是什么绊住了学生思考的脚步

是什么绊住了学生思考的脚步

齐大文

八年级第一学期期末考试中，一道涉及“方程、函数、三角形”的综合题让大多数学生“马失前蹄”。是什么绊住了学生思考的脚步？综合题的思维形式对于每一个知识点而言，都是一道“选择题”，而对于知识点之间而言，则是一种“链式联结”。让我们对此做些分析，以求亡羊补牢。

题目：如图，已知直角坐标平面内的三个点分别为O（0，0）、A（2，1）、B（10，m），正比例函数y＝kx的图像经过点A，正比例函数的图像经过点B。

（1）求k和m的值；

（2）直线EF垂直于x轴，交AB于点E，交OB于点F，且将△ABO的面积平分，求点E的横坐标；

（3）如果点C在直线OA上，并且使得△ABC是直角三角形，求出点C的坐标。

一、每个知识点都是一道怎样的选择题

（一）三角形的面积：11项选择

释义1：（1）比较：列式思维之A、B、C与方程思想之D、E、F

列式思维之A、B、C，是一种典型的从已知到未知并力求直接得到结果为目的的思维形式。其优点，是有“脚踏实地”的感觉，列式中的每一个量都是真实存在的，量与量的运算关系都是可以清晰解释的。这正是初中学生在面对问题时，为什么总是割舍不掉它或首选使用它的根本原因。其缺点之一是，三角形的面积公式因已知的不同而变成了三个。而变式结果不是来自等式本身的因需而变，而是通过思维的无形推导，呈现的思维结果即是终极目标。而在形成列式的过程中，甚至根本不会出现等式，只有代数式（A、B、C式的右半边，无左边）。这无形地增加了大脑思考的难度。缺点之二是：从加、减到乘、除，再到乘方、开方，列式思考的难度级数并非是简单的叠加，运算形式的增加会使列式思维的思考难度迅速成几何级数增加，并使解释其含义变得越来越困难。

方程思想之D、E、F，不是以直接得到结果为思考目标，而是找一个能把已知量与未知量联结起来的等式为根本目的。大脑思考过程结束时，并没有直接得到最终的结果，只是知道所求解结果可以通过列出的方程获得。其优点，三角形的面积公式不用再变来变去，不再思考每两个量之间的运算合理性。无论谁是已知量，公式书写形式只有一个。这样可以大大减少大脑思考的容量，降低思考的难度。同时，它不会因运算形式的变化而改变思考难度。其缺点，大脑思考结束时，所找等式中的未知量并没有真正求出来。对于列式思维定式较深的学生，会体会到用未知量表示已知量的不踏实感。

比较两者，好比都是“从家到学校”。前者大脑思考的体验过程，是一步一步脚踏实地从家走到学校。这一体验过程反映了从头到尾都是完全自主思维的过程。而后者大脑思考的体验过程却只是找一个能“把我从家送到学校”的载体。只管找载体，不管载体如何走。载体找对了，一定能送到，载体找错了，一定送不到。这一体验过程反映了从自主到自动化的思维过程。

然而，“先入为主”让前者占尽了先机，致使后者给体验者总会带来“不踏实”的心理阴影。这种感受，让那些只有全都“想明白”才会动笔的学生大失水准。这种情况会因知识运用的综合性的提高、难度的增加而出现频率越来越高。因此，方程思想的教学的一个重要目标，就是让体验者通过“找路标”的方式尽可能消除这种心理阴影。在实战中，没有使用方程思想解题，或是想到用方程却没有真正实施的体验者，通常都会反映出这种心理阴影。

（2）难度级数划分（级数越高，难度越大）

第一级：列式思维A、B、C 第二级：方程思想D、E、F

第三级：方程思想G、H 第四级：割补法I，J

（二）函数、线段长度、直角三角形分类：7项选择、4项选择、6项选择

释义2：（1）函数之①、②、③是待定系数法，函数之④是代入求值，比较基础。函数之⑤是方程，理解的难度有所增强。函数之⑥、⑦是字母表示数理解难度较高。另外前三个选择又与后四个选择形成一个思维回路，可以循环思考。⑤代入函数解析式之前，⑥、⑦在表示点坐标之前，都会出现未知量，属于“方程式思维”，因此，都会产生不确定感。让部分同学思考时无所适从。

