谈初一列方程解应用题的教学

谈初一列方程解应用题的教学

许　德

列方程解应用题是数学联系实际的一个重要方面，对培养学生的思维品质，提高分析问题和解决问题的能力有积极意义。义务教育初级中学课本中应用题占有很重要的地位，而着重点在初一，只要初一应用题过关了，到初二、初三时解应用题就轻而易举了。但初一学生抽象思维能力较差，理解能力弱，在解应用题时，把文字表达抽象为数学形式感到非常困难，成为教学难点。为了突破这道难关，笔者认为，在应用题教学中，要培养学生布列方程的思路。这不仅对解应用题有好处，而且有为今后几何证明题打好基础。

布列方程一般有两条思路。

一条是由整体到局部。首先，找出题目中用以布列方程的等量关系，再以此为出发点，找出构成方程的各个代数式，最后又根据等量关系列出方程，一般来说，等量关系比较明显的题就走这条路。例如，有23人在甲处劳动，17人在乙处劳动，现调20人去支援，使在甲处劳动的人数是乙处劳动人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人?

由整体到局部的分析思路如下:

可列方程:23+X=2［17+(20－X)］X人←共20人→(20－X)人

另一要是由局部到整体。首先，从所设的未知数出发，根据已知量和未知量之间的关系列出一个个代数式，再从中发现等量关系，最后利用等量关系把各个代数式综合成方程。一般来说，等量关系比较隐晦的问题可走这条路。

例如，甲、乙两工厂原计划在上个月共生产机床360台，结果甲厂完成了计划的112%，乙厂完成了计划的110%，两厂共生产了机床400台，上个月两厂各超额生机床多少台?

由局部到整体的分析思路如下:

已知量:　　　　　　　　　　　未知量:

1．原计划共生产360台，　　　1．甲超额几台?

2．甲完成了112%，　　　　 　2．乙超额几台?

3．乙完成了110%，　　　　　 3．甲原计划生产几台?

4．实际共生400台，　　　　　4．乙原计划生产几台?

5．甲实际－甲计划=甲超额　　5．甲实际生产几台?

6．乙实际－乙计划=乙超额　　6．乙实际生产和台?

此题若用x、y直接表示所求未知量，则其余的未知量较难表示成x、y的代数式，而选用x、y表示原计划甲、乙各生的台数，则根据已知量2，3，4，5，6，未知量1，2，5，6都可以表示成x、y代数式，再根据已知量1，4的等量关系可解。

但是，在分析解应用题时，无论用整体到局部的思路，还是用局部到整体的思路，或是综合运用上面的两条思路，都必须抓住等量关系，才能列出方程。因此，寻求等量关系是布列方程的关键所在，在目前的初中应用题教学中寻求等量关系，主要有以下几条途径:

一、通过关键词语体现等量关系

在应用题中，有许多题目的相等关系是通过一些关键性词语表现出来的。如:“共”，“是”，“等于”，“相等”，“差”，“倍”，“比”，“迟”，“早”，“快”，“慢”，“提前”，“超额”，“超产”，“剩余”，“增长”，“降低”，“比……多”，“比……少”，“增百分几”，“增中几倍”等等，此类应用题只要抓住关键词句，确切理解它们所反映的事物间的数量关系，等量关系就不难发现。如，上面第一个例题中“是”字可发现等量关系，上面第二个例中的两个“共”字就得到二个等量关系。

二、通过运用已经学过公式及数量关系体现等量关系

在小学里已经学过的长方形、正方形的周长、面积公式;正方体长方体、圆柱体的体积公式;行程问题中:距离=速度×时间;混合物(溶液)问题中:某一物质的质量(溶质)=含某一物质的百分数(质量分数)×混合物(溶液)的质量;工作量问题中:工作量=工作效率×工作时间;产量问题中:增产量=原产量×增产率，增产后的产量=原产量×(1+增长率);数字问题中:两位数=10×十位数字+个位数字，三位数=100×百位数字+ 10×十位数字+个位数字等;另外，货物总价=货物单价×货物数量，总产量=单位面积产量×面积，利息=本金×利率，本金+利息=本息，毛利润=卖出价－买入价等等。在解应用题时均能体现等量关系，学生也只能在熟记这些公式的基础上才能解各种类型的应用题。

