联续和无限

联续和无限

罗素说：“颜诺（Zeno）（希腊哲学家，生于纪元前五百年，相信宇宙是一元而静的，不是多元而动的。）专心研究的问题，乃是无限，至小，和联续，的问题。自他一直到我们，每时代中最好的脑筋，都想用方法去解释它；然而大概说起来，并没有什么效果之可言。”我为什么要引这几句话，来做开宗明义的楔子呢？因为：这一类的问题，——有关于宇宙之理论的了解的问题——还没有得到确定不移的解决，倘若有人在这主权未定的田园里边，加意种植，也许可以获取良美的收获。所以这几句话，不应该引起我们的灰心，它应该鼓励我们的努力。

我现在先把几个哲学家科学家所举的关于联续和无限的难题陈列出来，然后再把几个对于这个难题的解释，依次叙述于下。

庄子《天下篇》：“飞鸟之影，未尝动也。一尺之棰，日取其半，万世不绝。镞矢之疾，而有不行不止之时。积无厚而至千里。”

墨子《经说下》：“久有穷无穷。”“斮非半，进前取也。前则中无为半，犹端也；前后取，则端中也。斮必半，无与非半，不可斮也。”

这是说一条线不可分为两半的道理。两半之中间为“无”，此“无”和点（即端也）一样，是无从分的，故曰前则中无为半，犹端也。若两半的中间，还有一点，而在此点之前或后分之，则此点仍在中间，未曾分过，故曰前后取，则端中也。中为无，既不可分，中有点，则所分有不是各半，故曰无与非半，不可斮也。

毕达哥拉斯（Pythagoras）的无比量（incommensurable）之发见毕达哥拉斯发明勾方加股方等于弦方的等式，然而他又发明无比量。这个无比量，是由勾股相等的三角而发明的。（勾股相等的三角，就是平方面由两对角分开的一半。）他的证明如下：

试使弦与勾（或股亦可，因为在此例中，勾与股是相等的）之比例为，但是（m和n都是整数，而他俩又没有公分数。）因为勾股是相等的，依勾方加股方等于弦方的等式算之，m²必等于2n²。然而奇数之平方亦为奇数，偶数的平方亦为偶数，m²既等于2n²，则无论n²是奇数或为偶数，2n²必为偶数，所以m²亦必为偶数。但是偶数的平方，皆可用四除之而得整数，今n²既为m²之二分之一，则n²必可用二除之而得整数。n²既可用二除之而得整数，则n²必为偶数。因为偶数之平方根亦为偶数，则n亦必为偶数。但是m既是偶数，而m和n又没有公分数，则n必为奇数。是n同时必为奇数而又为偶数，乃是不可能的。所以弦和勾（或股）之间没有理解的比例，换言之，它俩是无比量。

颜诺（Zeno）的辩论　如物是多数的，则物之数必能为此多数所表出，不多不少，如物是多数如其数之多，则物是有限的。如物是多数的，则此多数物之间，仍有多数他物，此多数他物之间，仍有多数他他物，以至无限，所以物是无限的。如物是多数的，则物必可分，若分到不可再分的时候，必定无体积，无体积即为无限小，但是物是由无限小集合而成，故物为无限小。如物是多数的，则物必可分，凡被分二部分之间，必有第三部分，此第三部分必须有体积，此第三部分与原有二部分之间，又必有第四第五……部分，此第四第五……部分又必有体积，以至无限，但是物乃是由无限有体积的部分集合而成，故物是无限大。颜诺以为：如果物是多数的，则必为有限的，而又为无限的，既为无限小，又为无限大；这是冲突的，是不可能的；所以他主张一元论。

以上是颜诺证明宇宙一元的说法，他又主张宇宙是不动的。他如何证明这一层呢？他所用的方法颇多（共有四个），现在姑且选择两个有趣味的陈述于下：

亚基儿（Achille）（希腊力士）追乌龟，永远追不上。何以故？亚基儿要追乌龟，必定要先跑到乌龟起程的地方。当这个时候，乌龟已经走过若干空间之点，亚基儿又要补偿这一段乌龟超过的路径。但是亚基儿在补偿这一段路径的时候，乌龟又向前超过若干空间之点，如此以至无限。所以亚基儿只能渐渐底逼近乌龟，但是永远不能追上乌龟。飞矢不动。何以故？当一物占据与它相等空间的时候，此物不动。现在，我们再看动的东西在一定最短的时间，——所谓一瞬（instant）——也是占据与它相等的空间，所以飞矢是不动的。