（2）难度级数划分：第一级：函数之① 第二级：函数之②、③、④

　　　　　　　　　 第三级：函数之⑤、⑥、⑦

释义3：（1）线段长度之M、V符合线段的两点距离公式使用的“列式思维”，比较基础，没有大的思考障碍。线段长度之N、W与线段长度之M、V构成一个逆向的思维回路。使用时会产生“方程式思维”，因此也会产生不确定感。

（2）难度级数划分：第一级：线段长度之M、V，第三级：N、W

释义4：（1）直角三角形之O、Q、X，可因图形的特殊性而减少分类的数量。也可因位置的特殊性简化量的表示方式，从而达到简化运算的目的。而不特殊的部分需要转化成边的关系，通过勾股定理的计算获得结果。其难度是特殊性与特殊位置需要对图形运动有较深的理解，并能画出相应的草图来辅助思考。如思考不周，可能会产生丢解现象。

直角三角形之Y、Z、S，其使用可以不用考虑图形运动，可以机械地把任何一个直角三角形分类问题都事先分成三种情况，不用画出相应的图形，并且每一种情况都不会分别地使用勾股定理列式求解。把最终的结果寄托于方程的计算，以及方程根的判别。此种方法的优点是无需思考，只需要相信“勾股定理所列算式一定会给出满意的结果”。计算正确时，不会出现丢根现象。但此种方式的难点是，计算量增大三倍。

（2）难度级数划分：第四级：直角三角形之O、Q、X

　　　　　　　　　　　　　 直角三角形之Y、Z、S

（三）一元二次方程：7项选择

释义5：（1）方程之（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）是因形而定的基本解法，每一种方法都有各自的解法技巧。选择恰当的方法是主要的难点。方程之（8）的整理定型是真正的难点，怎么定型，如何对系数进行合理的处理都要因题目中具体的要求而定，灵活性较高，需要很强的观察能力。

（2）难度级数划分：第二级：方程之（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）

　　　　　　　　　 第四级：方程之（8）

二、解题思路解析

（一）“求k和m的值”

第一步：把A（2，1）代入y＝kx，可求k；属于函数之①，第一级。

第二步：把B（10，m）代入，可求m；属于函数之④，第二级。

分析1：

从难度级上可知，第一问的难度较低，思考压力较轻，正确率也较高。

（二）“直线EF垂直于x轴，交AB于点E，交OB于点F，且将△ABO的面积平分，求点E的横坐标”

第三步：根据“E点在AB上，且AB∥x轴”，可设E坐标为（a，1）；属于函数之⑥，第三级。

第四步：根据“直线EF垂直于x轴，且F点在直线上”，可设F点坐标为；属函数之⑥、⑦，第三级。

第五步：由前两步进一步得EF＝1－1a；属于线段长度之N，第三级。

第六步：第二步与第四步得EB＝10－a；属于线段长度之N，第三级。

第七步：求△ABO及△BEF面积为4和2；属于列式思维之一，第一级。

第八步：利用△BEF面积第二种表示列方程（10－a），属于方程思想之H，第三级。

第九步：根据方程”和“10－a”的特殊结构，可整理为（10－a）（10－a），即40＝（10－a）2，再开方解方程；属于方程之（8）第四级和方程之（1），第一级。

分析2：

从第三步到第九步，经历两个一级、五个三级、一个四级的思维环节的“链式联结”。对于每一步而言，都属于单一知识点中思维较高级别，而这些较高级别思维环节组合在一起思考，其难度级数会大大增加。无论哪一个环节没想清楚，都会前功尽弃。

学生看到此问，会从哪里开始思考呢？“直线EF将△ABO的面积平分，求点E的横坐标”是此问给出的最明确的条件，即用“直线EF将△ABO的面积平分”来求“E的横坐标”，因此，这一定是大多数学生思考的起点。但学生马上就遇到了第一个难解的疑问：EF在什么位置时会把△ABO的面积平分？此时的正确回答是：“不知道。”想不出来，又看不到，没有具体位置，思维就会存在很多不解的未知数，它足以让列式思维阴影较重的学生无法进一步思考。另外，直线EF把△ABO分成的两个部分，右边是三角形，而左边并非三角形，“左边的面积又应如何求解呢？”这是学生思考之路上会遇到的第二个难题，也是没有整体思维的学生面对的又一个难题。只有跳出“EF具体位置”的思考和运用整体思维把分别求“两边面积”变成求“△ABO的面积”和“△BEF的面积”才能让困惑的思维得以进一步延伸。

