华容道游戏

时间：2023-02-21 理论教育版权反馈

【摘要】：精妙绝伦的“华容道棋”，是与“独立钻石”(见《钻石游戏》一章)和“魔方”齐名的世界三大不可思议的智力玩具之一.在一个5×4格的方框(棋盘)里，放上了10个大小不等的方形木块，其中正方块最大，为2×2格；两旁各竖放着两个2×1格的长方块；中间横着一个1×2格长方块；长方块下面是四个1×1格的小方块.此外，盘中还有两个单位的空格(见右图)；空格下方设有一个两个单位长的出口.“华容道”游戏源于中国.我国

九、华容道游戏

一、华容道游戏概述

精妙绝伦的“华容道棋”，是与“独立钻石”(见《钻石游戏》一章)和“魔方”齐名的世界三大不可思议的智力玩具之一.

[“华容道”的基本布局]

“华容道棋”是一种“移块游戏”，其基本布局如下：

在一个5×4格的方框(棋盘)里，放上了10个大小不等的方形木块，其中正方块最大，为2×2格；两旁各竖放着两个2×1格的长方块；中间横着一个1×2格长方块；长方块下面是四个1×1格的小方块.此外，盘中还有两个单位的空格(见右图)；空格下方设有一个两个单位长的出口.

游戏要求：不离开方框移动各种方块，以使正方形的大方块，得以从出口处移动出去.

评判玩家优劣的标准是：

及格级——能将大方块从出口处移动出去；

优秀级——在及格的前提下，棋子移动的步数越少，级别越高.

“华容道”游戏源于中国.我国民间早就流传有对这种基本布局的解法，甚至有人宣称，只需用81步就能达到目的，可惜当时没有用文字把解法记载下来.最早用文字记录解法的，首见于姜长英教授的《科学消遣》一书.

“华容道”游戏传到国外，引起了人们的极大兴趣.许多专家、学者也纷纷加入研究的行列.对“华容道”的布局形式，也从“一横”(即有一个横放着的1×2格长方块)，拓广到“二横”、“三横”、“四横”和“五横”；优秀的解法，更众彩纷呈.但国内外人们最常研究的，还是基本布局.

据可考的记载：日本游戏专家藤村幸三郎，曾发表过85步基本布局的解法；后来另一位日本专家清水达雄，把步数减到了83步；再后来，著名的美国数学游戏专家马丁·加德纳，又把步数减少到81步，这与国人早先宣称的步数相同.

目前，“华容道”基本布局的解法步数，世界纪录依然止步于“81”.人们猜想：“81”可能是“华容道”解法步数的尽头，但至今没有人能够证明它.对此，世人依旧拭目以待！

[“华容道”的发明]

“华容道”的发明可以追溯到远古时代著名的“洛书”(见第六章《幻方游戏》).把“洛书”上的圈点，转换为数字的图形，称为“九宫图”.它就是我们今天所说的3阶幻方(见右图).

“幻方”在古代也叫“纵横图”，大约在距今约一千年前的宋初，人们在填纵横图的基础上，发明了一种“移块玩具”叫“九宫纵横”.

“九宫纵横”的棋盘，是一个3×3的方盒，在盒中如右图平放着八个单位方块.八个方块上分别书写着1至8的字样(图中的“*”).除八个方块外，方盒里还留有一个空格.游戏前，八个方块在方盒里的顺序是随意的，游戏要求：有效地利用这个空格，移动小方块，使它变成上页上图那样的“九宫图”形式(空格当9).所以，“九宫纵横”在有些书上也称“重排九宫”.

例1　试问，对于下左图的式样，是否能通过移动小方块，使它排成下右图那样的“九宫图”？

解　题图“重排九宫”的要求是能够达到的.用数字表示移动的棋子，则具体步骤如下：

1，2，5，7，4，3，8，1，7，4，3，8，1，6，2，5，4，3，8，1，6，7.

