基本图形含有替代型变换

第8章　无限拼图

8．1　拼板基本图形与无限拼图

假设用“伤脑筋十二块”中某单一拼板进行连续拼接，任意拓展，没有外框的限制，且中间没有空格，这样的连续拼接起来的图案称为“无限拼图图案”，该拼板称为“基本图形”。如图8－1①所示，1号拼板就是基本图形。用1号拼板拼出来的图案为无限拼图图案，该图案可以任意拓展，没有外框。

若由两块及两块以上拼板组成的组合图形可以连续拼接，那么这个组合图形也称为“基本图形”，拼出来的图案为无限拼图图案。如图8－1②所示的是拼板3和6为基本图形的无限拼图，图8－1③所示是拼板6，7，8，9组成的基本图形的无限拼图。

图8－1　基本图形的无限拼图举例

8．1．1　常见的基本图形

1．矩形

矩形图形可以连续拼接，中间没有空格，也无外框限制。1号拼板是最简单的矩形。

矩形一般有两种拼接方法：①格状排列。各个矩形的长边与长边相拼，短边与短边相拼，如图8－2①所示；②网状排列。各个矩形的短边与长边相拼，长边与短边相拼，如图8－2②所示。

图8－2　矩形图形的排列

图8－3　正方形图形的无限拼图

正方形是特殊的矩形，它的两邻边相同，只有一种拼法。图8－3所示是由拼板0，4，6，7和10组成的正方形基本图形的无限拼图。

2．旗形

旗形图形可以连续拼接。旗形由矩形的旗面和柱状的旗杆组成，常见的有以下4种（见图8－4）：

图8－4　4种常见旗形图形

（1）由两块拼板组成的旗形，如拼板5和6，旗面占8格，旗杆占2格，记为2×4＋2旗形。

（2）由两块拼板组成的旗形，如拼板6和7，旗面占9格，旗杆占1格，记为3×3＋1旗形。

（3）由4块拼板组成的旗形，如拼板1，2，9和L，旗面占16格，旗杆占4格，记为4×4＋4旗形。

（4）由5块拼板组成的旗形，如拼板0，1，4，8和10，旗面占24格，旗杆占1格，记为4×6＋1旗形。

旗形图形的排列方式有正排列（见图8－5）和旋转排列两种方法。旋转排列法适用于旗杆为1格的图形。如图8－6①中，由四4个3×3＋1旗形旋转排列成四叶草形便可以连续拼图。图8－6②所示为4×6＋1旗形旋转拼成正方形，再由此正方形连续拼图。

图8－5　旗形图形的正排列

图8－6　旗形图形的旋转排列

3．Z字形图形

Z字形图形可以作为基本图形。2号拼板是最简单的Z字形图形，图8－7①所示为它的无限拼图。图8－7②中的无限拼图则是由拼板4，5，7和8组成的Z字形基本图形拼成的。

图8－7　Z字形图形的无限拼图

4．中心对称图形

许多中心对称图形均可以作为基本图形进行连续拼图。

图8－8中画出了一些中心对称基本图形的无限拼图图形。其中图形①为由4个4号拼板拼成的具有中心对称性质的风扇性图形，图形②中的中心对称图形由拼板4，6，9组成，图形③中的中心对称图形由拼板0，2，3，4和L组成，图形④中的中心对称图形由拼板3，4，6和10组成。在图8－9中，4幅图形中的基本图形相同，均由拼板2，6，7和8组成，但有4种不同的排列方式。

8．1．2　复合基本图形

复合基本图形由两个或几个基本图形拼接而成。由于基本图形可以连续拼图，所以复合基本图形也可以连续拼图。显而易见，复合基本图形包含的组合图形必定是基本图形。

图8－8　中心对称图形组成的无限拼图（一）

图8－9　中心对称图形组成的无限拼图（二）

图8－10①中图形A是由拼板3和6组成的基本图形，将两个基本图形A对拼就组成了中心对称图形B。图形B是复合图形，同时也是个基本图形，它的外形与图8－9中由4块拼板2，6，7和8组成的基本图形是一样的。判断图形A是否为基本图形比较困难，但判断图形B就容易多了，因它是中心对称图形，利用复合图形走了捷径。由此可见，图形B有两重性质：一是复合基本图形，由两个图形A组成；二是该相同的外形也可由拼板2，6，7和8组成，其内容不同，性质也不同。

图8－10②中显示了由拼板2和L组成的基本图形A和由两个此基本图形A拼成的矩形B。矩形是基本图形，可连续拼图，因而图形A也可以连续拼图，是基本图形，图形B则成为复合基本图形。

