整式的概念

【知识结构框图表解】

【本节解读】

字母表示数是人类认识的一个飞跃，字母表示数具有简明、普遍的优越性．从具体的数过渡到用字母表示数，渗透了从特殊到一般的抽象概括的思维方式．

【基础知识详解与要点点拨】

1．字母可表示运算律、运算法则

如：加法交换律表示为：a＋b＝b＋a（a、b表示任意的有理数）．

减法法则表示为：a－b＝a＋（-b）（a、b表示任意的有理数）．

目前，运算律、运算法则中的字母可以表示任一个有理数．

2．字母可表示计算公式

如：圆的半径是r，圆的面积为S，那么S＝πr²．

这里公式中的字母表示在一定范围内变化的数．

3．字母可表示方程里的未知量

如：长方形的长比宽多12米，周长为96米，求它的长与宽．

解：设宽是x米，则长是（x＋12）米．

由题意得：

答：长方形宽是18米，长是30米．

这里的字母代表的是一个满足等式的数．

4．字母可表示可探索的数字规律

如：如图9-1、9-2、9-3，用火柴棒搭三角形

图9-1

图9-2

图9-3

如果搭出第二十个三角形需______根火柴棒；

如果搭出第三十个三角形需______根火柴棒；

……

如果搭出第n个三角形需______根火柴棒．

解：如果搭出第二十个三角形需60根火柴棒；如果搭出第三十个三角形需90根火柴棒；如果搭出第n个三角形需3n根火柴棒．

这里的字母一般表示正整数．

解本题时，寻找规律，再由特殊到一般．

5．用字母表示数的几点注意

（1）用字母表示数是数学从算术到代数的一大进步，是代数的显著特点，必须逐步适应从数到字母的过渡，着眼于一般性数学规律的研究．

（2）一般地，用字母表示的数是某个范围内所有数的代表，具有普遍性，又是这个范围内的任意一个数，具有任意性．因此，用字母表示数可以简明地表达数量间的关系，表达数的各种运算律、法则、性质．

（3）用字母表示的数虽然具有普遍性、任意性，但还要受该字母所表示的量和该字母在算式中的情况及实际生活规律等限制．

（4）用字母表示数，同一个问题中的相同量要用同一个字母表示，不同量必须用不同字母表示．同一个字母在不同问题中的意义可以不同．

（5）用字母表示数时，一些规定了的、约定俗成的表示习惯我们要遵循．

【典型例题精讲与规律、方法、技巧总结】

例1　黑板的长为2.5米，宽为b米，则它的面积和周长分别是多少？

解题策略：本题是依据长方形的性质求解的，要熟记长方形的面积公式、周长公式．

解：面积＝2.5×b＝2.5b（米）

周长＝（2.5＋b）×2＝2（2.5＋b）

注意：数字与字母或数字与括号相乘时，通常省略乘号，但要把数字写在字母或括号的前面．

例2　下列叙述的事件中，字母各表示什么？

（1）扇形的面积公式为；

（2）每小时行驶100千米的汽车行驶了100t千米；

（3）买4支钢笔用了4a元．

解题策略：不同的实际情境中的字母表达的意义不同，要结合情境考虑．

解：（1）n表示扇形的圆心角的度数，r表示扇形的半径；

（2）t表示汽车行驶的时间；

（3）a表示4支钢笔的平均单价．

注意：公式中的字母有其固定的意义，但出现在别的问题中的意义就不一定相同．所以必须考虑特定的情境，再分析字母的意义．

例3　设某数为x，用x表示下列各数：

（1）某数的平方的相反数；

（2）比某数的三倍大7；

（3）7加上某数的和的三倍；

（4）某数与5的和除以某数；

（5）某数的倍减去2的差．

解题策略：解本题的关键是审清题意，审题时要抓住关键字，如和、差、积、商、多、少、几倍、几分之几等；要注意书写的规范；按“先读先写”的规则表示．

解：（1）-x²；

（2）3x＋7；

（3）3（7＋x）；

（4）；

（5）．

注意：书写规范的通常约定：

（1）式中出现的乘号，通常乘号写作“·”或省略不写．如6×a常写成6·a或6a．

（2）数字与字母相乘，将数字写在字母前面（1省略不写）．如6a不写成a6．

（3）数字与数字相乘，一般仍用“×”号．

（4）式中出现的除法运算，一般按照分数的写法书写．如2÷a通常写成．

（5）表示字母与分数的积时，分数是带分数要化成假分数．如：要写成，免得产生的误解．另外的一些约定在以后逐步了解．

例4　观察下列各式：第一式：1×2×3×4＋1；第二式：2×3×4×5＋4；第三式：3×4×5×6＋9；第四式：4×5×6×7＋16；用含字母n的式子表示第n个式子．

