无穷大与无穷大

无穷大与无穷大

无穷大和无穷大相加之和，与无穷大相比哪个大？

匿名用户

虽然无穷大经常被当做一个数使用，但是它不是一个数。

数学里，虽然都有很大很大这层涵义，但无穷大是个多义词，有很多意思，需要区别对待。

1. 集合论中

自然数集合的元素个数被定义为无穷大。如果一个集合和自然数集之间有一一映射，那么定义这个集合和自然数集一样大。如果一个集合包含和自然数集一样大的子集，那么定义这个集合无穷大。

这个意义上——

自然数集中加一个元素，比如 -1，和自然数集有一一映射（x->x-1），所以一样大。

自然数集 「加」 自然数集，理解为整数集合，存在一一映射，所以和自然数集一样大。

自然数集 「乘」 自然数集，一般理解为卡氏积，是有理数集，也是和自然数集一样大。

有没有比自然数集大的呢？实数集。这是一个无穷大的集合，但是和自然数集不存在一一映射。

所以说集合的无穷大是有区别的，数学上叫做不同的 「势」。和自然数集一样大的叫做可数无穷大，否则叫做不可数无穷大。可以认为前者小于后者。

2. 序论中

往自然数集合中加入一个元素，定义他比其他任何元素大，并称之为无穷大。

这种情况下，对无穷大的运算不一定有良好的定义，所以题目无法回答。

如果比较，无穷大作为一个唯一的元素，根据定义都是一样大的。

3. 数学分析中

无穷大表示极限不存在，即变化趋势没有边界。

不同趋势的变化极限可以都是无穷大，但彼此是不同的。

这时，单说无穷大是没有意义的，必须要说清楚是哪个数列的极限。

对无穷大的运算和比较，即对两个数列／函数的运算和比较，然后取极限。

数学和计算机科学中经常使用大 O 符号标记不同的无穷大。

4. 几何中

平面单点紧化后，无穷远点是一个点，把平面投射到球面时该点对应于北极。

射影几何中，平行线相交于无穷远点，无穷远点构成一条直线。

2013-06-17