　　　　　 　4x＋3x=15＋1＋1

　　　　　　　　 7x=17

　　　　　　　　　x=

教师没有立刻否定，提出：能写出解这个方程的步骤和每一步的依据吗？

解：去分母，2（2x－1）－6=3（5－x）（等式性质）；

　　去括号，4x－2－6=15－3x（分配率）；

　　移项，4x＋3x=15＋2＋6（等式性质）；

　　合并同类项，7x=23（分配率）；

　　两边同除以x的系数，x=（等式性质）。

教师在初中代数教学中，以学生的典型错例为载体，注意有计划、有步骤地把运算步骤和理论依据结合起来，使学生对代数类问题的运算的类型、运用的定律或性质有了更进一步的理解，不仅知其然，而且知其所以然，这样做既可以达到纠错的目的，又能使学生在说理的过程中养成寻找理由、言必有据的习惯。

3．暴露思想

失败学提出，“要有看到‘失败’的眼光，光靠找到直接原因和对此加以改善，是不能防止再度失败的，需要搞清事情的本质。也就是说，要清楚直接原因的背后还隐藏着什么”。分类是揭示概念外延的逻辑方法。由于初中学生解代数类问题时分类意识不强、思考问题不周密，因此解初中代数类问题时分类不当（要么重复，要么遗漏）是初中学生解代数类问题时常犯的逻辑性错误，教学中强调分类讨论要依据形式逻辑中关于代数概念相对应划分的规则。

案例15：若a，b，c是有理数，试探究＋＋的值是多少？

大部分学生得答案3。老师没有立刻否定，追问：怎么算？显然学生是考虑a，b，c为正数。肯定了同学们的想法后，借助一部分同学怀疑的眼神，进一步启发、引导同学们思考，a，b，c还可以表示哪些数？同学们通过讨论，引发探究，得出a，b，c的四种情况。这样做既保护学生原来的想法，让他们感受到自己又向成功迈出了一步，又让他们通过深入的考虑得出结果。

在解代数类问题中，如果对于题中所给条件考虑得不够周全或相关知识不能有机结合，无法把满足条件的各种情况考虑出来，就会产生虽然结论不错，但忽略了其他结论存在的可能性（即漏解）的情况。对于学生在代数类问题的运算中常常出现的一些分类不当的逻辑性错误，如以偏概全、忽视特例等。在教学中教师应该引导学生对自己的解题思路进行认真的回顾和分析，让学生明白错在哪里，为何出错，然后有针对性地纠错，这样才能避免学生重蹈覆辙。

4．修改错题

失败学提出，“研究失败，可以帮助人们分析失败的原因，分清责任，找到问题的症结，避免重蹈覆辙，从而获得成功”。在代数类问题的解题过程中，一些初中学生常常出现在同一个代数问题解答过程中，有意或无意地把原来的代数概念换成另一个不同的代数概念，所考察的对象中途变更，用不同的代数概念表示同一事物，又或者把不同的事物混同起来用同一代数概念表示的情况。

案例16：计算：－3²－50÷（－5）²－3

错解：－3²－50÷（－5）²－3=9－50÷25－3=9－2－3=4

教师针对学生的错解，提出了先让学生计算①－3²=________；②（－3）²=________。

学生计算两道小题，教师把问题再次交给学生，发挥学生的主观能动性，让学生认清各种写法的实质，鼓励学生尽可能地发现规律，并会用所得的结论解决问题。

针对学生解答代数类问题时出现的这类思维混乱、偷换论题、不等价转换等错误，教师应善于提出具有针对性和启发性的问题，创设一个自主探究的问题情境，让学生在纠正错题的过程中，自主地发现问题、解决问题，这是培养学生发现意识的有效途径。

总之，代数类的运算是初中数学学习的基础，在教学中，教师要根据学生存在的问题分析原因，找到相应的对策，对症下药才有效。失败学的研究给了我们两方面的启示：其一，“从失败中认真总结经验教训，往往能开拓人类未知的新领域”；其二，“全面分析失败，有助于建立防止失败的预警机制”。

参考文献

［1］胡东芳．教育研究方法——哲理故事与研究智慧［M］．上海：华东师范大学出版社，2009．

［2］畑村洋太郎．失败学［M］．高倩艺，译，上海：上海科学技术出版社．2002．

［3］刘儒德，江涛，李芳云．高一学生的错题管理行为［J］．心理发展与教育，2004（1）．

［4］张祖钧．总结失败教训的实际意义——关于“失败学”的几点思考［J］．龙岩师专学报，2005（2）．