伽利略（Galileo）之辩论　伽利略所假设的辩论的问题，乃是无限之问题。辩论中的人物，是（甲）Salviati，（乙）Sagreclo，（丙）Simplicious，我们且节引他的辩论如下：

（丙）我知道平方乃是一个数自乘所得的数。

（甲）你必定也知道：“自乘而得平方”的数，就叫做根（平方根之简名词）。凡由根自乘而得的数，就叫做平方（例如一、四、九、十六、二十五）。还有数不是由根自乘而得来的，我现在把它们叫做非平方（例如二、三、五、六、八、十、十一、十二）。如果我说非平方多于平方，对不对呢？

（丙）那是一定的！

（甲）如果我问你：世上有几多平方，你一定答道，所有平方之多，如其根之多，因为一个根只有一个平方，一个平方只有一个根。

（丙）对呀！对呀！

（甲）如果我又问你：世上有几多数，你不能不承认所有数之多，如所有根之多，因为无论何数，都可以自乘而得一个平方，那就是说，无论何数，都是一个平方之根。那么，我们又可以说：所有数之多，如所有平方之多，因为所有平方之多，如其根之多，所有根之多，如所有数之多。但是起首我们已经说过，有许多数不是平方（例如二、三、五、六、七、八、十、十一），而且非平方多于平方，自一至一百，其中有数一百，但是只有十个平方（一、四、九、十六、二十五、三十六、四十九、六十四、八十一、一百）；自一至一万，其中有数一万，但是只有一百个平方；自一至一兆，其中有数一兆，但是只有一千个平方；若往上数去，数愈多，平方愈少。然而数到无限，我们又可以说所有平方之多，如所有数之多。

（丙）这应该如何解释呢？

（乙）我们只能说，所有平方是无限的，所有根是无限的，所有数是无限的。凡无限之数，不能用较少，较多，相等，来计算它。较多，较少，相等，之计算，仅能用于有限的数。

康德的反辩：

（一）正　世界有时间的始端，有空间的范围。

　　　反　世界的时间空间，都是无限的。

（二）正　复杂的物，都是由于简单的部分所构成。

　　　反　复杂的物，不是由于简单的部分所构成。

康德以为在以上所举二项之中，两个冲突的命辞，都可以证明是真实的。他的意思是：

（一）世界如果有时间的始端，这个始端之前是什么？既不能说出这个“什么”，所以世界的时间是无限的。然而试假定世界没有时间的始端，那就是说，无论在何时看起来，都有个永久已经过去，——都有无限的接续的程次已经过去。但是这个接续的程次，是不能用接续的综合（successive synthesis）而完备的。用普通术语来讲，是不能计算得尽的。所以无限的过去，是不可能的。所以世界的时间，是有限的。（空间照此类推。）

（二）无论何物，都可以分析成简单的部分，即至器官不能分析的时候，心思还可以分析它。所以复杂的物，是由简单的部分所构成的。然而凡是外界的关系，都只能发生于空间之中，所以物之组织，也只能发生于空间之中。既然如此，则此复杂物所占据的空间，亦必为简单的部分所构成。但是空间不是为简单的部分所构成，乃是为空间所构成的。所以复杂的物，也不是为简单的部分所构成。

这些问题中之困难点，在什么地方呢？就是时间，空间，物质，还是可分的呢？还是不可分的呢？若是可分的，如物理学中把时间分成瞬（instant），把空间分成点（point），把物质分成尘（particle），则瞬，点，尘，如何能够集合起来而成联续的时间空间物质呢？若是不可分的，何以我们的感触可以分它？我们的智慧可以分它？难道我们感触的世界，和逻辑的世界，都是虚妄的吗？对于这个问题，我们有三个解释：（一）否认时间空间之客观的存在；（二）以时间为联续而不可分的；（三）以时间空间为联续而又可分的。第一层可以叫做哲学的解释，第二层可以叫做心理学的解释，第三层可以叫做算学的解释。从派别说起来，第一层可以说是历史派的解释，第二层可以说是进化论派的解释，第三层可以说是逻辑论派的解释。