解题策略：归纳一般性的规律，应从最基本、最简单的情形入手思考，本题观察前四个式子的特点，从变化中发现一般性的特点，这样便于发现其中的规律，也是一个从特殊到一般的过程，这也是常用的解题方法和策略．

解：第n个式子是n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＋n²．

注意：本题中的字母n是正整数，要注意字母的取值必须使实际问题中提炼出的数量有意义．

【知识联系与拓展】

例5　如图9-4，边长为m的正方形卡片，四个角上分别剪去一个边长为n的正方形（m＞2n），然后折成一个无盖的长方体盒子，如图9-5，试写出计算这个无盖长方体的体积和表面积的公式．

图9-4

图9-5

解题策略：长方体体积等于它的长、宽、高三者的乘积，也等于它的底面积乘以高．由本题的条件可知：长方体盒子的高为n，而底面是一个正方形，关键是求出它的边长．

要求这个无盖长方体的表面积，它既可以看成是由底面正方形与四块侧面拼成，也可以看成一个大正方形剪去四个小正方形所得．

解法一：由图9-6可知，无盖长方体的底面为有阴影的正方形，它的边长为m－2n，所以长方形的底面积为（m－2n）²．该长方体的高为n，故长方体的体积公式为：

V＝n（m－2n）²．

图9-6

无盖长方体的表面由一个正方形底面和四个矩形侧面所组成．每个矩形的长、宽分别为m－2n和n，面积为n（m－2n），而底面积为（m－2n）²，所以其表面积的公式为：

S＝（m－2n）²＋4n（m－2n）．

解法二：同解法一得V＝n（m－2n）²．

无盖长方体的表面的实质可看成一个大正方形剪去四个小正方形，所以表面积等于大正方形的面积与四个小正方形的面积之差，即S＝m²－4n²．

注意：不同角度思考会有不同的解法，数学学习中有选优思想，显然，解法二优于解法一，要更简捷．

例6　下列用字母表示的式子都有其特定的意义，请结合已学知识和经验对它们作出说明．

（1）m＋n＝0；

（2）mn＜0；

（3）mn＝0；

（4）mn≠0；

（5）mn＝1；

（6）mn＝-1．

解题策略：字母所表示的具有特定意义的式子非常简明，充分体现了用字母表示数的重要作用．理解这些式子的特定意义，实质是体悟隐含其中的内涵，这要靠平时多思考和积累．

解：（1）m＋n＝0表示m、n互为相反数；

（2）mn＜0表示m、n异号；

（3）mn＝0表示m、n中至少有一个为0；

（4）mn≠0表示m、n均不为0；

（5）mn＝1表示m、n互为倒数；

（6）mn＝-1表示m、n互为负倒数．

【历届中考题解析与注意的问题】

例7　观察下列各式：1²＋1＝1×2，2²＋2＝2×3，3²＋3＝3×4，…

请你将猜想到的规律用自然数n（n≥1）表示出来________．

解题评析：该题是通过观察寻找规律，用字母表示所得规律的问题，这是近年中考命题的热点问题，目的是考查学生观察分析及探究的能力．通过观察分析，该题的左边是一自然数的平方加上这个自然数，右边是这个自然数与下一个自然数的积，所以其规律用自然数n（n≥1）来表示应为：n²＋n＝n（n＋1）．