至此，“4”、“2”、“7”、“6”、“1”、“8”、“3”均已到位，最后把“5”移到中央即可.

要强调的是，“重排九宫”要求能否达到，与八个方块上数字的排序密切相关.

“九宫纵横”后来传到中亚和欧洲.欧洲人把3×3的方盒，改为4×4方盒，方块棋子也由8个增至15个.游戏开始，也像“重排九宫”那样，把写有数字的棋子打乱，排放在棋盘上.游戏要求：有效地利用空格移动棋子，使盒子上方块的数字，按一定的次序排列.

这种新的玩具，欧洲人叫它“移动十五”，又叫“十五子迷”.不久，这种游戏又传回到中国.

“华容道”游戏，正是在上面两种移块游戏的基础上发明的.棋盘从3×3、4×4，最终到5×4；移块则从单一的1×1，发展到1×1、1×2、2×1和2×2四种.这使得它趣味和难度都大大地增加，从而更加地吸引人，也因之流传更广.

问题9—01：

[难度系数：★★☆☆☆]

试问，你能把下左图的“十五子迷”式样，还原成下右图的正常的位置吗？如果能，请实现这种返原；如果不能，请说明理由.

答案在第202页.

[“华容道”名称的由来]

“华容道”游戏，开始时并没有确切的名称.后来人们在玩这种游戏的过程中，发现横放在中间的长方块，虽也左遮右拦，但终究还是让大正方块得以通过.这有些神似于《三国演义》中“智算华容”的情景.这一脍炙人口的精彩片段说的是：

七星坛诸葛祭风，三江口周瑜纵火，火烧连营，曹操数十万兵马毁于一旦，只落得带领几骑护卫仓皇逃命.

话说诸葛亮算定曹操必然往华容道方向逃窜，便派下赵云、张飞，配合东吴大将黄盖、甘宁，沿途围追堵截；又立下军令状，命关云长扼守华容道，务将曹操擒拿到手.

一切都准确地按诸葛军师的神算成为现实.最后，当曹操逃至华容道时，“义重如山”的关云长，却挡不住曹操的“情义经”，终于把他放走了……

受故事的启发，人们把玩具中的方块，分别写上兵将的名字.其中，大正方形方块代表曹操；两旁竖放着的长方块，代表围追堵截的四大将；中间横着的长方块代表关云长；关云长下方，布有如图所示的四个单位方格的小兵；方框的下方是一个两单位长的开口.

游戏要求：不离开方盒“调兵遣将”(移动各种方块)，最后在“关云长”的让路下，使“曹操”得以从开口处“逃命”.

就这样，这一玩具得到了一个非常形象的名称——“华容道”，并流传了几百年，延用至今.

由于“关云长”出场的形象通常是，骑于马上，横提大刀，因此“华容道”的基本布局，在民间称为“横刀立马”.

二、华容道棋子移动的若干规律

解“华容道”没有捷径，但却有规律可循.下面，我们以基本布局“横刀立马”为例，加以阐述.

1°“关云长”的调度：

“关云长”是横排的长方块，是“曹操”“逃命”必过的一关，也是他最大的障碍.“曹操”要出走，必然牵动周围的其他棋子.为了方便其他棋子的移动，必须存有足够的活动的空间.这就要求横挡着的“关云长”，务必尽快让路.要做到这一点，最有效的是先把它调到棋盘的下方角落.如果急于把它调往“曹操”上方，将欲速则不达.

2°四员“大将”的调度：

“曹操”往下移动时，下面的空间必然越来越小.这就要求面积稍大的四员“大将”，在“关云长”往下调的同时，尽可能地移到上方去.只有它们全都退居上方之后，“曹操”才能顺利走到出口.

3°“小兵”的调度：

“小兵”面积小，行动最自由，但它们必须处处让步于“曹操”和“大将”.由于“大将”和“关云长”的面积，一个顶两个“小兵”的面积，而它们的移动，需要两个连在一起的空格作保障，这就要求“小兵”移动时要联动，不到万不得已不要分开，以免拉开了两个空格的间距.