（一）否认时间空间之客观的存在

康德对于时间空间的解释，是如此的。他以为空间乃是无限的现成的分量（infinite given quantity）。凡一物之概念，在思想中，乃是此物之表像（representation），此表像乃是储在无限的其他的可能的表像之中，而又概括其他表像。（例如人之表像为要死的性质，然而同时又有其他可能的他表像如两足的性质，能言的性质，能制造东西的性质……不过我们举一以概其他，把要死的性质做人的表像。）但是没有同时包含许多表像的概念，可以为我们所思想。然而空间之概念，是可以如此为我们所思想的。因为空间所有各部分，可以无限的同时存在于思想之中。（几何学中所讲的空间之性质，如点之性质，平面的性质，等等，乃是由物质之权量推演下来的，并非空间本身之性质。）所以空间之概念，和其他概念之由感触得来的不同，它乃是先天的直觉。这个先天的直觉，必定在无论感触何物之前，已经存在于我们的里面，然后综合的而又先天的科学——几何学——的知识，才是可能的。所以空间的直觉之坐位，是在主观里面，为“主观如何为客观所感动”之形式的条件，——为外界感触之普遍的形式。至于时间，也是先天的直觉，因为必定先有这个直觉在我们的里面，然后变之观念，动的观念（空间之变之观念），才能成立。如果没有这个先天的直觉，就没有概念使我们懂得变之可能。例如一物冲突的表德，若是我们没有时间的直觉，如何能够懂得呢？（例如一个人，现在是少壮，将来是非少壮，若没有时间的先后，这少壮与非少壮两个冲突的表德，如何能够存在于同一的人之身上呢？）所以我们的时间的直觉，表现出来许多先天的综合的认识之可能。此种认识，即是动之原理中所必有的。总而言之，时间与空间都是智慧的形式（intellectual form）。我们所有的感触，都要收纳到这些形式之中，然后才有认识之可言，这样看来，时间空间，都没有客观的存在，那就不发生联续和无限的问题了。

康德又说，命辞之反对有两种：一是辩论的反对（dialectical opposition），一是分析的反对（analytical opposition）。倘若我说：“一件东西不是有好气味，就是有坏气味”，这是辩论的反对。这两个反对的命辞，都可以是错误的。因为：有些东西，是没有气味的，也说不上好，也说不上坏；在这个地方，我们对于这两个命辞，不能持不此则彼的意见，因为除彼和此二项而外，还有第三举例，——没有气味的东西（例如玻璃）可以存在。倘若我说：“一件东西，不是有好气味，就是没有好气味，”这是分析的反对；于是那些没有气味的东西，都可以归入没有好气味的范围之内。我们在这个地方，只要否认好气味一个条件，我们并不要同时肯定坏气味一个条件；因为对于这些东西，气味本来就不成为它们的条件，还有什么好坏之可言？以前所举的反辞的例子，都是辩论的反对，不是分析的反对，所以反正两面，都可以是错误的。自颜诺以下的人，都以为宇宙（包含以太在内）不是占据无限的空间，就是占据有限的空间。倘若我们抱持不此则彼的标则，当不信第一个命辞而信第二个命辞的时候，我们不但否认“占据无限空间”的一个条件，同时我们把空间当作客观存在的东西，而肯定了“占据有限空间”一个条件，所以陷入困难。但是，倘若我们说：“宇宙不是占据无限的空间”，就是“非占据无限的空间”，（这个“非占据无限的空间”和“占据有限的空间”不同。）这两个命辞，是分析的反对。在分析的反对之中，我们可以抱持不此则彼的意见，而不至陷入于困难。因为当我们不信第一个命辞而相信第二个命辞的时候，我们只要否认了“占据无限空间”一个条件，同时我们并不要把空间当作客观存在的东西，而肯定“占据有限空间”一个条件；于是我们可以说：宇宙是“非占据无限的空间”而不致犯错误的罪名，就同我们说：“玻璃是没有好气味的”不能算做错误是一样的。其实空间是主观的直觉，不是客观存在的东西，客观界里本没有这个东西，还有什么无限有限之可言呢？不但空间如此，时间也可以仿此类推；不但空间时间都是如此，凡依据空间时间之直觉而认识的现象，也是不能有客观的存在的。总而言之，宇宙是不能离我们而独立的。