解：n²＋n＝n（n＋1）

例8　电视剧飞天奖今年有a部作品参赛，比去年增加了40％还多2部．设去年参赛的作品有b部，则b是（　　）

A．

B．a（1＋40％）＋2

C．

D．a（1＋40％）－2

解题评析：因为去年的作品是b部，增加40％后的作品为b（1＋40％），而今年又比去年增加后的作品多2部，所以今年的作品为a＝b（1＋40％）＋2，所以去年的作品．应选C．选项A是把多的2部当作了去年增加后比今年多2部，选项B、D是把a当作b去理解了，所以都是错误的．

【知识结构框图表解】

【本节解读】

列代数式，即用字母把数和数量关系简明地表示出来，是在学习了有理数的基础上，结合学生已有的生活经验，使学生的思维实现由数到式的飞跃．它是对字母表示数的意义的进一步理解，领悟字母“代”数的数学思想．它也是研究数量关系和变化规律的数学模型之一，可以帮助人们从数量关系的角度更准确清晰地认识、描述和把握现实世界，体验到数学与现实生活的紧密联系，认识到数、符号是刻画现实世界的重要语言，提高数学语言的表达能力．学习好这部分内容为今后学习列方程解应用题作准备．这部分内容在本章起着承上启下的作用．

【基础知识详解与要点点拨】

1．代数式的含义：用运算符号和括号把数或表示数的字母联结而成的式子叫做代数式．单独一个数或一个字母也是代数式．如n－2、0.8a、2n＋500、abc、2ab＋2ac＋2bc、、0、y等式子都是代数式．

2．代数式的书写规范：

对代数式的书写一般有如下规范：

（1）代数式中用到乘号，若是数字与数字相乘，“×”号不能省略，若是数字与字母相乘或字母与字母相乘，通常乘号写作“·”或省略不写．如a×b写成a·b或ab．

（2）数字与字母相乘时，将数字写在字母前面（1省略不写）．如5a一般不写成a5；1a写成a．

（3）表示字母与分数的积时，若分数是带分数要化成假分数．如：要写成．

（4）代数式中出现的相除关系、比的关系，一般按照分数的写法书写．如a÷b写成．

（5）表示几个字母相乘的积一般按26个字母顺序书写．如ba一般写成ab．

（6）当用含字母的代数式表示一个有单位的结果时，若代数式中含有“＋、－”运算符号，一般要将整个代数式括在括号里，再添写单位．如（2a＋b）本．

3．列代数式

数学语言大致有三种形式：符号语言、文字语言（自然语言）、图形语言，这三种形式之间的相互融会贯通，是学好数学的基础，也是学代数的基本功之一．列代数式就是将文字语言转化成符号语言，使数学看起来更简捷易懂，运算也比较方便．

列代数式时要领如下：

（1）按“先读先写”的原则列代数式．

（2）按运算顺序，合理利用括号列代数式．

（3）正确理解“和”、“差”、“积”、“商”、“大”、“小”、“多”、“少”、“倍”、“几分之几”、“％”、“半”等运算含义及其之间的关系．

（4）要慎重对待某些逆运算的关系．如设甲数为x，甲乙两数的和为a，用代数式表示乙数，不能表示成x＋a，而应表示为a－x．

【典型例题精讲与规律、方法、技巧总结】

例1　下列各式，哪些是代数式？

①x＋6

②a²＋b＝b＋a²

③4x＋1＞7

④b

⑤0

⑥

⑦4a＋3≠0

⑧2³－6

⑨8m＋2n＜0

解题策略：①、⑥、⑧是典型的用运算符号将数或表示数的字母联结而成．④、⑤属于单独一个数或一个字母．②是一个等式，③、⑦、⑨是不等式．

解：①、④、⑤、⑥、⑧是代数式；②、③、⑦、⑨不是．

注意：用等号或不等号联结的式子不是代数式．单独一个字母或一个数字都是代数式．

例2　根据下列语句列代数式．

（1）x与y的和的；

（2）x与y的的和．

解题策略：列代数式关键是找出运算的顺序，即语句中叙述的顺序．（1）中先求和，再将和乘以，而（2）中先求y乘以的结果，再把结果与x相加，得到和．（1）中打括号保证先算加法再算乘法，写在括号前因为“数字与字母相乘，数字在前，且可以省略乘号”．