又如十字形图形是基本图形，可以连续拼图，但拼板2，6，L均可独自组成十字形图形，如图8－11所示。这里的十字形图形已是复合基本图形而不是单一的基本图形。

图8－10　复合基本图形

图8－11　十字形复合基本图形

8．1．3　条块与条块无限拼图

条块是指具有一定的宽度d、而长度可以无限伸长的图形。能够构成条块的拼板或组合图形（基本图形）称为“条块基本图形”。每个条块基本图形称为“节”。条块图形的宽度固定时，长度就是条块基本图形的“节”数，节越多，长度越长。

图8－12给出了若干简单的基本条块图形。最简单的条块基本图形就是1号拼板。1号拼板有5个小格为1×5，若拼板纵向连接则构成d＝1的条块，若拼板横向连接则构成d＝5的条块。另外如拼板5，6，7，9均能构成d＝2的条块图形。由两块拼板组成的条块基本图形更多，如拼板1和7、2和5、3和4等等，它们构成的条块图形的宽度d可分别为2，4和5。图8－12中右边最后一条条块图形的基本图形是由3，6，8这三块拼板构成的，其宽度d＝3。

图8－12　基本条块图形（1～3块拼板）

图8－13　基本条块图形（4～5块拼板）

在图8－13中，图形①所示为由4块拼板2，3，7和9组成的条块基本图形，图形②所示为由4块拼板2，3，5和6组成的条块基本图形，它们还都是中心对称图形。矩形是双向的条块基本图形。如拼板4，5，7和8组成的矩形外形尺寸为4×5，纵向连接时d＝5（见图形④），横向连接时d＝4（见图形③）。正方形的纵横向宽度相同，图形⑤所示是由5块拼板0，2，6，7和9构成的正方形组成的条块图形。

条块的无限拼图是指将具有一定宽度、长度无限的条块图形在宽度方向无限拼接条块，就组成一幅无限拼图，如图8－14所示。

图8－14　条块的无限拼图

8．1．4　放射形板块无限拼图

有的条块基本图形既可以顺接成条块而长度无限伸长，又可以构成直角形的拼接。

如图8－15中，条块基本图形由拼板2，6，7和8构成，它的外形很特殊，可看成为4×7的矩形扣除右上角和左下角的两个2×2的空格，占20格，也可看成中间一个3×4的矩形加上左上角和右下角两个4格的小方块。它既可以按A，B，C次序相顺接，如图形①所示，也可以把A节正放，B节反放并旋转90°与A节相拼接成直角形。然后，A节向下顺接C节，B节后顺接D节（注意，D同B也是反放的），犹如条块图形在A，B处有了直角转弯（见图8－15②）。接着第二个、第三个直角条块与第一个直角条块相拼接，成了直角板块，在直角系中它是一个象限。再由该直角板块组成Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ象限而组合成放射形板块，可无限向外连续拼图，如图8－15③所示。

放射形板块图形的特点就是由中心（直角系的原点）向四周放射并连续拼图、无限扩展。

能拼搭成放射形板块图案的基本图形称为“放射形板块基本图形”，它必须具备两个性质：①是条块基本图形，②能拼搭成直角形。放射形板块基本图形很多，下面再举几个例子。

图8－16中画出了4幅放射形板块图案。其中，图形①所示是由拼板3，6和8组成的放射形板块图案。图形②所示是由拼板0，5和6组成的放射形板块图案。值得提一下的是，两块或4块这样的基本图形可以组成一矩形，如在图案中用粗线框起来的那部分，所以这个基本图形0，5和6是个奇妙的图形。图形③所示是由拼板2和L组成的放射形板块图案。图形④所示是由单一5号拼板组成的放射形板块图案。

图8－15　由板块2，6，7，8组成的放射形图形

图8－16　放射形图形举例

8．1．5　镶边

由于连续拼图拼出来的图形外形不规则，边缘犬牙交错，所以要用其他拼板进行修正，填补边缘空格，使其边缘为直线，图形外形成矩形。这个修正过程称为“镶边”。镶边在实际应用中有着重要意义。任何拼图在实用中应有规则的外形。“伤脑筋十二块”的拼板都是由正方形的格组成，它只能拼成矩形或矩形的叠加。

镶边的方法如下。

（1）根据图形的外框尺寸把拼板的拼图尽量扩展，接近外框，使留下的空格最少。注意留下的空格应是5的倍数。达不到的话，可增加边框的厚度。所以在设计图形的外框尺寸时应使框内空格为5的倍数。