但一波未平，一波又起。求△BEF面积的“底”与“高”都是未知数，应如何求△BEF的面积呢？这是学生思考之路上会遇到的第三个难题。只有形成了“方程解题思想”的学生才能从这个问题中跳出来，把它理解成：这些未知数正是列方程所必需的，没有它们，将无法列出方程。即把“求△BEF的面积”变成“表示△BEF的面积”。只有这样想，才把思路调整到第四个难题上来：可以用哪个未知数表示这个三角形的“底”与“高”？连闯四关，才能把思路理顺到前面写出来的第三步到第八步的过程上来。很明显，思考不借助“落笔”想明白有很大困难。这么多疑问，留在大脑中，会造成大脑的混乱，只有想一点记一点，每想一步，就记载一步，释放思考的内存，才能让大脑准确地运转起来。因此那些只有全都想明白才会动笔的学生是不会有机会进入到书写环节的了。

如果你认为连闯四关，就可以一马平川，再无问题了，那你就大错特错了，最后一步计算是难度级数最高的。好不容易列出了方程，当你发现这个方程的求解对你来说又是一堵墙时，有的学生这时将遇到一系列的疑惑就是：这个方程列得对吗？自己是否有信心解出这个方程？它需要如何整理才会是最简单的？这是否是最后的滑铁卢？

（三）“如果点C在直线OA上，并且使得△ABC是直角三角形，求出点C的坐标”

第十步：由“点C在直线OA上”，而“直线OA解析式为”，可设C点坐标为 （b，）；属函数之⑥、⑦，第三级。

如果选择用“角”分类，则：

第十一步：因∠AOB是锐角，所以“△ABC是直角三角形”只有两种可能；属于直角三角形之Y、Z、S，第四级。

第十二步：若∠B＝90°，因AB∥x轴，可推出：B点与C点有相同横坐标10，把它代入C所在直线解析式，可求出C点纵坐标；属于函数之⑥，第三级。

第十三步：若∠ACB＝90°，因C（b，），A（2，1），B（10，1），可以用勾股定理： AB2＝AC2＋BC2，列出关于b的一元二次方程：

化简得：5b2－52b＋84＝0解得b1＝2（舍），b2＝；属于方程之（8），第四级以及方程之（7），第二级。

如果选择用“边”分类

第十一步：AC为斜边，则AC2＝AB2＋BC2，由C （bb），A（2，1），

化简得：b＝10，属于方程之（8），第四级。

第十二步：BC为斜边，则

B（10，1），可得

化简得：b＝2（与A点重合，舍），属于方程之（8），第四级。

第十三步：AB为斜边，因C （bb），A（2，1），B（10，1），可以用勾股定理：AB2＝ AC2＋BC2，列出关于b的一元二次方程：

82＝（b－2）2＋b－1）2＋（b－10）2＋（b－1）2

化简得：5b2－52b＋84＝0，解得b1＝2（舍），b2＝；属于方程之（8），第四级以方程之（7），第二级。

分析：从第十步到第十三步，学生可能会遇到的难题有：如何表示C点坐标？选择哪一种分类方式求解直角三角形的问题？第一种分类中是否理解特殊位置产生的简便方法？如何处理这么复杂的方程运算？如何辨别得到的结果是真是假？

三、教学的启示

（1）密切关注因方程思想、字母表示数等思维形式给学生心理造成的不确定感。通过反复实践实现思维的贯通。充分重视复杂运算给学生带来的烦躁情绪，着力提升学生观察能力，提高对特殊情形的敏感度，解决心理困扰，轻装探索未知的结果。

（2）建立习惯式思维片断，推进思维规范化、格式化，建立简单操作流程，使思维能够自然地进行。

（3）手脑结合，试验演算，探索规律，激发灵感。