（2）中的加法、乘法混合运算，本身就先算乘法再算加法，故不需打括号．

解：（1）；

（2）．

注意：列代数式按“先读先写”的原则．

例3　b千克增加35％后是______千克．

解题策略：“增加”就是在原有的基础上加上一部分，这一部分就是b的35％，即35％b．

解：（b＋35％b）千克，也可写作（1＋35％）b千克．

注意：根据语句列代数式，首先找出关键词，确定运算顺序，再列代数式．

例4　用代数式表示：

（1）汽车每小时行驶60千米，t小时行驶______千米；

（2）哥哥今年a岁，比妹妹大b岁，妹妹今年______岁；

（3）n行树一共有m棵，平均每行树有______棵；

（4）某件商品原价x元，春节期间以8折出售，则打折后售价为______元；

（5）x与y和的平方的倍；

（6）如图9-7，正方形的边长为a，求阴影部分的面积S．

图9-7

解题策略：本题考查用代数式表示几个比较简单的数量关系，题（1）关键掌握行程问题中三量的关系，即路程＝时间×速度．题（2）关键在于分清大数、小数的和差关系．题（3）在于区分份数．题（4）是一道联系实际的题目，要弄清打折的含义．题（5）注意平方和与和平方的区别．此类题解题关键之一是抓住语句中的关键性词语，如：“和、差、倍、份、倒数、积、商、平方”等，并熟悉它们所对应的每一种运算．第二是分清运算的顺序，一般按“先读先写”的原则确定其先后顺序．题（6）阴影部分面积可以看作两个以a为直径的圆的面积减去正方形的面积．

解：（1）60t；

（2）a－b；

（3）；

（4）80％x；

（5）（x＋y）²；

（6）解：S＝两个以a为直径的圆的面积－正方形的面积＝2π－a²＝a²－a²

注意：列代数式时，一定要熟悉书写代数式时应注意的几点事项：字母与数字相乘，数字因数要写在字母的前面，乘号可省略；数字因数是“1”可省略不写；是带分数要写成假分数；数量之间含有“除”的关系，式子一般写成分数形式．

例5　说出下列代数式的意义．

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）（a－b）²；

（6）a²－b²．

解题策略：本例中（1）与（2），（3）与（4），（5）与（6）实质为对比题型，它们的意义易混淆，要注意二者读法的区别．可见，学好数学还得有扎实的文字基础．

解：（1）的意义是a的一半与5的差；

（2）的意义是a与5的差的一半；

（3）的意义是2c除以a与b的和的商；

（4）的意义是2c除以a的商与b的和；

（5）（a－b）²的意义是a与b的差的平方；

（6）a²－b²的意义是a与b的平方差．

注意：本题考查用语言表达代数式的意义．以上的叙述都不是惟一的，仅作参考．

例6　请展开联想，结合你的生活实际，设计具体情境，解释代数式（1＋20％）a可表示什么实际意义？代数式2x³又可代表什么实际意义？

解题策略：代数式的意义可以从两个方面理解：一般意义和实际意义．对于同一个代数式，如要求用语言表述它的一般意义，只要能说出代数式所包含的运算、顺序正确即可；如要求说出代数式的实际意义，则要联系实际，设定相应的情境，赋予代数式中的数、字母一定的实际意义．

解：此题答案不唯一，现给出一个范例：

①若a表示某工厂第一年的产值，第二年产值增加20％，则（1＋20％）a表示此工厂第二年的产值．

②若x表示正方体的边长，则x³表示正方体的体积，则2x³表示2个边长为x的正方体的体积．

注意：第一个代数式表示增长，只要让a表示一个量即可．而2x³中进行立方的是x，一般来说求体积比较常用立方，也可直接用x³代表一个量．这类题具有开放性，可发挥想象力，只要说法合情合理，没有曲解代数式的意义即可．对于生动、形象的语言解释更值得提倡，这样能更好地锻炼想象和思维能力．

