齿形图案的连接方式与拼图

第7章　齿形图案

7．1　齿形图案的种类

齿形图案按图案外框大小可分为两类：一类的外框大小为6×11，另一类的外框大小为7×10。

外框为6×11的图案有66个格子。12块拼板占用60个格子，余下6个空格分别分布在第1行和第11行各3个，且相间分布，即空格不相连，这样就形成了齿形。

如图7－1①所示为6×11外框的齿形图案30495。图案中有6个空格，它们是第1行的1B，1D，1F和第11行的11A，11C，11E。形成的齿为1A，1C，1E和11B，11D，11F。由于第1行和第11行的6个齿的位置是顺次的，即可排列为1A，11B，1C，11D，1E，11F，所以称为顺齿形图案，记作CH。

图7－1　外框为6×11的齿形图案

图7－1②所示的齿形图案56704也有6个空格形成6个齿，但齿的位置排列为1A，11A，1C，11C，1E，11E，第1行与第11行的齿是成对的，称之为对齿形图案，记作DH。

外框为7×10的图案有70个格子，就有10个空格，它的空格在A列与G列（最左和最右两列）各5个且相隔，即空格不相连接，也形成齿形图案。

图7－2①所示为7×10外框顺齿形图案07X19。图中这10个空格在A，G两列各5个，分别为A2，A4，A6，A8，A10和G1，G3，G5，G7，G9。齿的位置为A1，G2，A3，G4，A5，G6，A7，G8，A9，G10，是顺齿形图案。

图7－2②所示为7×10外框对齿形图案01948。空格位置为A2，A4，A6，A8，A10和G2，G4，G6，G8，G10。齿的位置为A1，G1，A3，G3，A5，G5，A7，G7，A9，G9，是对齿形图案。

图7－2　外框为7×10的齿形图案

7．2　齿形图案的编码及变换

齿形图案的编码同矩形图案，用其左上角、右上角、左下角、右下角及附角的拼板编号组成。应注意的是：

（1）齿形图案正图的左上角不能是空格，必须是齿。

如图7－1①所示。左上角为3号拼板；右上角用第1行最右一格F格（若F格为空格则采用E格），于是取0；左下角为最后一行最左一格A格（若A格为空格则采用B格），于是这里为4号拼板；右下角为最后一行最右一格F格（若F格为空格则采用E格）为9号拼板；附角是紧接着右下角的5号拼板。所以图7－1①齿形图案的编码为30495。

（2）因为齿形图案的左上角必须是齿，所以编码的数字程序不一定是以自然数大小排列，而是角的次序排列，如图7－1①中的正图是30495，而不是03947。图案03947是作为图案30495的第二象限图。

（3）在所有的矩形图案中10号拼板是不会出现在角上的，但在齿形图案中，10号拼板可能出现在角上，如图7－2①中，其图案编码是07X19。这里用“X”表示10号拼板，在罗马数字中“X”是10。

齿形图案如含有可变换的组合图形，同样可以进行变换。如图7－1①所示的图案中含有XD13－6（拼板2，6，L）、ZD8（拼板4，10）和ZD11（拼板5，9）3种独立的变换，所以有8种变换图案。当ZD8变换后图案编码变为30X95，ZD11变换后图案编码变为30X59。

7．3　齿形图案的连接方式与拼图

7．3．1　履带连接

1．6×11齿形图案的履带连接

图7－3①所示为顺齿形图案的履带连接图例。

顺齿图CH1为图案30495（见图7－1①）。若采用同一图案连接时，可将CH2（30495）的第1行与CH1的第11行相衔接。因CH1的第11行空格为11A，11C和11E，而CH2的第1行的齿为1A，1C和1E，所以连接时正好填补了CH1的空格，完全吻合，形如履带的两个节。所以连接时把每幅齿形图案称为“节”。履带连接可以是两节、多节，以至无限伸展。