（2）用其他拼板填补空格。

（3）从左上角开始，顺时针方向修正各个边线，使其都成直线，且成矩形。

镶边是一种技巧，没有固定模式。图8－17①所示是经过镶边的矩形图形。拼板填补程序如图中数字所示，共填补拼板19块。在实际应用中有许多外形是矩形缺一块或多一块，称为“矩形叠加”。它同样可以用拼板的拼图及镶边来设计。图8－17②所示为用6号拼板拼成的带有一个缺角的矩形拼图及其镶边。

图8－17　单一0号板块和单一6号板块组成的拼图及其镶边

8．1．6　无限拼图图案的编号

无限拼图图案编号的规则如下：

（1）参与基本图形拼图的拼板的块数。

（2）拼板的编号，以自然数程序排列。

（3）相同拼板组合的不同基本图形的序号。

（4）相同拼板、相同基本图形、不同拼图的序号。

编排时，用M表示无限拼图图案，M介于拼板数和拼板编号之间，如图8－18所示。

图8－18　无限拼图图案的编号

图8－19所示为由拼板0，5和6组成的几种无限拼图的编号。拼板0，5和6可以组成三种基本图形（见图8－19①），其中第一种基本图形有一种拼图方式——3M056－1－1（见图②），第二种基本图形有两种拼图方式——3M056－2－1（见图④）和3M056－2－2（见图③），第三种基本图形有三种拼图方式——3M056－3－1（见图⑤）、3M056－3－2（见图⑥）和3M056－3－3（见图⑦）。

10号拼板在编号中仍用“10”表示，不会引起混淆。原因有两条。第一，拼板编号是以自然数程序排列的，0号拼板肯定在最前，1号拼板必定排在“0”之后，因此看到数字“10”，可以肯定是10号拼板。其二，在编号的首位数字标明了拼板的块数，也可帮助判断。

本章第4节“拼板无限拼图图案选”采用了该编号法，参与拼图的拼板数从1块到7块。

图8－19　无限拼图编号举例

8．2　拼板无限拼图实例

用“伤脑筋十二块”中任意拼板或拼板的组合都可以作为基本图形进行连续拼图，中间没有空格。

图8－20　由12块拼板自身拼成的无限拼图及镶边

8．2．1　同一拼板的无限拼图

“伤脑筋十二块”中的每一块拼板均可以拼出无限拼图。在图8－20中我们给出了一组经过镶边的、外形大小一致且由拼板自身（拼板编号0～L）组成的无限拼图拼图，供读者欣赏。用作镶边的拼板涂成浅灰色，是为了看得清楚一些，在实际的镶边图案中不会采用。

8．2．2　两块拼板组成的基本图形的无限拼图

图8－21中画出了用两块拼板组成的基本图形作为一个单元图形组成的无限拼图的最简单的拼法。图中图形①所示的基本图形由拼板4和9组成，图中显示4号拼板拼成一斜条，9号拼板又拼成一斜条，两斜条相间隔，形成4号拼板和9号拼板的交错连续的拼图。图形②所示的基本图形是由拼板6和8组成，在拼图中拼板6和8有两种组合图形（单元图形，示于拼图左侧），因此图形②可视为拼板6和8的两种基本图形的的混合无限拼图。图形②中拼板6和8的组合B是个可变组合图形（T4），它有许多外形相同的拼板组合，如拼板0和4，图形③所示便是由拼板0和4代替图形②中的拼板6和8组成的基本图形的无限拼图（T4－4）。

图8－21　两块拼板组成的基本图形的无限拼图（一）

由两个拼板组成的基本图形为单元图形，还可以变化出更多的基本图形，使得无限拼图变化无穷。图8－22中所示的几个图例中是将两个拼板组成的组合图形作为单元图形，把若干个单元图形拼成一个基本图形进行连续拼图，该基本图形可以是四叶风叶形的，也可以是条块状的。图中无限拼图①的基本图形为由拼板2和6组成的组合图形（T4）拼成的四叶风叶形；无限拼图②是以拼板4和6的组合图形（ZD6或T18）拼成四叶风叶形基本图形，与图形①的四叶风叶形外形相同；无限拼图③则是用拼板3和6的基本图形（ZD5－1）组成的条块状图形拼成的。

图8－22　两块拼板组成的基本图形的无限拼图（二）

图8－23中画出了由拼板7和9组成的单元图形（T9）的多种拼接方法。图形①所示为基本图形向右下拼接，出现7号拼板与9号拼板相间向右下方移；图形②所示为基本图形与其反面图形相结合拼接成一列；还可以将拼板7和9的基本图形与其倒图（旋转180°）相拼接成一矩形，图形③所示为矩形的格状排列，图形④所示为矩形的网状排列。