另一方面，如2°所述，为保证“曹操”能顺利走到出口，“大将”们必须退居上方，所以“小兵”也不要急于调到上方，以免占了“大将”们的去处.

上面“小兵”的调度规律，可以归纳为六个字：忌分离，莫急上.

4°“曹操”的调度：

“曹操”移到出口是终极的目标.“曹操”开始时位于棋盘的最上方，他必须向下走3格，才能到达最下方.在这下行的3步中，理论上每一步都有从“中间下”和从“边上下”两种可能.组合起来，理论上有8种可能.让我们分析一下，这8种可能中有哪些是切实可行的？

先看最后一步：“曹操”要移下来，“关云长”必须让路.因为两者各占两横格，而棋盘横的只有4格.因此就得把“曹操”移到一边，让“关云长”从另一边绕到“曹操”上方.这意味着，“曹操”最后一步从中间下的可能性不存在.这样一来，理论上的8种可能，有4种可以不必加以考虑.

进一步分析不难知道：第1步从中间下，后两步从边上下，也不可能将“曹操”移到出口.这样，有可能实现终极的目标的，至多只有如下图所示的3种：

——“中－中－边”方案；

——“边－中－边”方案；

——“边－边－边”方案.

5°小范围内棋子的调度：

可以在以下小范围内，任意调换相关棋子的位置(本条也适用于“华容道”的其他布局).如：

——在2×2的范围内，调换两“小兵”和两空格；

——在2×3的范围内，调换两“小兵”、“关云长”和两空格；

——在3×2的范围内，调换两“小兵”、一员“大将”和两空格；

——在2×4的范围内，调换两“小兵”、两员“横将”和两空格；

——在4×2的范围内，调换两“小兵”、两员“大将”和两空格；

——在2×5的范围内，调换两“小兵”、三员“横将”和两空格；

——在5×2的范围内，调换两“小兵”、三员“大将”和两空格；

——在4×3的范围内，调换“曹操”、四个“小兵”、一员“大将”和两空格；

——在3×4的范围内，调换“曹操”、四个“小兵”、“关云长”和两空格；

例2　下页上图看起来很类似于“横刀立马”的布局，只是原来横挡着的“关云长”，现改为竖向的“大将”，使大将从4个增到5个.读者可能会以为，少了横向的“关云长”的阻拦，“曹操”的逃脱会更加容易.其实不然，这个局式是个“死局”(即不可能有解答).

试问，该局为什么是“死局”呢？

解　事实上，如果“曹操”从中间下，那么就会像下左图那样，在上方形成了两个空格，但能进空格的4个小兵都在底下，这就卡死了；

如果“曹操”从边上下，“曹操”下来后留下的两个横向连着的空格，任何“竖将”都进不了，只好从底下调两个兵去填这两个空位.但这样一来，又会像下右图那样，“竖将”把“曹操”顶死.

上述表明，例中的布局是个“死局”.

为记述方便，今后如无特殊声明，我们都采用以下记号：

用字母“M”表示“曹操”(大正方形方块)；

用字母“P、Q、R、S、T、…”表示“竖将”(2×1长方块)；

用字母“X、Y、Z、U、V、…”表示“横将”(1×2长方块)；

用字母“A、B、C、D、E、F、…”表示“小兵”(单位方块).

用字母及其上标和下标：

表示方块的移动.字母本身表示字母所代表的方块移动一格；

字母的下标“u”、“d”、“l”、“r”表示方块向“上”、“下”、“左”、“右”移动；字母的上标，则表示移动的格数.在不会引发移动歧义的情况下，字母的上标或下标可以略去.

例如，M、A²、B_d、Z_r、…分别表示：正方块“M”移动1格；单位方块“A”移动2格；单位方块“B”向下移动1格；横块“Z”向右移动1格；…….