（二）以时间为联续而不可分的

柏格森的创化论上，是如此说法。他以为世界上有两种动，一是生命之动，一是物质之动。生命之动是时间的，物质之动是空间的。生命之动是创造能力的，（植物以叶绿质创造能力，动物以神经创造能力。）物质之动是消耗能力的。生命之动是自下向上的，物质之动是自上向下的。宇宙之本体，联续不断，去而不返，推陈出新，无始无终。无以名之，强名之曰时间，或名之曰流动（flux）。当时间往前进行的时候，有扣留（detention）及松散（relaxation）的处所，换言之，即着物的处所。这种扣留或松散的动作，以空间的直觉为目的，但是它同时在心的方面，生出演绎和归纳的智慧；在物的方面，生出秩序的定律。这话怎样讲呢？试为叙述如下：

演绎法在无机的范围里，甚为适宜。虽其初必有定律为前提，然而这个定律或者是可以偶然得到的。一旦得到这个定律，就可以随时用它。但是在心的方面，这样的推论，只能有枝辞的（metaphorically）真实之价值，使我们得一个结论而已。推论和事实，与曲线和切线一般，永相近而欲离。演绎乃是一种制造法，为物质之性质所管理，为物质之活动的连接所陶铸，为物质背后的空间所规订。所以心之推论，只要转到空间，或空间化的时间，往下一停顿就得了。归纳也是如此。归纳是根据于两个原理：（一）有因有果；（二）同因必生同果。依（一）则实在（即本体）可分为片段——因和果，依（二）则在前的与在后的可以相同，时间是无关紧要的。这两点都是研究空间之性质的几何学所注重的。在几何学中，面可分为线，线可分为点，就是和（一）是一样的。几何学中等边必等角，等角必等边，知其一必知其二，拿两个同样的平面模型，可以完全互相遮盖，就是和（二）是一样的。在归纳法之中，以宇宙之间之一个组体为自因自果，凡距离甚远的，都不计算，就是（一）。天然齐一之定律就是（二）。例如用壶装水，烧若干时间，即将沸腾，当我们归纳的时候，我们实在是把今日的壶，水，炉，烧的时间，和沸腾，各种分子，和昨天的壶，水，炉，烧的时间，和沸腾，各种分子，互相遮盖，就同拿两个同样的三角互相遮盖一般。所以演绎归纳，都是演绎空间的动产生出来的。这个动，在心的方面，既生出智慧；在物的方面，又生出物质的原质之复杂，和联属这些原质之算学的秩序。因为智慧和物质，都是同一的扣留与松散的动所产生出来的，所以智慧可以自认于物质之复杂和秩序之中，而恰与物质之复杂和秩序相谐和，而羡慕物质在复杂中的秩序。我们可以说：心（智慧）在物中寻出心来。物质既然也是引到空间的动所生出的，所以从自由移到必定。所以它的动作，可以用算学的形式去管理它。然而物质的动作，和算学的形式，总只能相符到一定的地位，这是因为物质不是纯粹的空间。如果物质是纯粹的空间，则物质的动作，和算学的形式，可以完全相符了。

他说：从前只有空间的哲学，没有时间的哲学。从前的哲学，都是受过欧几里得几何学的薰陶的，只知道把宇宙当死的静的看待，终日孜孜于剖析的智慧和复杂关系之中，以为宇宙之大观，尽于此矣。而不知宇宙之本体，却完全不是这样的一回事；它是活的，动的，联续不断而不可分析的。试就文人作文作一个比喻而言，当他未曾下笔的时候，他的文思，本是含蕴欲宣，浑然一气的。到了汩汩而来发为文的时候，才把这个文思析成形式的理想，从这些理想，再寻出字句来表明它。离其原来的文思愈远，则可选择的分子愈多，例如我们可以用不同的字句，来表明同一的意见。我们读一首诗，或一篇文，若是徒然羡慕字句之配合适宜，决不是善于读诗文的。我们要从字句之间，深入于作者原来的感想，复活作者的文思。我们观察宇宙，若是徒然羡慕宇宙之算学的秩序，也不是哲学家，我们必须深入于宇宙之本体——生命——流动——时间的里面，视于无形，听于无声，方能算得除锢蔽而探窔奥，致广大而尽精微。这样看来，时间乃是流通不息的联续，空间是时间之扣留松散的处所所生出的；智慧和物质，乃是引到空间的扣留或松散的旁产物。时间不可分析；空间虽可分析，然而非宇宙的本体。至于物质的分析，那更是落于下乘的色相了。