图8－24所示是以拼板5和6组成的梯齿形（斜轴对称）图形（XD4）为基本图形拼出的无限拼图。将拼板5和6单元图形与其倒图（旋转180°）相拼接，倒图由最高位置（矩形A，外形尺寸为4×5）逐格往右下移，共有如图8－24①中显示的5种形式，可以看出这都是中心对称图形。图8－24中图形②～⑧的7幅图就是对应上述5种情况的无限拼图。

图8－23　拼板7和9组成的不同形式的无限拼图

图8－24　拼板5和6组成的梯齿形基本图形的无限拼图

8．2．3　3块拼板组成的基本图形的无限拼图

3块拼板组成的基本图形的外形要比两块拼板的多。除了矩形、梯齿形、中心对称形等基本图形外，还有其特有的图形，即4×4正方形缺一格（三块拼板占15格），这实际上也是组合图形中斜轴对称图形XD15系列。下面通过图例介绍这些基本图形的无限拼图，但像矩形图形等比较简单的基本图形将归纳到附录中，这里不再介绍（下面几节也如此）。

图8－25所示为拼板3，5和8组成的梯齿形组合图形（XD15－4）。与图8－24的图例一样，它也是中心对称图形。将该图与它的倒图（旋转180°）相拼接，有如图8－25①所示的6种情况。图8－25中图形②～⑨的8幅图是对应图形①中6种情况的拼图。

对于梯齿形与其倒图还可以采用另一种拼接法，即将倒图放在下面从左向右移动（见图8－26），但由它们拼成的无限拼图与图8－25中的图形完全一样。

中心对称图形变化多端，图8－27中选择了两个图例。拼板0，8和9组成的组合图形是中心对称图形DD2－1，图8－27①就是它的无限拼图。由拼板3，7和9组成的组合图形DD3－3也是中心对称基本图形，它有两种拼图方法，即垂直连续的条块状和交错排列的方式，如图8－27②所示。

图8－25　拼板3，5和8组成的梯齿形基本图形的无限拼图

图8－26　拼板3，5和8梯齿形与其倒图的另一种拼接法

图8－27　3块拼板的中心对称基本图形的无限拼图

3块拼板占了15格，在4×4＝16的方形中扣除一格即为15格，这是3块拼板组成的基本图形中的特有形式。它有两种图形，A型为扣除右上角一格（XD13），B型为扣除右上角第二格，如图8－28①所示（T67－2）。这两种组合图形都可以作为基本图形进行连续拼图。拼板2，9和L（XD13－7）组成的组合图形为A型，它有两种连续拼图方法，见图8－28的②和③；拼板2，5 和L（T67）组成的组合图形为B型，它的无限拼图如图8－28④所示。

图8－28　3块拼板组合特有形式的基本图形的无限拼图

8．2．4　4块拼板组成的基本图形的无限拼图

由4块拼板组成的基本图形中也存在其特有的形式。下面通过图例介绍。

先介绍一般的形式。图8－29为由拼板2，3，5和6组成的中心对称组合图形（DD7－2），可作为基本图形进行连续拼图。它有三种拼法。图8－29①所示为顺接拼法。因该图右上角空两格，而右下角又凸出两格，正好上下相补成条形，故它也是条块图形，可构成条块。第二种拼法是反接拼法，第一排把基本图形并列成排，上下边形成锯齿形，第二排是基本图形的反面图（第二象限），齿牙对准上排的凹槽，如此排列无限扩展（见图8－29②）。图8－29③所示为第三种拼法——斜拼法，第二排的左上角接第一排的右下角，由此形成向右下方斜的趋势。

图8－29　拼板2，3，5和6组成的基本图形的无限拼图（一）

图8－30　拼板2，3，5和6组成的基本图形的无限拼图（二）

图8－30所示的同样是由拼板2，3，5和6组成的组合图形，不过是中心对称图形（DD11－3），它与图8－29的基本图形形状相似，不同的是右上角和左下角各有4个空格，拼接时可以旋转90°后相互补上，形成横直交错的无限拼图，所以它比图8－29要多出一种拼法。

图8－31显示的是由4块拼板组成的基本图形中的特有形式拼成的无限拼图。由于4块拼板有20格，若中间用一个4×4的方块，多余的4个拼板有多种布置法，其中有三种可以拼出无限拼图，如图8－31①所示。第一种是在每边的最左边（或最右边）各加一块（A型，风车状）；第二种是在每边的左边（或右边）第二位处各加一块（B型）；第三种是在左边最上和右边最下的位置上各加两块（C型），这是个典型的Z字形图形。图8－31中的②，③，④三幅拼图分别为由拼板5，8，9和L组成的A型基本图形、由拼板4，5，6和8组成的B型基本图形和由拼板1，2，9和L组成的C型基本图形（DD9－1）拼成的无限拼图。