例3　右图为著名的布局“巧过五关”.

乍看起来，“五虎”拦路，似乎关山重重.实际上，这是一个可解的局，而且还不算困难，至少比“横刀立马”要容易许多.

试用本节的棋子移动规律，把正方块“M”移到棋盘出口.

解　要把正方块“M”移出去，至少需要34步.具体操作如下：

Z_rXUC²A²MD²VYU²；　CA_dMD²B²VYUZX²；CA_dMY²UZXC²A²M；　Z²XA²M.

问题9—02：

[难度系数：★★☆☆☆]

右图是“横刀立马”布局的变式，也像上例一样，该局的五个长方块(一横四竖)都集中在棋盘的下方，把大正方块“M”围个水泄不通，似乎“插翅难逃”.实际上，这道题并不如想象的那么困难.最多也只要34步就够了.

不信，你试试？

答案在第203页.

三、华容道基本布局的解法

上一节我们讲过，在“华容道”游戏中，“曹操”的移动是关键.对基本布局而言，只可能有“中－中－边”、“边－中－边”和“边－边－边”三种方案.

为叙述方便，我们把“横刀立马”中方块的名称改为字母(如右图).

下面，我们介绍相应于这三种方案的解法.

[“中－中－边”方案]

目前这种方案最好的纪录为81步.

具体操作如下：

CRXB_dSDBSX²A²；　　C²SD²XC²A²RSD²B²；

XA²SRP²MQC²A²S；　　Q²MP²RB²D²X²QSB²；M_（41）；

C²A²B²S²QD²M_（48）；　　C²PR²MC²ABSQD；

C_dMR²PBA₁SQ²MA²；　　B²PR²A²XC²D²M_（76）；

B²A²XD²M_（81）.

[“边－中－边”方案]

目前这种方案最好的纪录为83步.其中前23步走法同于“中－中－边”方案.

具体操作如下：

CRXB_dSDBSX²A²；　　C²SD²XC²A²RSD²B²；

XA²S_（23）；　　B²D²X²A²C²SDB_rRP²；

MB²D²A²C²X²RPM_（42）；　　B²D²A²MP²RC²M_（50）.

至第50步，已与“中－中－边”解法中的第48步相同，只是换成对称的图式.这意味着再走23步，就可实现将“M”送到出口.即“边－中－边”解法，共需83步.

[“边－边－边”方案]

目前这种方案最好的纪录为84步.如下：

DSXA_dRC²A²D²RX；　　SB²RA²C²P²MQS²B²；

RADPXQ²SB²R²A²；　　QSBRA_uQS²A²X²C²；

D²PC²D²X²RBA_uS²P；　　D²XM_（53）；

A²B²SRPQD²C²XM_（63）；　　B²SP²MB²A²SPRQ²；

MB²XC²D²M_（79）；　　B²A²XD²M_（84）.

问题9—03：

[难度系数：★★★☆☆]

右图是“横刀立马”另一种布局，它与“横刀立马”基本布局只是形似，其间似乎没有什么必然的联系，也很难简单地相互转换.但可以借鉴基本布局的解法技巧.这一布局比基本布局略为容易，大约只要不多于70步就能达到目的.

你能列出这一布局的一种解答吗？

答案在第203页.

四、有关华容道若干理论问题的探讨

在世界三大不可思议的智力游戏中，“华容道”历史最为悠久，大约不下六七百年.在漫漫的历史长河中，人们除了作为游戏之外，也对它的机理进行过探讨，课题主要集中于：

1°“华容道”布局可解性的判定法则；

2°在可解条件下解答的最少步数；

3°“华容道”布局的分类.

但由于至今尚未对“华容道”问题，建立起完整的数学理论，因此目前人们更多的仍停留于通过尝试探求真理.