【知识联系与拓展】

例7　用代数式表示图中阴影部分的面积．

图9-8

解题策略：阴影面积＝总面积－空白面积．总面积和空白部分都是圆，利用圆的面积公式分别求出再相减．

解：πR²－πr²．

注意：组合图形没有现成的公式直接求出，故要认真审视图形，找出图形间的关系解题．

例8　甲、乙两地之间公路全长为100千米，某人从甲地到乙地每小时走v千米，用代数式表示：

（1）某人从甲地到乙地需要走多少小时？

（2）若每小时减少2千米，需要多少小时？

（3）减速后比原来慢多少小时？

解题策略：这个实际问题是研究距离、速度与时间的关系，属于行程问题．它的基本关系是：距离＝速度×时间或速度＝或时间＝，按照这个关系来具体分析本题就不难找出它们的代数式了．

解：（1）某人从甲地到乙地需要走小时．

（2）若每小时速度减少2千米，此时速度为（v－2）千米，需要走小时．

（3）减速后比原来慢小时．

注意：要熟记行程问题中三个量之间的关系．

例9　一项工程，甲队单独完成需用a天，乙队单独完成用b天，若两队全做，完成这项工程共需多少天？

解题策略：本题是工程问题，工程问题的特点是把完成整个工程看作1．甲队单独完成需用a天，则甲队每天完成工程的，乙队单独完成需用b天，则乙队每天完成工程的，甲，乙两人合作一天能完成工程的．工程问题的基本关系是：工作量＝工作效率×工作时间，或效率＝，或时间＝．

解：因为甲、乙两人合作一天能完成工程的，即合作的效率，工作量为1，由基本关系可得完成这项工程所需时间为天．

注意：要熟记工程问题中三个量之间的关系．

【历届中考题解析与注意的问题】

例10　我国政府为解决人民群众看病难的问题，决定下调药品价格．某种药品在1999年涨价30％后，2001年降价70％至a元，则这种药品在1999年涨价前的价格为______元．

解题策略：因为该药品经过两次调价后的价格是a元，而所求的问题是第一次调价前的价格，可用逆向思维的方法来解：因为2001年降价70％至a元，所以降价前的价格应为，用同样的方法可列出第一次调价前的价格为，整理得．

注意：用逆向思维解题有时更简捷．

例11　某音像社对外出租光碟的收费方法是：每张光碟在租出后的头两天每天收0.8元，以后每天收0.5元，那么一张光碟在租出的第n天（n是大于2的自然数）应收租金______元．

解题策略：因为租出的第n天中包括前两天，所以每天收0.5元的天数应是n－2，那么第n天应收的租金为1.6＋0.5（n－2），整理为0.6＋0.5n．

注意：解答该题时一定要注意条件，n是大于2的自然数．

【知识结构框图表解】

【本节解读】

列代数式和求代数式的值，这是一个问题的两个方面．列代数式是从特殊到一般，求代数式的值是从一般到特殊，这里体现了一般与特殊的辩证关系．列代数式解决问题时，往往要根据代数式里字母的取值来确定代数式的值，因此求代数式的值是运用列代数式解决问题的一个重要方面．此外，在求代数式的值的过程中要进行数的运算，因此学习这项内容可对前面学过的数的运算知识进行一次复习．

【基础知识详解与要点点拨】

1．代数式的值的含义

用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值．

如：已知圆的半径为r，圆周率是π，求当半径r＝4cm、r＝2.5cm时的圆面积．

解：当r＝4cm时，πr²＝π×4²＝16π（cm²）；

当r＝2.5cm时，πr²＝π×2.5²＝6.25π（cm²）．

当半径r取不同的值时，对应的圆面积πr²就有不同的结果，这些不同的值都叫做πr²这个代数式的值．

注意：

（1）“用数值代替代数式里的字母”的含意，一般说来，一个代数式的值不是固定的数，它是随着代数式中字母取值的变化而变化．即同一个代数式在所含字母取不同值时的代数式的值是不相同的．

（2）代数式里的字母可以取不同的值，但所取的值必须使代数式和它所表示的实际量有意义．

（3）代数式中的字母各取一个确定的数时，代数式的值才随之确定．因此，在谈代数式的值时，必须说明这个代数式的值对应于字母的什么值．

（4）给出一个含字母的代数式的值，求另一个代数式的值．此类问题仍然属于求代数式的值的问题，求值时一般需要对给出的代数式或求值的代数式先进行适当变形．

（5）同一个字母在不同的代数式中代表不同的含义，即使取值相同，也不一定能使代数式的值一样．

2．求代数式的值

求代数式的值的一般步骤：

（1）代入

代数式里有多个字母时，代入值时不要混淆，若这一步出错，后面的计算是徒劳的．“代入”是一个重要步骤，必须规范书写：①写明字母的取值，即“当……时”；②写明所要求值的代数式．如：当a＝1时，求a²－1的值．代入时应写成当a＝1时，a²－1＝1¹－1．