图8－31　由4块拼板拼成的特有的基本图形的无限拼图

由4块拼板0，3，10和L拼成的凸字形图形是纵轴对称图形（ZD30－1），也是基本图形，可以连续拼图，如图8－32所示。有多种拼板组合可搭出凸字形图形，如该图中还画出的由两块拼板0和4组合拼成的复合基本图形。

图8－32　凸字形基本图形的无限拼图

8．2．5　5块及5块以上拼板组成的基本图形的无限拼图

参与拼搭的拼板越多，则搭出的基本图形的外形越复杂、美观。

图8－33所示为由5块拼板1，4，5，7和8组成的旗形图形，是基本图形，可以连续拼图。图①是它的正拼法，图②是它的旋转拼法。

图8－33　5块拼板拼成的旗形基本图形的无限拼图

图8－34　6块拼板拼成的基本图形的无限拼图

图8－34中显示了三种由6块拼板组成的基本图形拼成的无限拼图。无限拼图①中的基本图形是拼板0，3，4，5，8和10组成的古钱形黄金图形（ZD53－1），它第一行是中间凸出的两格，最后一行是中间凹进两格，上下相接，正好吻合，可以连续顺接，是宽度d＝5的条块图形。无限拼图②中的基本图形是拼板0，4，7，8，9和10组成的热水瓶形组合图形（ZD52－2），两图对接相拼又是条块图形，横向无限伸长，垂直宽度d＝15。在图8－34③中，拼板2，3，5，7，9和L组成的屋形组合图形（ZD61－1）是基本图形，拼法同图②所示，也是两图对接相拼后成宽度d＝10的条块图形。

图8－35给出由7块拼板组成的具有特殊外形的基本图形的无限拼图。7块拼板共有35格，可拼成6×6－1的图形，空格可有三个位置，只有如图8－35①中所示的两种才是基本图形，其中A型图形便是在第3章组合图形集中列出的XD36系列的图形，共31幅，它们均可作为基本图形。图8－35②和③为由拼板0，2，3，6，9，10和L组成的A型基本图形（XD36－11）的连续拼图，共有两种拼法；图8－35④为由拼板0，1，3，4，5，7和9组成的B型基本图形的连续拼图。

图8－35　7块拼板拼成的基本图形的无限拼图

8．3　无限拼图的变换

从上节可以看出，大部分基本图形本身就是可变换组合图形，或者在基本图形内部存在可变换组合图形，那么由该基本图形连续拼图得到的无限拼图图案就会有无限的变换。下面介绍无限拼图变换的方法和种类。

8．3．1　可连续拼图的图案的变化是无限的

1．最简单的情况——基本图形只有两种变换

图8－36所示为两块拼板3和4组成的基本图形构成的无限拼图的变换。该图形为纵轴对称形图形，有两种变换A型和B型（见图8－36①）。由于它们可连续无限拼图，决定无限拼图图案变化的因素有：

（1）基本图形的数量。本例有A和B两种图形。

（2）基本图形之间可以以任何比例搭配。在本例中，A和B两种图形的搭配可以有不同的比例，使得图案千变万化。例A∶B＝1∶0，为纯A型图案，如图8－36②所示；A∶B＝0∶1，纯B型图案，见图8－36③；另外还有1∶2，1∶3，2∶1，…仅仅A，B两种不同排列的基本图形就可组成无数不同的比例。

图8－36　由板块3和4组成的基本图形的无限拼图的变换

（3）基本图形的比例一定时，它们的排列又是任意的。对于同一个比例，但它们排列不同就组成不同的图案，如图8－36④～⑥所示，A和B的比例均为1∶1，但不同的排列就构成不同的图案，这样的图案不止三种，还有许许多多。

2．具有多种变换的基本图形的无限拼图

首先，可变组合图形的基本图形本身或其内部包含了多个变换个数。

如图8－37所示由三块拼板6，8和L组成的A型4×4－1基本图形（见图8－28）不但本身是可变换组合图形（XD13－11），同时它内部还存在可变换的组合图形XD3－2（参与拼板6和8）和ZD13（参与拼板8和L），所以该基本图形有A，B，C和D四种不同排列，如图8－37①所示。