连接的下一节可以是与上节相同的图案，如CH2与CH1，称为“自接”；或是同一图案旋转180°，如CH2与CH3，称为“倒自接”；也可以是不同的图案，则称为“互接”。

连接中，上一节的第11行与下节的第1行互相补缺衔接处的一行是上下节共有的，节与节的连接处称为“节线L”。节线就如履带的芯。在节线处两节可连亦可分。

在节线上下形成的图案中若有符合可变换组合图形的可以进行变换，如图7－3①中节线L1处有ZD4（拼板3，4）变换。但变换后节线L1处的CH1与CH2就不能再分开了。

图7－3②所示为对齿形图案的连接。DH1为对齿形图案56704。DH2是DH1旋转180°后（成倒图）与DH1相接。拼成后DH1与DH2合成一整体，变为顺齿形图案，以后可按顺齿形图案进行其他拼接。

2．7×10齿形图案的履带连接

图7－4①所示是两幅7×10顺齿形图案07X19的连接（即CH1与CH2是相同的图案），连接后仍是一个顺齿形图案。

图7－4②所示是两幅7×10对齿形图案01948的连接。DH2与DH1是相同的图案，但必须旋转180°后方可与DH1相连接。连接后两节成一整体，为顺齿形图案。

图7－3　6×11齿形图案的履带连接

图7－4　7×10齿形图案的履带连接

7．3．2　组合连接

6×11齿形图案与7×10齿形图案也可以相互连接，称之为“组合连接”。

由于6×11齿形图案有3对齿，7×10齿形图案有5对齿，将3节7×10并列后有15对齿，5节6×11并列也有15对齿，这样两者就可连接且相互吻合。

如图7－5所示。用3节7×10齿形图案并列，形成15个齿，因而可在L2处与5节并列的6×11齿形图案相连接。连接的方式多种多样。图7－5所示为6×11齿形图案与7×10齿形图案交替相连，也可以相间隔，只要都是15个齿。

图7－5　6×11与7×10齿形图案的交替式组合连接

7．3．3　环接

顺齿形图案自身的第一行和最后一行可相互衔接，齿与空格正好互相填补吻合而形成一个环，也就是把图案卷起来。这种连接称为“环接”。

图7－6①所示是图7－1①中的顺齿形图案30495自身的环接。这是一节图案组成的环，也可以由多节（顺齿形）图案组成，图7－6②所示就是由四节齿形图案环接成的圆环。当然，如图7－5中L1与L5也可以连接，即把图7－5卷起来成环接。图7－6③所示是另一种环接的方式。如图7－6②中的圆环，假设其一边可以扩展，而另一边收缩，则变成了平面圆环。

图7－6　齿形图案的环接

假设环接的齿形图案可以紧贴物体表面任意弯曲，既可以是各种不同的弧形图形（柔性），也可以是任意多边形或星形图案（刚性）。柔性齿形图案可以以任意节长度进行环接，也就是环圆图形长度任意，但必须是节长的整数倍。平面圆环的设计也是如此。至于刚性齿形图案的环接，节线最好安排在棱边上以保证每个侧面有一节或几节完整的齿形图案。另外还可以对齿形图案进行变换，则在古朴、凝重的图案中彰显出变化与活泼。

齿形图案的环接在装饰方面大有作为，可作为艺术装饰，用于指环、手镯、表带、柱面、墙面以及盘面的设计中。

7．3．4　齿形图案的连接元件

齿形图案的连接元件是一类特殊的齿形图案，主要用于齿形图案的拼接。连接元件有转角R、双通Ss、三通Sn、四通St和封齿F五种。除双通和封齿外，其余三种连接元件都是由12块拼板拼成的。

1．转角R

齿形图案的转角R的功能是把垂直（90°）的两个齿形图案连接起来。

转角R，由于它的齿的位置不同，又可以分为RA，RB，RC和RD四个类型，如图7－7所示，其外框尺寸为8×9，在第9行和H列中各有3对齿，可以连接6×11齿形图案成直角相交。图示节线L1连接CH1，节线L2连接CH2。它们齿的位置示于表7－1中。