拿这个观念来应用到飞矢不动的难题，可以得一个易于领会的解释。我先将飞矢不动的原理叙述于下：飞矢在一定有限的时间之中，越过一定有限的空间。若把这个时间分成瞬，把这个空间分成点，把飞矢的本身分成尘，则此飞矢中之一尘，在一定的瞬之时，必停止在一定的点，那就是说：此一尘在此瞬之时，在此一点，是不动的。空间既由点集合而成，则飞矢之动，乃是由于这些“不动”集合而成，所以飞矢是不动的。不宁惟是，若是把时间分成瞬，把空间分成点，则无论动得快的，或动得慢的东西，分析到最后的一层，都只能一瞬经过一点，二瞬经过二点，三瞬经过三点，以上如此类推。倘若一瞬可以经过数点，则此瞬可分为更小的部分，不成其为瞬了；倘若须数瞬方能经过一点，则此点又可分为更小的部分，也不成其为点了。所以各种物质之动，无速率大小之可言。复次，不动之间必有动，才能集合成动。在一定的瞬之时，有一尘在一定的点，是不动的，然而在二瞬之间，——“无瞬”——它又是从此点经过无点，而至其邻近之一点，这也是难于了解的事情。所以庄子说：镞矢之疾，而有不行不止之时。然则这些难题，究竟应当如何解释呢？依柏格森说：以前的人把动和动所经历的途径混为一谈，当作同一的东西，所以发生这些困难，这是一个根本的错误。我们须知道，动所经历的途径，是可分的，动的本身是不可分的。今有一矢，自A点飞至B点，当其初发的时候，弓的弹力已经造成一个自A至B单独不可分析的动。若在自A至B的途径之间，指定C点，而说在C点矢曾不动，则此动是自A至C和自C至B两个动相加之共总，不是一个单独的动了。从价值一方面讲起来，以自A至B之动和自A至C与自C至B相加之动两相比较，可以是一样；例如一个人要自后门走到前门，不管他一气呵成底走到，或是在中途休息一次，然后再走到，都没有区别，总之，只要他走到目的地就得了。然而从实质一方面讲起来，它俩确乎是大大的不同，这种不同，在美术里，尤其是在中国的美术里，有时还可以看得出；例如写字，一横一竖，都须一笔成功，若是用两笔凑合起来，决不能和一笔成功的有一样的意味。

拿动和动所经历的途径混成一事，是因为我们在动之外观察的缘故。若是我们在动之内观察，就不能把动当作可分的了。前之观察，是智慧的，后之观察，是直觉的。直觉之观察，不是不可能的，试拿我们一举手一移足为例，就可以看得出。凡一举手一移足，都是一个单独不可分的动。

（三）以时间空间为联续而又可分的

这是算学的哲学家所主张的，兹就罗素的《用于哲学中之科学方法及其神秘与逻辑》所叙述者而言，从前的人，不懂得无限和联续之性质，所以发生许多困难。现在我们从算学中可以了解这些性质，我们就有解决这些困难的方法。兹将根据于算学的联续和无限之观念叙述于下：

（甲）算学的联续，乃是级序（series）或秩序的性质。凡多数项（terms）排列成一定的级序之时，即有联续的性质；例如自一至十至百至千……一条线中自左至右之点，一时间中自前至后之瞬，都是级系。如此排列的级系，必有一定的秩序。联续的性质，非属于这些项之本身，乃是属于这些项的一定的排列的秩序；换一句话说：联续的性质，不是属于这些项之原质，乃是属于这些项之关系。