图8－37　由拼板6，8，L组成的基本图形无限拼图的变换

其次，可变的基本图形之间的组合搭配远超过基本图形的个数。

在无限拼图中可以采用4种图形中的一个，或任取其中两个、三个、四个组合，光图形搭配就有C14＋C24＋C34＋C44＝4＋6＋4＋1＝15种。第三，各种可变基本图形组合搭配后，它们之间的比例可任意变化，又增加了无数的拼图。第四，各种可变换基本图形组合搭配选定了，它们之间的比例也确定了，但它们的排列可集中，可分散，可以均匀，也可以随机，因此又能搭出许多图案。

再举一例。图8－38中的基本图形是由5块拼板1，3，5，6和7组成的旗形图形，这是个复杂的可变换组合图形，它包含着E60（参与拼板3，5，6和7），XD2（参与拼板1和7），XD4－1（参与拼板3和7），XD4－2（参与拼板5和6），ZD5－1（参与拼板3和6）和E2（参与拼板6和7）共6个变换，图8－38①中画出了12幅，其中第8幅基本图形中通过变换XD2后形成了一个矩形（见图8－38①中第13图），在矩形内部还有变换XD4－1，XD4－2和ZD5－1，计有5个变换图形，加之矩形本身的变换JD2－3（参与拼板3，5，6和7）4个，因此一共有20幅图。在图8－38①中仅画出了前五个变换（第13～17图），JD2－3本身的变换从略。

以这32个基本图形的各种组合为单元图形拼出连续拼图该有多少呢？读者可以自己实践一下。

图8－38　由拼板1，3，5，6和7组成的基本图形的无限拼图的变换

8．3．2　基本图形含有替代型变换

基本图形本身可以替代，或包含有可进行替代型变换的组合图形时，那么由这个基本图形组成的无限拼图图案也可以进行替代变换。

举一个最简单的例子。拼板6和8组成（3×3＋1）可替代变换的基本图形。查《组合图形一览表》可知为变换T3，共有7幅图可以相互替代（见图8－39①）。图8－39②原是由拼板6和8组成的基本图形的无限拼图，由于可替代的图形有6个，且不受数量位置的限制，则每变换一次便产生一幅新的图案。这种变换是无限的，故图案也有无限多幅。

在图8－40中由4块拼板6，7，8和9组成的基本图形（DD7－5）有可替代变换的组合图形6和8（T4或Z24），共有7种。但是其中拼板6和7组成的替代图形不能在这个基本图形中替代，因为7号拼板与基本图形中原有的7号拼板重复，变成6，7，7，9组合，这是不允许的，故不予采用。这样，经过替代变换后共有6个基本图形可参与无限拼图，如图8－40①所示。

图8－39　由两块拼板组成的可替代基本图形及其无限拼图的变换

图8－40　含有替代变换的基本图形及其无限拼图的变换

综合前面的例子可以知道，若基本图形A和基本图形B组成的拼板不同，或拼板相同但排列不同，只要A与B的外形相同就可以相互替代。

表8－1中列出了常见的外形相同并可以相互替换的基本图形。在拼图时，凡外形相同的基本图形都可以相互替代，进行任意组合、任意比例、任意排列的无限拼图。另外，在基本图形中还含有其他变换，如表中4＊这一行中的基本图形0，4，7，9和2，4，5，9中均含有E1（拼板4和9）型变换，因此在拼图时又增加了两幅基本图形。

相同外形的矩形基本图形都可以相互替代。在组合图形一览表中有很多JD型组合图形，因此在表8－1中就不再列出了。

表8－1　可替代的基本图形选

（续表）

（续表）

注：有＊者为条块基本图形；有＊＊者为直角条块基本图形。

8．3．3　两相邻基本图形拼接部位的变换

1．拼接部位形成可变换组合图形

当两个基本图形在无限拼图时，在两图形拼接部位，相邻的拼板若形成可变换组合图形，也可以进行变换，整个图形便随之变化。下面举例说明。

例1　（见图8－41） 拼板6，7和8组成的基本图形（DD2－3）在连续拼图时，基本图形②中的7号拼板与基本图形①中的6号拼板组成纵轴对称可变换组合图形（ZD5－2），同样基本图形③中的7号拼板与基本图形②中的6号拼板也组成纵ZD5－2组合图形（见图8－41①），它们均可以进行变换而构成新的图案。图8－41中图案②为未变换的基本图形的无限拼图（即全A），图案③则是变换后的无限拼图，当然，A与B是可以以任意比例、任意排列进行搭配。