图7－7　齿形图案的转角R

表7－1　转角R的齿的位置

我们可以把转角R当成一个模块，用来连接各种不同的齿形图形。在连接中针对转角R的不同放置位置（4个象限的位置），仿照拼板的放置方法（见第4．2．2节），也给转角R的不同位置命名。

转角R正面的4种放置方式为（见图7－8）：①标准方式：转角的直角在左上角，用下标“－a”表示；②顺时针转90°：转角的直角在右上角，用下标“－b”表示；③顺时针转180°：转角的直角在右下角，用下标“－c”表示；④顺时针转270°：转角的直角在左下角，用下标“－d”表示。

转角R反面的4种放置方式为（见图7－9）：①标准方式：转角的直角在左上角，用下标“－e”表示；②顺时针转90°：转角的直角在右上角，用下标“－f”表示；③顺时针转180°：转角的直角在右下角，用下标“－g”表示；④顺时针转270°：转角的直角在左下角，用下标“－h”表示。

注意，转角R反面放置时，其齿的位置发生了变化。

用4个转角R可拼成“口”字形图形。

图7－8　转角RA正面的4种放置方式

图7－9　转角RA反面的4种放置方式

用同一类型的转角拼。4个转角RA（或RD）可以拼接成外框为16×16、中空4×4的“口”字形图形（见图7－10）。正放时，按“abcd”顺序拼合即成；若反放，则按“efgh”顺序。因为齿位置的原因，转角RB和RC不能拼成“口”字形图形。

用不同类型的转角拼。图7－11①所示为转角RA和RD拼接成的15×17的矩形图，中空也为3×5的矩形；图7－11②所示是4个转角类型RA，RB，RC和RD拼接成的外框为16×16的“口”字形图形，中空也是4×4。

图7－10　由4个同一类型转角拼成的“口”字形图形

图7－11　4个不同转角R拼成的“口”字形图形

显而易见，在图7－10的节线处插进顺齿形图案，可以使“口”字扩大。图7－12①所示就是在图7－10①中插进（连接）了4幅顺齿形图案CH1，CH2，CH3和CH4。而图7－12②中的4个转角是另一种连接，即它们的齿的位置呈对称关系，因而它们连接的只能是对齿形图案而不是顺齿形图案。

转角R很有实用意义。齿形图案履带连接后若需要转角，就由它来完成。

图7－12　4个转角R与齿形图案拼成的“口”字形图形

2．双通Ss

双通齿形图案Ss的外框为6×6，长和宽都是6格，在它左右边（或上下边）各有3对齿，可以连接其他齿形图案。双通有顺齿、对齿两种，如图7－13所示。双通可以插入任意两节齿形图案中间，用以调节图案的长度或宽度。

图7－13　齿形图案的双通Ss

3．三通Sn

三通齿形图案Sn的外框为8×9，计72格，在它的三面都有3对齿，可以连接其他齿形图案。

图7－14所示是三通齿形图案。在第1行、第9行和H列各有3对齿。

4．四通St

在四通齿形图案中，外框为8×10＝80格。四通的4条边都各有3对齿，可以连接其他齿形图案。如图7－15所示，四通在A列、H列各有3对齿，在第1行和第10行也各有3对齿，它可以连接4个方向的4个齿形图案。

图7－14　齿形图案的三通Sn

图7－15　齿形图案的四通St

5．封齿F

封齿是将齿形图案边缘的齿形封平而成为矩形。图7－16①所示的封齿F3可以封三对齿，图7－16②所示的封齿F5用以封五对齿。封齿的厚度受参与的拼板数和齿数的限制。对封齿F3来说，齿的宽度为6格，参与拼板数只能是3块和9块才能保证扣除3个齿后，余下的空格数正好是6的倍数。而封齿F5，由于齿的宽度正好是10格，所以最多可有11块拼板参与。封齿厚度的不同，便于根据情况选择使用。