这样写可完整体现代数式指明的运算顺序，也便于检查．

（2）计算

运算时，要分清运算的种类，还要注意运算的顺序．

注意：将数字代入字母过程中，有时要适当地加入运算符号或括号，如数字间相乘要加入乘号，当幂的底数是分数、负数时，它的底数一定要加括号．

【典型例题精讲与规律、方法、技巧总结】

例1　求代数式2a³＋3a²＋a－1的值．

（1）a＝2；

（2）；

（3）a＝1.5．

解题策略：求代数式的值分两步进行：（1）代入；（2）计算．

解：（1）当a＝2时，

2a³＋3a²＋a－1＝2×2³＋3×2²＋2－1＝2×8＋3×4＋2－1＝16＋12＋2－1＝29

（2）当时，

（3）当a＝1.5时，

注意：（1）代入数值时，原来的运算符号和数字不能改变；数字间相乘，原来省略的乘号要重新添上；如果数值是负数或分数时，应主动添加括号．（2）计算中遇到小数的乘方，通常采取将小数转化为分数的形式再计算．结果是分数的话应是最简分数．

例2　当a＝2，b＝-1，c＝-3时，求下列各代数式的值：

（1）b²－4ac；

（2）a²＋b²＋c²＋2ab＋2bc＋2ac；

（3）（a＋b＋c）²．

解题策略：求三个式子的值，按求值的方法就应当是将a、b、c的值代入代数式，再按照代数式的运算顺序得到结果．

解：（1）当a＝2，b＝-1，c＝-3时，

b²－4ac＝（-1）²－4×2×（-3）＝1＋24＝25

（2）当a＝2，b＝-1，c＝-3时，

（3）当a＝2，b＝-1，c＝-3时，

注意：代数式含有三个字母，可强调代入时一定要按照顺序进行，不要代错；代入之后，则要强调运算的顺序：在有括号的情况下，先进行括号内的运算；在进行括号内的运算时，则应遵循先乘除后加减的规定．

例3　挖一条长为x的水渠，渠道的横断面是等腰梯形，如图9-9，梯形的底分别为a、b，水渠深h，若x＝200m，a＝6m，b＝4m，h＝1.5m．求挖这条水渠的土方量．

图9-9

解题策略：求水渠的土方量，即求体积，体积＝底面积×高．这里即是等腰梯形的面积×水渠的长度．

解：水渠的土方量．

当x＝200m，a＝6m，b＝4m，h＝1.5m时，

．

答：挖这条水渠的土方量为1500m³．

注意：对于实际问题，首先应认真审题，弄清意思，再来解决问题．

【知识联系与拓展】

例4　某企业去年的年产值是a亿元，今年比去年增长了10％，如果明年还能按这个速度增长，请你预测一下，该企业明年的年产值将能达到多少亿元？如果去年的年产值是2亿元，那么明年的年产值是多少亿元？

