数学反常识

数学反常识

有哪些数学常识与人们的生活经验不符？

傅渥成

圣彼得堡悖论（St. Petersburg Paradox）：一场赌博游戏，大家投掷硬币直至出现正面为止，一共投掷的非正面的次数假设为 N，则可以赢得 2^N 元的奖金，那么你愿意投入多少钱来参加这个游戏？实际上参加这个游戏你能赢到的钱的期望是多少？

通过分析可以知道，实际上你赢钱的期望值是巨大的。那么如果真的有这样一个提供这种游戏的赌场，为了使赌场不至于亏本，公平起见，你也应该投入很多的钱来玩这个游戏。可是我们的直觉都会告诉我们，即使是来参加一场「公平」的赌博，那也不应该投入太多的钱来参加这个游戏，甚至有心理学的统计表明，大多数人从直觉上考虑，会觉得投入 2~4 块左右的钱来玩这个游戏才是比较公平的。考虑边际效益递减，这种「错误」或许反而是「理性的胜利」。不管怎样，这个问题分析得到的结果很可能与你的最初直觉违背。更多的分析请参考维基百科条目「圣彼得堡悖论」。在这个悖论的基础上，产生了效用函数（Utility）的理论。

Monty Hall 三门问题：「参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机会率？」

这个问题也是被说烂了的，换门后会大大增加中奖概率，但这与直觉会相违背。条件概率的有关问题在日常生活中经常容易犯错，我们自己在某种赌博中连续输了好几次之后总是安慰自己，「我靠，连续输这么多次了，下次怎么也不可能再输了吧」；又或者那种笑话「自己带一个炸弹上飞机」；再例如考试常考的「已知老王家有一个儿子，那么他再生一个儿子的概率是多少？」我们自己常常会在这些事情上犯错。

最短的路径的修建（Steiner 树问题）：如果希望连接正方形上四个顶点处的四个城市，怎样修建公路可以使得总路径最短？你能「直觉」想到想到如下图所示的结果吗？（最优解时，角 AEB = 120°，在边长 a=1 的情况下，总路线长度将小于对角线式的连接方式，计算可得： L = 1+sqrt(3) = 2.732 < 2sqrt(2) = 2.828）。

数学上还有很多很多这样的例子：以为很简单的问题其实是很难的难题；有时候做着做着就忘了某些定理成立的条件；一些看似简单的方程却存在一些奇特的解的形态，不考虑条件概率和 Bayesian 定理从而相信各种伪科学……说得极端点，在受过教育之前，我们对数学几乎完全没有可以天生的直觉，几乎（这个「几乎」也可以看成是数学用语^_^）只要一出手就会错。我们会很难相信奇数跟整数一样多，整数跟有理数一样多（ Hilbert 旅店问题），无穷长的周长可以围着有限的面积，关联不意味着因果，调和级数是发散的，甚至逻辑上的逆命题、否命题、逆否命题……所有这些都只有在稍稍经过训练之后才有可能出现这种「直觉」。

讨论这些东西相关的参考书也有很多很多，随手写几本：

对「伪心理学」说不 (豆瓣)

统计数字会撒谎 (豆瓣)

啊哈！原来如此 (豆瓣)

啊哈，灵机一动 (豆瓣)

2013-11-18