[基本布局的解法步数]

对“华容道”研究最多的，依然是基本布局.数百年来无数人的实践，提示我们基本布局解答的最少步数为“81”.但至少在今天，它仍然是一个猜想.

这种探索实际上可以这样进行：

以目前已达到“81步”的“中－中－边”方案为例，不难发现整个移动过程可分为五个阶段：

第1步——第5步；(共5步)

第6步——第41步；(共36步)

第42步——第48步；(共7步)

第49步——第76步；(共28步)

第77步——第81步.(共5步)

头尾和中间共17步，基本上是不可少的.可做文章的只有第二阶段和第四阶段.从第6步起，能不能用更少的步数，抵达第41步？或从第49步起，能不能用更少的步数，抵达第76步？

如果有，表明“81步”不是基本布局解答步数的尽头！

如果没有，要怎样才能证实它？以上两点中，只要做到任何一点，都足以让你名留青史！但无论如何，我们已经把研究的范围大大缩小了.我们甚至可以用同样的办法，再次缩小所探讨的范围.从前，人们就曾用这种办法，从“85步”解答起始，逐步找到“84步”、“83步”，直至现有的“81步”的解答方案.

[“华容道”布局的分类]

由于横向的方块，对大正方块的向下移动，起着关键的作用，因此“华容道”的布局，一般都用横向的方块的数量，进行分类.分为：“零横”布局、“一横”布局、“二横”布局、“三横”布局、“四横”布局和“五横”布局六类.

上节例2，就是“零横”布局.就像大家看到的那样，一般地说，除个别显而易见之外，“零横”布局多为“死局”.

上节例3，则是一种“五横”布局.

下面是几种常见的“二横”、“三横”和“四横”布局的例子.

例4　试解上图的“二横”布局.

解　约需62步，如下：

XC>²D²Y²RXDC_rRQ²；　　MB²YSCD_uX²QRM_（20）；

B²A²YSDC_dMQ²RX；　　DC_rM_（33）；

A²B²QRYSXDC_dM；　　RQYABRXD²C²M_（53）；

BASY²RQXC²M_（62）

例5　试解上图的“三横”布局.

解　约需43步，如下：

X_rPQC2A2MD2ZC2A2；　　M_（11）；

D²B²ZA²MP²QYXC²；　　A²MPQ²YXA²M_（29）；

ZB²D²PQYXA²C²M_（39）；　　Y²XC²M_（43）.

问题9—04：

[难度系数：★★☆☆☆]

试解上页图的“四横”布局.

答案在第203—204页.

五、“华容道”在国外

[形形色色的“华容道”玩具]

“华容道棋”由我国先传往朝鲜和日本，后又传到西欧和美国，引起了各国人民的兴趣和爱好.各国还根据各自的文化特点，对方块的名称作了更改，变成为一种换汤不换药的游戏.

在日本，为了方便小学生玩，把“华容道”作了简化：原四条直块中的两条，一条改为横块，另一条换成两个单位小方块，使小兵数增加到六个，从而大大降低了“曹操”逃脱的难度.

在美国和欧洲，“华容道”成了一种足球场上的较量(当然，人物也改为他们国内人们所熟悉的)：“华容道”出口即为球门，“关云长”则为守门员，而“曹操”带球前进，意在破门，……

[汽车调度]

在日本，有人在“华容道”的方块上画上汽车图形，构思将“华容道”的技巧用于汽车调度.在城市拥挤、停车位奇缺的今天，这一设想，似乎颇具前瞻性.

……

例如，下页图的“E”形棋盘中，放有8个方块：黑色方块A、B、C、D和阴影方块E、F、G、H；另有三个与方块大小相同的空格.正确的位置是黑色方块在上方，阴影方块在下方，排列如下右图.但现在上下位置恰好颠倒了(见下左图).

试问，你能在棋盘内移动方块，将它们恢复到正确的位置，且所用的步数尽可能地少吗？

如果把题中的方块看成汽车，“E”形棋盘看作停车库，那么这一移块游戏，实际上就是一个汽车调度问题.