三、通过分析变与不变找出等量关系

一般的应用题是反映某个数量的变化过程，但在这个过程中还存在着某些不变的数量关系，这就需要我们分析这个过程中变与不变的辨证关系，看以变中有不变，不变就是问题中的等量关系。例如数学(北师大版)课本第一册182页例题是等积变形问题，虽然物体的形状发生变化，但物体的体积却是不变的，即外形变化前后的体积是相等的。又如，行程问题中相遇问题，甲、乙两人同时从两地相向而行至相遇，在这问题中他们的速度，距离可不相等，但他们所行走的地间是相等的。再如:某工人原计划在限定的时间内加工一批零件。如果每小时加工厂10个，就可以超额完成3个;如果每小时加工11个，就可以提前1小时完成。问这批零件有多少个?按原计划需多少时间完成?在这一问题中，工效的变化会引起完成加工时间变化，但本题所求的这批零件数及计划完成的时是是不变的，这就是数量问题赖以联系的相等关系。

四、通过图示弄清等量关系

有些应用题的等量关系是隐晦，为了使生在解题时少走弯路，避免盲目尝试，可根据题意画一个示意图，将抽象问题形象化，并借助图形直观帮助，使我们深刻理解已知和未知间的关系，发掘等量关系。如，甲、乙、丙三人，甲每分钟走200米，乙每分钟走225米，丙每分钟走250米。如果甲、乙二人在A地，丙在B地，三人同地相向而，丙遇到乙后10分钟才遇到甲。求A、B两地的距离。

此题涉及到的量较多，各种关系也比较复杂，但通过画图，不难看出:(1)乙、丙两人从开始点A、B到相遇C所走的时间相等;(2)甲、丙二人从开始点A、B至相遇点D所走的间相等且比乙、丙二人开始至相遇所走的时间多10分钟;(3)乙、丙二人从开始至相遇所走距离之和(AC+BC)等于甲、丙二人从开始至相遇所走距离之和(AD+BD)且都等于总距离(AB);⑷乙从开始到与丙相遇所走距离等于甲从开始到与丙相遇所走距离(AD)加上丙走10分钟的距离(CD)，从而得到许多等量关系，进而不用这些等量关系来列代数式，列方程，使较难较烦的应用题也循刃而解。

五、通过列表发现等量关系

有些应用题不但关系隐晦，且条件较多，关系比较复杂，不易用图表示题意，这时可采用列表法，按照题目类型，列同有关的量，把题目中的已知条件和未知数尽量纳入表格中，进行分析比较，从而找出等量关系。如某学生骑自行车从学校去县城，先以12公里/小时的速度下山，而后以9公里/小时的速度通过平路，到达县城共用55分钟，返回时，他以8公里/小时的速度通过平路，后以4公里/小时的速度上山回到学校，又用1．5小时，问学校到县城有多少公里?

分析:这是一行程问题，可按速度、时间、路程三种量以及题中去(平路、山路)，回(平路、山路)列表如下:

表中可知速度都是已知的，时间、路程的8个量都是未知的，但从表中各格可发现8对相等关系:(1)去回平路路程相等;(2)去回山路路程相等;(3)去走山路时间与去走平路时间的和是55分钟;(4)回走平路时间与回走山路时间的和是1．5小时;另外四对分别是:去时走山路，去时走平路，回时走平路，回时走山路中速度×时间=路程。只要设8个未知量中的任何一个未知量为x，其余七个未知量(根据上面8对相等关系中的7对相等关系)都可以用x的代数式表示，剩下的一个等量关系列出方程，问题可解。上表是设去时山路为x公里后分析过程，然一可得方程:9(55/60－x/12)=8(1．5－x/4)

另外，工程问题，溶液中质量分数问题及其他类型的应用题都可以用列表的主法来分析解决。

有时按图示，列表结合起来分析判断，等量关系更容易找到。

总之，在布列方程解应用题时，应先找等量关系，重视找等量关系，因为找等量关系可以应付任何新情况，分析新问题，减少盲目地乱设未知数，乱套题型的现象，从中培养学生的分析问题和解决问题的能力。

作者:陕西省永寿县车村中学