图8－41　基本图形拼接部位的变换——例1，拼板678

例2　（见图8－42） 拼板1，3，5，6和7组成的旗形基本图形（见表8－1 5栏中13567④）。在无限拼图中，第二个旗形的1号拼板正好与第一个旗形组合成5×6矩形（见图8－42中①A）。矩形自变系列有4种变换格式（不考虑其内部的变换）。同时，第二个旗形去掉1号拼板就成了由拼板3567组成的中心对称图形（DD14－2）。因此，原来的两个旗形图形现在变成了一个矩形和一个中心对称图形的组合了，它们的无限拼图的变化可以说是无限的。图8－42中的图案②为未变换旗形的连续拼图；图案③是矩形图采用了矩形变换B的形式，当然也可以采用矩形变换C或D的形式；图案④中矩形仍为形式A（未变换），但中心对称图形采用了DD14－1，实际上变成了表8－1的5栏中图形13567⑤（当然也可以是13567②或13567③）和13567④的混合拼图。

图8－42　基本图形拼接部位的变换——例2，拼板13567

2．拼接部位产生可替代的组合图形

当两个基本图形在无限拼图时拼接部位若形成可替代的组合图形，就可以进行替代变换，使无限拼图的图案也变化，且是无限的。

例3　（见图8－43） 拼板0，5和L组成的基本图形A是A型4×4－1形式。图案②为基本图形A的无限拼图，从中可以看出在拼接部位产生了拼板5和L组合图形B，可以由拼板6和7组成的图形C替换（T61，拼板5，L～6，7）。图案③是由图形C替代图形B后的无限拼图。

图8－43　基本图形拼接部位的替代变换——例3，拼板05L

例4　（见图8－44） 拼板2，3，5和6组成的基本图形A（见表8－1中4＊＊栏）在无限拼图（顺接）中产生的由拼板2和6组成的图形B，可通过Z17（62－7）置换成由拼板6和7组成的图形C；置换后又产生了拼板3和7（XD4－1）和拼板5和6（XD4－2）的斜轴对称组合图形D和E；同时还形成了矩形F（JD2－3，拼板3567）。因此该基本图形A在拼图中形成了1＋4× （2×2）＝17个变换组合图形。图8－44中图案②是原基本图形A的无限拼图；图案③是图形C替代图形D后的无限拼图，右边一列图形中同时产生了斜轴对称组合图形D，E和矩形F；图案④～⑥分别在矩形框内进行变换XD4－1和XD4－2；从图案⑥中看到出现了由拼板3和6组成的纵轴对称图形ZD5－1，又增加了一种变换，这就是图案⑦；由于在图案④～⑦中的矩形均为图形F及其变换的第一象限，所以还有它的第二、三、四象限的无限拼图，这12幅拼图从略。

8．3．4　正方形图形的独特变换

由5块拼板可拼出5×5正方形图形，这样的正方形图形可视为中心对称图形，4个旋转了的正方形能组成一个大的正方形，有4种不同的组合，如图8－45所示。按此思路，可拼出具有无数变化的无限拼图来。

图8－44　基本图形拼接部位的替代变换——例4，板块2356

图8－45　正方形图形的变换

8．3．5　条块图形的独特变换

条块图形中条块基本图形的可变换与其他基本图形相同。此外，它还有两个独特的变换。

1．错位变换法

同样的条块基本图形、同样的排列构成的条块图形，由于各条块之间相对位置的变化，使整个图案也起了变化。若是垂直条块，则是横向拼接，那么相邻条块的相对水平位置发生变化（垂直错位）；若是水平条块纵向拼接，则是相邻条块的相对垂直位置发生变化（水平错位）。不管是垂直错位还是水平错位，都使图案起了变化。

图8－46　条块图形的垂直错位变换——例1，拼板0678

例1　（见图8－46）拼板0，6，7和8（DD7－1）组成的条块基本图形，其外形尺寸为4×6，顺接时d＝4，长度可无限伸长，无限个条块横向拼接，宽度也可无限扩展（见8．4节中图案4M0678－1－1），图8－46所示为其垂直错位的变换。图案①为相邻条块均依次向下错位一格，这样第6根条块L6的第1节和第一根条块L1的第2节在同一水平上，即低了一节，因此，L1～L5这5根条块可视为一组。实际上，这5根条块可以任意搭配组合，使条块图案千变万化，图案②所示就是一种以L1，L4，L3，L5，L2的次序排列的无限拼图。

例2　（见图8－47） 这是水平错位的变换。拼板4，7，8和9（ZD33－2）组成的条块基本图形，其外形尺寸为5×5，其中空格5格，实体为20格，可顺接成d＝5、长度可无限伸长的条块（见8．4节中图案4M4789－1－1）。图8－47为该条块水平顺接后进行纵向拼接连续拼图时的水平错位变换的图案。在垂直位置上，条块L2比L1向右移一格，L3又比L2向右移一格……L5与L4正好差一节。L1～L4这4个条块可视为一组，如同图8－46②，L1，L2，L3，L4也可以任意搭配组合，使图案变化无穷。