（丙）无限是类的性质。凡数中之分子，虽不能一一数出来，然而是可以为此类之概念同时陈列出来的（all given to once）。例如人乃是一个类的名称，我们虽不能把张，王，赵，李，一个一个的数出来，然而我们可以用人的界说的概念，把古今中外所有的人，同时陈列出来，一块儿计算他。无限也是如此。我们固然不能把无限的分子一个一个底数出来，但是它也可以为无限之界说之概念同时陈列出来。（说见丁节）

（丁）无限也是数。此节所言，与上节本是相联接的。从前的人以为，凡数皆是可数的，无限既不可数，就不是数。这种见解，是由于计数的习惯所生的偏见而来。现在我们研究起来，无限也是数，就同一，二，三，四，一般，相等，较大，较小，都可以用到无限上去。罗素有一个有趣的比喻说：有一个人遇着一个牛贩子带了许多牛在那里贩卖，他以为凡牛都是为牛贩子所贩卖的。他日他在牧场上看见许多牛在那里吃草，斗角，他不敢承认这些牛是牛，因为没有牛贩子在那里贩卖它们。这和从前的人因为无限是不可数的，便不敢承认无限是数，是一样的错误，殊不知以可数为数之特性，不过是心理的习惯，并不是逻辑的需要。可数不过是有些数（有限的数）偶具的性质，并不是所有数必需的性质。数之必需的性质，为其有类的性质。有限无限都是数；凡数都有类的性质。康特耳（Cantor）之数之界说曰：凡一级系中之项数，乃是与此类相同的类之类。此种界说，可以用之于有限数，也可以用之于无限数，也可以用之于零数。例如这里有五个人，这个“五”乃是一个类，凡一级系中之项，具有此“五”之性质者，或为五张桌子，或为五枝粉笔，或为五个任何他物，都属于“五”类。无限也是一个类，凡一级系中之项，具有无限之性质者，或为无限瞬，或为无限点……都属于无限类。凡类都是逻辑的形式，不是感触的实质。这个逻辑的形式，是另外一个世界，和主观的情绪不同，和客观的山川草木也不同。所以夫烈施（Frege）说：数不是空间的，物理的，也不是主观的，但是客观的而又不可感触的。总之，如此说法，无限和有限并没有区别，所以都是数。以无限当作数，并不是逻辑的冲突，不过和心理的习惯相冲突而已。

（戊）无限之外可以有有限。从前的人，以为无限之外不能有有限，现在我们知道无限之外有有限，并不是冲突的。无限的世界之外，可以有其他有限的世界。（参观下段软转性）

以上所说的，是无限与有限相同的地方，但是无限数也有两件性质，与有限数不同：（A）无限数有软转性（reflexiveness），（B）无限数有非归纳性（noninductiveness），即是无归纳性。

（A）软转性　依微分之原理而言，函数之限，当一个变量逼近于一定的点的时候，不必与此变量实在抵到此点时的价值相同。这个原理，是算学家所熟悉的。例如气体的体积和绝对温度成正比例，然而此项比例，只能在绝对零度以上，方能有效；若是到了绝对零度，则二者并无比例之可言。倘若原来的比例仍为有效，则体积亦须为零，这是物理上不可能的事情。伽利略的辩答，可以用此原理解释，所有有限的平方之数，实在是和所有有限的数之数相等。但是我们计算的数，若在一定的有限的数之范围以内，此一定的有限的数渐加大，则此范围以内的平方之数，和此一定的有限的数之间之比例渐趋于零。这两件事实，并不是冲突的，因为无限有软转性；有软转性者，加一而不增，无论什么有限的数，加到无限上去，而无限不变。但是较大较小之概念，又可应用于无限的麇集（infinite collection）。无限的这个性质，乃是康特耳所发明的。伽利略之辩问里面，某丙之所不能领会的，是因为他以为——多数的别人都以为——如果较大较小之概念可应用于无限，则无限麇集之中之一部分，必较此无限之麇集之共总，含储较少的项。我们只要否认这个结论，所有的貌似的冲突都消灭了。康特耳所发明的无限之此种性质，初看起来，似乎奇怪，然而这个奇怪的程度，并不超越于“人在地球之对极而皆不坠”之事实之上，非但不奇怪，而且是很平常的事情。