解题策略：这是一道应用题，首先应该搞清楚其中的数据的数量关系．

解：由题意可得，今年的年产值为a·（1＋10％）亿元，于是明年的年产值为a·（1＋10％）·（1＋10％）＝1.21a（亿元）．

若去年的年产值为2亿元，即当a＝2亿元时，则明年的年产值为

1.21a＝1.21×2＝2.42（亿元）

答：该企业明年的年产值能达到1.21a亿元，由去年的年产值是2亿元，可以预计明年的年产值是2.42亿元．

注意：（1）代数式的值是由代数式里字母所取值的确定而确定的；

（2）代数式在取值时，应当使代数式所表示的实际数量有意义．

例5　已知，求代数式的值．

解题策略：本题由于不知道x、y的值是多少，所以只能采用整体代入，与互为倒数，所以，再将，代入代数式即可求出代数式的值．

解：由可知，

注意：遇到已知条件中没有告诉每个字母的值，就应考虑整体代入求值，这是求代数式的值的一种常见方法．

【历届中考题解析与注意的问题】

例6　当a＝-1时，代数式（a＋1）²＋a（a－3）的值为（　　）

A．-4

B．4

C．-2

D．2

解：选B．

注意：要保证计算的正确性．

例7　当x＝1时，代数式px³＋qx＋1的值是2001，则当x＝-1时，代数式px³＋qx＋1的值为（　　）

A．-1999

B．-2000

C．-2001

D．1999

解题策略：当x＝1时，px³＋qx＝p＋q，当x＝-1，px³＋qx＝-p－q，两者互为相反数．

当x＝1时，代数式px³＋qx＋1的值是2001，所以p＋q＝2000，-p－q＝-2000．

当x＝-1时，代数式px³＋qx＋1＝-2000＋1＝-1999．

解：选A．

注意：要善于灵活处理问题．

例8　为了刺激消费，有关部门规定，私人购买耐用消费品，不超过其价格的50％的款项可以用抵押的方式向银行贷款，蒋老师欲购买一辆轿车．他现在的全部积蓄为p元，只够购车款的60％，则应贷款多少元？若p＝6万元，则应贷多少钱？

解题策略：此问题的关键是用p表示购车款，由积蓄是购车款的60％这一关系不难得出．再由贷款额＝购车款－积蓄即可求出．

解：购车款＝，

贷款额＝购车款－积蓄＝．

当p＝6万元时，（万元）

答：应贷款元，若p＝6万元，则应贷4万元．

注意：解决实际问题的关键是弄清数量之间的关系．

【知识结构框图表解】

【本节解读】

整式是最简单、最基本的代数式，是进一步学习数学的基础．本节主要是概念的学习，要正确理解单项式、单项式的系数、单项式的次数、多项式、多项式的项、多项式的次数、整式等含义．要重视数学概念的学习．

【基础知识详解与要点点拨】

1．单项式

（1）单项式的含义

由数与字母的积或字母与字母的积组成的代数式叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．

如：代数式3a，-mn，x²，-abx，4x³，2，a，它们都是单项式．

（2）单项式的系数

单项式中的数字因数叫做单项式的系数．

（3）单项式的次数

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．

例如：2a是2与字母a的积，字母a的指数是1，所以单项式2a的系数是2，次数是1．

-mn可以看作是-1·mn，是-1与mn的积，所以单项式-mn的系数是-1，次数是2．

注意：①关于单项式的系数，学习中要注意：系数要包括前面的符号；系数是1或-1时，通常省略不写．

②关于单项式的次数，学习中要注意：当字母的指数是1时，“1”通常省略不写；对于不含字母的非0数，如-2，0.5，等，这些单项式叫“零次单项式”．

2．多项式

（1）多项式的含义

几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．

如代数式：2a＋b，2x²－3x＋2，4m³－3n³－2m＋2n都是多项式．其中2x²－3x＋2可以看成单项式2x²，-3x，2的和，4m³－3n³－2m＋2n可以看成是4m³，-3n³，-2m，2n的和．

（2）多项式的项

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．其中不含字母的项叫做常数项．

如多项式2x²－3x＋2共有三项，分别是2x²，-3x，2．其中第二项是“-3x”，而不能说成是“3x”，2是常数项．

注意：在确定多项式的项时，要特别注意项的符号．

（3）多项式的次数

多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数．例如：2a＋b是一次二项式；2x²－3x＋2是二次三项式；4m³－3n³－2m＋2n是三次四项式．

注意：多项式的次数的概念要正确理解，是指最高次项的次数，而不是指多项式中所有字母指数的和，要与求单项式的次数区分开．

（4）多项式的排列

由于多项式是几个单项式的和，所以可以用加法交换律与结合律交换多项式中各项的位置．为了计算方便，一般是把一个多项式按照其中某一个字母的指数大小顺序排列．

把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．如：多项式5x³y－y⁴－3xy³＋2x²y²－7按y的升幂排列为-7＋5x³y＋2x²y²－3xy³－y⁴．把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．如：多项式5x³y－y⁴－3xy³＋2x²y²－7按y的降幂排列为-y⁴－3xy³＋2x²y²＋5x³y－7．单项式和多项式统称整式．其中单项式只允许含有乘法以及以数字为除数的除法运算；多项式中必须含有加法或减法运算，但不能有以字母为除式的除法运算．