封齿除了在终端时将齿形封平外，还有其他的用法，如图7－17所示。图中①所示是将齿数相同的两个封齿的齿背面相接，便组成不同尺寸的双通；图②所示则是将齿数相同的两个封齿的齿面相接，则构成矩形。因此封齿在实际中应用很广泛。

图7－16　封齿F

图7－17　封齿F的变化

7．3．5　齿形图案的拼图

齿形图案与连接元件之间可以有各种各样的组合，能拼接出丰富多彩的图形。

图7－18所示为顺时针螺旋形图案，它是由封齿F1、F2、转角R1～R7、顺齿形图案CH1～CH10组成的。其中R2～R4是依次顺时针转90°，R5～R7同R2～R4。若CH10后不用F2封住端口而再接CH11、CH12、R8等，图形可继续螺旋伸展。若想拼成“回”字形图形，则在CH11后接的转角R8是在R7基础上逆时针转90°而成，参见图7－19。把许多“回”字形图形排成条状就成了一种我国传统的纹饰。图7－20所示是用齿形图案拼成的我国传统的云状纹饰。作为在大型场合下的装饰图案，用齿形图形非常适合，大方美观，极具民族特色。

图7－18　螺旋形拼图

转角、三通、四通与齿形图案组合可以拼出丰富多彩的图形，下面举几例。

在图7－21中，图①所示是由四个转角和两个三通组成的数字“8”，若在中间插上三个顺齿形图案，把图形拉宽，便成了汉字“日”（见图7－21②），若想把“日”字拉长，可在两边插入竖的顺齿形图案，就变成了一个大的数字“8”（见图7－21③）。

图7－22所示是用齿形图案及其连接元件组成的数字（数字“6”颠倒过来便是数字“9”）。它们的高度除了数字“2”是26格（也可以是25格，只是显得呆板一些），其余均为25格。在这组图的基础上还可以变化出不同高度、不同宽度的数字。图7－23所示为其中之一。

图7－19　“回”字形拼图

图7－20　几种用齿形图案拼成的传统云状纹饰

图7－21　齿形图案的拼图

图7－22　数字拼图（一）

图7－23　数字拼图（二）

7．3．6　齿形图案小结

（1）齿形图案是图案的两端或两侧拼板排列成锯齿状，有6×11，7×10两类。图案又因齿的排列不同分为顺齿形图案和对齿形图案。在齿形图案编码中，10号拼板记为“X”。

（2）齿形图案的连接形式有履带连接、组合连接和环接。

齿形图案的连接元件有转角R、双通Ss、三通Sn、四通St和封齿F。

齿形图案和连接元件的不同组合，可拼成丰富多彩的图案。

（3）齿形图案中若含有可变组合图形，图案可以进行变换。齿形图案拼图在两节的节线处若有可变换组合图形，也可以进行变换，但变换后该节线处就不能分开。

（4）齿形图案的拼图在建筑、装饰、纺织、印刷品等方面的设计中有广泛的应用前景。

7．4　齿形图案选

7．4．1　齿形图案的命名

为了清楚地记录每幅齿形图案而不致混淆，需对各种类型的齿形图案进行命名。

1．齿形图案

2．转角

3．双通

4．三通和四通

5．封齿

7．4．2　顺齿形齿形图案

1．外框尺寸6×11

2．外框尺寸7×10

7．4．3　对齿形齿形图案

1．外框尺寸6×11

2．外框尺寸7×10

7．4．4　齿形图案的连接元件

1．转角R

2．双通Ss

1）顺齿形

2）对齿形

3．三通Sn

4．四通St

5．封齿F

1）用于三对齿的封齿

2）用于五对齿的封齿