（B）非归纳性　算学的归纳性，就是遗传性，父亲姓赵，儿子也姓赵；父亲姓钱，儿子也姓钱，这就是父姓遗传于子。凡有限的数，都有这个遗传性。今有一数于此，——试言九十，凡大于九十的有限数，——试言一百二十，都有九十的遗传性。因为九十加一而得九十一，九十一加一而得九十二，如此递增三十次，就得一百二十。凡九十的性质，在一百二十里边，都还存在；但是小于九十的数，不必有九十所有的性质。从九十退后渐减，必抵于零，就同各族溯祖，必抵于受姓之始一般。这样的加一个而得比自己较多一个的数之层次，叫做算学的归纳。自零以及所有的有限数，都有可以如此归纳的性质。至于无限数，却不然，无限数没有切近的生身父，因为没有一个最大的有限数。所以逐步增加之方法，不能应用于无限之计算，所以无限的数，也就不能一个一个的数出来。

物理学中之尘，瞬，点，本是从感触张本，用逻辑构造起来的。如此构造起来的尘，瞬，点，都有算学的性质，——是有紧密性的联续。惟其有紧密性，所以是无限。算学的时间，是瞬之无限的麇集，算学的空间，是点之无限的麇集。若是有人设想两瞬两点之间必有空隙，那就是没有紧密性了，那就不是无限的麇集。如此设想，就要入于错误的一途。物质中之尘，也是与瞬，点相同，也是用逻辑构造起来的存体，并不是物理化学中实在讨论的原子分子或电子。

用这些观念去解释动之问题，和以前所讲的大不相同。试就飞矢而言，飞矢前行，在有限的时间之内，经过有限的空间，那就是说：在无限的瞬之麇集之内，经过无限的点之麇集。然而普通心理习惯总以为：试就飞矢中之一尘而言，在此瞬之时，它在此点，在次瞬之时，它在次点，当此一尘正在一点之时，是不动的，于是飞矢之全体是不动的。但是一经如此设想，便错误了。在联续的时间空间之中，无次瞬次点之可言。因为其中没有两相邻次两相接近的瞬或点，这就是紧密性。我们虽可说，矢中之一尘，在一定的瞬之时，占据在一定的点，也可以说，此矢在一定的瞬之时，占据在一定的空间；然而我们不能说，矢中之一尘，在一定的瞬之时，停止——不动——在一定的空间。因为此一定的瞬，没有有限的时间之经历；且此瞬无始无终，二瞬之间，并没有空隙可容我们设想。所谓停止，所谓不动者，乃是在一个有限的时间之中，——无论此时间如何的短，只要不是短到一瞬的地位，——即是经过此时间中所有的瞬之时，此物中之一尘，占据同一的点，此物之全体，占据同一的空间；并不是：在一定的瞬之时，此物中之一尘，占据同一的点，此物之全体，占据同一的空间。所以我们只能说：在一定的瞬之时，飞矢占据在一定的地方；我们不能说：在一定的瞬之时，飞矢停止在一定的地方。所以飞矢不动一句话，是根本不能成立的。

拿算学的言词来讲，一物在动的时候，此物所占据的空间，乃是时间的联续的函数。我们再就一个举例来说明这个意义。设有一尘在t瞬之时，举行联续的动，而恰在t瞬之时，此尘在P。今试取其动的途径之一小段P₁P₂而言，P₁P₂包含P在内，如图所示。如此尘在t瞬之动是联续的，我们必定可以找得出一个早于t的t₁，一个迟于t的t₂，而在t₁t₂之间，无论P₁P₂是如何底小，这个命辞还是对的。如此，则我们须说在t瞬之时，此尘之动是联续的。如果此尘之动，在所有的时间之中，都有如此的性质——都是联续的，则我们须说：此尘之动，是共总联续的。如果此尘之动不是联续的而是跳跃的，如自P骤尔跳跃而至Q，则我们的联续之界说，在P₁P₂不能包含Q的时候，就不能应用了。所以以上所叙的联续的界说，可以供给动之联续之分析，使我们可以同时承认无限小的瞬和点，而又否认瞬与瞬和点与点之间之至小的距离。

以上各种说法，各有各的根据，各有各的势力。我们究竟如何择其善者而从之，恐怕要依个人的兴味和历史的教导而规定了。