为记述方便，我们用数字1～12，代表棋盘上的12个格子的位置，并写于相应格子的右下角(见上图)；用“X→k”表示方块“X”，移动到“k”的位置.

下面是一种43步移块方案：

F→9，　B→2，　A→10，　C→12，　D→5，　C→8，

F→7，　D→9，　A→5，　B→6，　E→12，　D→1，

G→11，　H→10，　D→4，　H→3，　G→1，　H→9，

E→3，　B→2，　A→10，　H→5，　A→9，　B→6，

G→12，　A→1，　G→9，　B→2，　F→10，　C→12，

H→8，　C→5，　G→7，　C→9，　F→5，　B→6，

E→12，　C→3，　E→9，　B→6，　F→10，　E→5，

F→6.

至此，全部方块均已复位，只是我们尚不知这个方案是否最优.但愿读者中能有人找到比“43步”更好的方案.

[“搬家器”]

前些年，美国出现了一种新商品，名称叫“搬家器”.这是一种用于设计搬家方案的小小盘式计算器.它的外形就像“华容道”，盘上有许多形状各异的方块.盘面代表房间，方块代表不同的家具.你可以根据需要设定房间的大小和家具的种类，并选择搬家的方案；然后轻轻一按有关按钮，就能得出最佳的搬家方案.这种既省气力，又省时间的工具，的确相当美妙.

最近，还有人设想把玩“华容道”的技巧，用于设计站台、仓库等更大范围的货物搬运的最佳方案(就如同以下问题)，使这种古老的游戏，又萌发出时代的生机.

……

问题9—05：

[难度系数：★★☆☆☆]

如右图，有一个长5米、宽4米的长方形仓库，里面挤放着11件大小不等的方形物件.其中，要运货物最大，为2米×2米；两旁竖放着2米×1米的长方台P、Q；另有两张1米×2米平台X、Y横放着；再就是有6件1米×1米的小货物A、B、C、D、E、F挤放在不同的角落.整个仓库只有两个1米×1米的空位.

现要求所有的物件都不离开仓库，而仅利用两个空位移动各物件，把要运的货物移出仓库大门(仓库大门位于仓库前部的中央，长为2米).

试问，你能做到吗？

答案在第204页.

[答案和提示]

9—01

解　题目的要求是不可能达到的.理由如下(以下方法，可用于类似问题的分析)：

先介绍顺列的“逆序”.方盒里方块上的数字，可以看成是一个数的顺列(按一笔画接龙).

例如，观察上图两个顺列.图(1)顺列为

1，2，3，4，8，7，6，5，9，10，11，12，□，15，14，13.而图(2)的顺列为

1，2，3，7，11，6，5，4，8，9，10，15，□，14，13，12.

容易看出，这些顺列与正常的顺列相比，其中有些数字的位置被打乱了，有些大的数跑到小的数的前面去，这种现象我们称之为“逆序”.

逆序可以采用点数的办法算出来.例如，图(1)的顺列，8跑到7、6、5这三个较小数的前面，出现了3个逆序；7跑到6、5的前面，出现了2个逆序；6跑到5的前面，出现了1个逆序；又15跑到14、13的前面，出现了2个逆序；14跑到13的前面，出现了1个逆序.此外再也没有其他逆序了.图(1)的顺列，总共出现了9个逆序.

同理，可算得图(2)的顺列，共有18个逆序.

稍微认真分析一下，读者便会发现：在“十五子迷”中，方块和空格的移动，都不会引起原先顺列逆序的奇偶性的改变！从而一个偶逆序的顺列形式的图，是不可能移动成一个奇逆序的顺列形式的图.

在我们的问题中，已知图样(右图)可以很容易移动成图(2)的样式.前面说过，它有18个逆序(偶逆序).从而是不可能还原成有9个逆序(奇逆序)的正常的位置.