图8－47　条块图形的水平错位变换——例2，拼板4789

由矩形图形构成的条块基本图形是双向的条块基本图形，它的横向、纵向都可以无限伸展，因此它既可以作垂直错位变换，也可以作水平错位变换。但在变化中只能采用一个方向。如采用横向拼接的垂直错位变换，则纵向拼接的水平错位变换就不存在了，反之亦然。

2．混合拼接法

由于条块基本图形顺接后成条块图形，所以每种不同的条块图形也可以混合连续拼宽，成为由不同条块图形拼成的图案。

例3　（见图8－48） 设有3根条块图形：由5号拼板组成的L1条块图形（d＝2），由拼板3和4组成的L2条块图形（d＝5），以及由拼板3，6，8组成的L3条块图形（d＝3）。图8－48①是由这3根条块图形按1∶1∶1比例依次分布排列的无限拼图。当然，这3根条块图形可以以任意比例、任意分布排列，从而构成许多图案。图②中的图案是综合使用了混合拼接法与错位变换法。在垂直方向上，L1条块图形有5个格子的变化空间，L2条块图形有3个格子的变化空间，L3条块图形也有5个格子的变化空间，它们的组合共有5×3×5＝75种变化组合。在图②的第一组图形中3根条块图形按1∶1∶1比例依次分布，相对水平位置分别为：L1位于01行，L2位于02行，L3位于04行；第二组图案中3根条块图形比例与分布为2L11∶2L12∶2L21∶2L13＝1∶1∶1∶1，相对水平位置分别为：2L11位于02行，2L12位于01行，2L21位于04行，2L13位于03行。

图8－48　条块图形的混合拼接变换——例3

由此可见，凡是条块图形都可以任意搭配组合组成不同的条块形图形图案。也就是说，条块图形都可以相互替代，不受其宽度限制。

8．3．6　放射形板块图案的独特变换

在表8－1中带“＊＊”的基本图形称为“直角条块基本图形”，两幅基本图形可转角组成直角形条块，是构成放射形板块图案的基本要素。

放射形板块图案由直角条块拼接而成，分为4个象限向四周无限扩展，而每一个象限又是独立的图形，所以只要是直角条块的基本图形均可以相互替代，这样，单一的直角条块图形变成了多个不同直角条块图形搭配组合的图案，使图案变得丰富多彩。

图8－49显示了放射形板块图案的一种最简单的变换，即4个象限由4个不同的直角条块基本图形搭配而成的放射形板块图形。第Ⅰ象限是由拼板3，6，8（DD3－2）组成的直角板块图形，第Ⅱ象限是由拼板2，6，7和8（DD11－2）组成的直角板块图形，第Ⅲ象限是由拼板7和9（T9）组成的直角板块图形，第Ⅳ象限是由5号拼板组成的直角板块图形。

在图8－49中每个象限是用同一种直角条块基本图形拼成，若用其他相同宽度或不同宽度的直角条块基本图形替代，同样可以拼成放射形图案。如图8－50所示的放射形图案是20个由不同拼板组成的直角条块基本图形搭配组合拼接而成。该图中20个直角条块基本图形列于表8－2中。

图8－49　放射形板块图案的变换（一）

图8－50　放射形板块图案的变换（二）

因此，对于放射形板块的变换，主要就是直角条块基本图形的变换与替代，当然也包括前面介绍的两相邻基本图形拼接部位的多种变换。对于直角条块基本图形，虽然宽度不同，但都可以相互替代，它们之间可以用任意比例、任意数量、任意排列进行搭配组合，无限拼接，组成无数放射形板块图案。

表8－2　图8－50中20个直角条块基本图形一览表

8．4　无限拼图图案选

由于具有可变换性质的基本图形的无限拼图图案变化无穷，不可能全部画出，本节仅画出基本图形的连续拼图，不考虑其变换，意在抛砖引玉，并希望对读者在设计无限拼图时有所启发。

8．4．1　同一拼板（1M）的无限拼图图案选

8．4．2　两块拼板（2M）的无限拼图图案选

8．4．3　3M，4M，5M，6M和7M的基本图形选

通过前面两节的无限拼图图案选例，读者已基本掌握基本图形的无限拼图诀窍了。对于3块及以上拼板的无限拼图，即3M，4M，5M，6M和7M无限拼图，这里仅给出他们的基本图形，供读者在进行无限拼图时的参考。

1．3M基本图形选

2．4M基本图形选

3．5M基本图形选

4．6M基本图形选

5．7M基本图形选