“随机”究竟是什么意思

“随机”究竟是什么意思

我们接着要更仔细地检视第二定律，以及关于有序与无序的课题，因为我们还没找出熵最根本的意义。在扑克牌的例子里，一副依花色与牌点大小递增排列的扑克牌有较低的熵，而随机洗过的牌则有较高的熵，这似乎无庸置疑。但如果这副牌只有两张呢？如此一来，只有两种可能的排列，区分哪种排列更有序并没有什么意义。假使有三张牌，比如红心二、三、四呢？也许读者会说，“二、三、四”的排列比“四、二、三”来的有序，因此具有较低的熵；毕竟前者是按照递增顺序排列的。但是如果这三张牌换成红心二、方块二与黑桃二呢？是否有任何一种排列方式比其他更有序？与前例的不同只在于，这三张牌的差异是靠花色定义出来的，而非大小。所以，扑克牌的花色与大小等标记方式其实并不会影响一组牌的熵？“红心二、方块二、黑桃二”的排列与“方块二、红心二、黑桃二”比较起来，熵并没有比较多，也没有比较少。

这么看来，我们先前将熵定义为系统的乱度，其实不够精确，因为乱度的定义太狭隘。这个定义显然只适用于某些状况，我们得将它推展。以下拙劣的扑克牌把戏足以表达我的意思。我拿出一副依序排列的扑克牌，洗牌之后展示给你看，这副牌已经洗得非常均匀。接着我说：仔细看喔！然后做出洗牌的动作。我宣称，这副牌已经被我洗成非常特殊的顺序。这真是令人叹为观止，我的动作与最早的洗牌动作看起来根本没两样。我将整副牌翻过来在桌上摊开。让你既诧异又难掩失望的是，这副牌的顺序看起来跟先前一样乱。你反驳道：这根本不是你所说的什么“特殊排列”嘛！

啊，可是它的确是呢。你瞧，我愿意用任何赌注跟你打赌，随便拿出另外一副牌，你无法在洗牌之后重现这副牌的顺序。你成功的概率与一副洗好的牌再洗回依序排列一样渺茫，大约是一亿兆兆兆兆兆兆分之一。基本上连试都不用试。若从这个角度来看，我手上随机顺序的牌跟一副没洗过的新牌一样“特殊”。这么一来熵怎么办呢？假使洗完后出现的牌序跟最初的牌序概率一样小，我们就无法宣称熵是增加的，不论牌洗得多么彻底。

由于篇幅有限，我打算直接给答案。比起我手上随机出现的“特殊”牌组，按顺序排列的牌组确实更特别。原因在于熵衡量的其实是一个系统的随机性（randomness），而非（disorder）。这看起来像在玩文字游戏，不过它确实给了我们更严谨的熵的定义。学术上，用来衡量“特殊性”相对程度的术语称为“算则随机性”（algorithmic randomness）。

“算则”（algorithm，又译为算法）一词在计算领域被用来统称计算机程序中的一系列指令，而“算则随机性”为指示计算机产生某种特定扑克牌序（或数列）所需的最短程序长度。在先前只有三张牌的范例里，重现“二、三、四”的顺序需要用到以下指令：“从最小排到最大”。而“四、二、三”顺序则要下达诸如“从数目最大的开始，接着由小排到大”的指令；在这个例子里，也可以直接指定每个位置的牌“从四开始，然后是二，接着是三”，复杂程度其实差不多。后两种指令的算则随机性都比第一个指令来得高一些，因此“四、二、三”这个排列方式的熵就比“二、三、四”多一些。

当我们使用完整的一副52张牌时，情况将会变得更明朗。下指令叫计算机产生某种有序的排列相对上较为简单：“从红心开始，将牌点依照递增的顺序排列，么点最大，接着对方块、梅花、黑桃进行同样的排序”。但是你要如何撰写程序，安排计算机产生我洗牌后出现的特殊顺序？这种情况也许就没有投机取巧的做法，只能一步步下达明确的指令：“从梅花的国王开始，接着是方块二，红心七（依此类推继续下去）”。如果这副牌尚未达到最大乱度，其中还有几段没洗到的牌，原来的牌点顺序还没被破坏，程序的长度就可以缩短。例如，假使黑桃二、三、四、五、六仍然连在一起，那么这一段就可以下较为简短的指令：“从黑桃二开始，其后四张牌同花色，且按递增顺序排列”，而不需要使用更长的指令明确指出每张牌的牌点与花色。

讨论计算机程序的长度，对读者而言或许没有太大的意义，我们大可跳过定义算则随机性这一段。然而，跟麦克斯韦精灵的大脑一样，我们的大脑从最根本的层次来看就是一部执行指令的计算机，你可以将算则随机性的概念换成我们的记忆能力。如果给你一副随机洗过的牌，请你将它依照花色和牌点递增顺序排列，指令很明确也很简单，你一定可以轻易完成（你可以将牌翻正，轻松地进行排列动作，而非透过随机地洗牌，靠概率盲目地达成目的）。如果请你将扑克牌依照我洗牌后得到的“特殊”顺序排列，在你试图用手上的牌复制这个顺序之前，也许就会发觉要记住它几乎是不可能的任务。与前者相较，你需要更多的信息来重现扑克牌的顺序。而当你知道愈多关于一个系统的信息，你能够对它进行的排序工作就愈多，降低的熵也愈多。