由此可见，单项式中不含加或减法运算，而多项式必须含有加或减法运算，这是二者的最明显区别．

【典型例题精讲与规律、方法、技巧总结】

例1　下列代数式中，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式？

解题策略：可以根据单项式、多项式与整式的意义加以区分．

解：单项式有：、3x²y、abc、；

多项式有：、、2a＋1、、3x²－2x＋1；

整式：除外，其余都是整式．

注意：不是单项式，因为单项式只含有乘法运算或数字作除数的除法运算．可写成，因此是多项式．单个的字母、数字都是单项式．

例2　指出下列各单项式的系数和次数：

解题策略：根据单项式的次数和系数的意义来确定．

解：的系数是，次数是2；

的系数是，次数是3次；

a的系数是1，次数是1次；

的系数是，次数是7次．

注意：此类练习须注意几点：（1）单个字母的次数是1而不是0次．（2）单独一个数的单项式是零次单项式．（3）是一个分数，π是一个无限不循环的分数，、π都是数字因数，所以是单项式的系数．（4）系数的符号是单项式的一部分，系数是1或-1时，“1”一般省略不写．

例3　多项式5y⁴－x⁴＋3x³y－xy²－5x²y³是几次几项式？并按字母x的降幂排列和字母y的升幂排列．

解题策略：可根据多项式的次数的意义进行解答．

解：多项式5y⁴－x⁴＋3x³y－xy²－5x²y³是五次五项式．

按字母x的降幂排列：-x⁴＋3x³y－5x²y³－xy²＋5y⁴．

按字母y的升幂排列：-x⁴＋3x³y－xy²－5x²y³＋5y⁴．

注意：（1）5y⁴不含有x，视为常数项，因此5y⁴是关于x的最低次项；类似地x⁴是关于y的最低次项．（2）多项式中的项是包括它前面的符号的，变更项的位置时连同它前面的符号一起移动．如果原来的第一项省略性质符号“＋”，移到后面时就应补上“＋”号，如果原来中间项移到第一项而性质符号是“＋”也可省略“＋”，但性质符号“－”不能省略．含有两个（或多个）字母的多项式，按某一字母排列时，只按这个字母的指数排列，没有这个字母的项，若按降幂排列，则排在最后一项，若按升幂排列排在第一项．

【知识联系与拓展】

例4　x＝2时，多项式ax³－bx＋1的值等于-17，那么当x＝-1时，多项式12ax－3bx³＋5的值等于多少？为什么？

解题策略：分别把数字代入字母后，再观察相互间的联系．

解：因为x＝2时，多项式ax³－bx＋1的值等于-17，

所以a×2³－b×2＋1＝-17，即4a－b＝-9．

当x＝-1时，多项式12ax－3bx³＋5＝-12a＋3b＋5＝-3（4a－b）＋5＝27＋5＝32．

注意：单个的字母求不出时，常考虑整体代入．

例5　若多项式6x^n＋2－x^2－n＋2是三次三项式，求代数式n²－2n＋1的值．

解题策略：多项式6x^n＋2－x^2－n＋2是三次三项式，但最高次项有两种可能，可能是6x^n＋2也可能是-x^2－n，所以本题要分类讨论．

解：（1）当6x^n＋2是最高次项，则n＋2＝3，n＝1，

n²－2n＋1＝1²－2＋1＝0；

（2）当-x^2－n是最高次项，则2－n＝3，n＝-1，

n²－2n＋1＝（-1）²－2×（-1）＋1＝4．

所以n²－2n＋1的值为0或4．

注意：多项式的次数的概念要正确理解，是指最高次项的次数．

【历届中考题解析与注意的问题】

例6　把代数式2a²b²c和a³b²的共同点填在下列横线上：如都是整式．（1）都是______式，（2）都是______式．

解题策略：根据单项式及单项式的次数的含义进行解答．

解：（1）单项式

（2）五次单项式

注意：正确理解单项式的次数的概念，即所有字母的指数的和．