图形的平移

【本节解读】

平移是图形运动的一种基本形式，是现实生活中广泛存在的现象．本节内容主要涉及：生活中的平移、平移的特征、简单的平移图形几个部分．

【基础知识详解与要点点拨】

1．平移：将图形上的所有的点都按照某个方向作相同距离的位置移动，叫做图形的平移运动．简称为平移．在平移的过程中，它不改变图形的形状和大小，只是位置发生了改变．

2．图形的平移实质上是图形上的每一个点都沿同一个方向移动了相同的距离．

3．决定平移的两个要素：平移的方向与平移的距离．平移的方向是指图形上的各个点平移的方向．图形上各点平移的距离就是这个图形平移的距离．如图11-1，△ABC平移到△A′B′C′的方向可以说是点A运动到点A′的方向，也可以说是点B运动到点B′（点C运动到点C′）的方向．△ABC平移到△A′B′C′的距离可以说是线段AA′的长度，也可以说是线段BB′的长度或线段CC′的长度．

4．图形的平移中有关对应点、对应线段、对应角是按图形平移的位置来判断与确定的．如下图11-1所示，根据△ABC平移到△A′B′C′的位置可以发现，点A的对应点是点A′，点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′．根据启示，你能指出图中线段AB、BC、CA的对应线段吗？能找出∠ABC、∠ACB、∠BAC的对应角吗？

图11-1

依图可知：线段AB、BC、CA的对应线段分别是线段A′B′、B′C′、C′A′，∠ABC、∠ACB、∠BAC的对应角分别是∠A′B′C′、∠A′C′B′、∠B′A′C′．

【典型例题精讲与规律方法、技巧总结】

例1　下列运动形式不是平移的是（　　）

①农村中的辘轳上水桶的升降

②电梯上人的升降

③火车在平直的轨道上的运动

④钟表上的指针运动

⑤奥运五环旗（不考虑颜色）的形成过程

⑥电风扇的转动

A．①②

B．③④

C．④⑥

D．③⑤

解题策略：①中水桶的升降可以看做是水桶上下平移运动，②中电梯上人的升降亦可看作是人在上下平行移动，⑤中图案可以看做是其中一个圆环沿着某个方向平行移动而形成，⑥中电风扇转动可以看做是扇叶绕着其轴心作旋转运动．

解：选C．

注意：平移是指物体（图形）的平行移动．

例2　如图11-2所示，下列四个图②③④⑤中图案__________可以由图案①平移得到．

图11-2

A．②

B．③

C．④

D．⑤

解题策略：图形的平移是位置发生改变，形状和大小亦无变化．分析图中②③④⑤中四个图形只有第⑤个图形符合要求．

解：选D．

例3　如图11-3所示，四边形ABCD沿着AA′方向平移到四边形A′B′C′D′．则

（1）点A的对应点是____________，点B的对应点是__________；

（2）线段AB的对应线段是__________，∠DAB的对应角是__________．

（3）四边形ADD′A′沿着D′C′平移到四边形________，四边形ABB′A′沿着________方向平移到__________．

图11-3

解题策略：图形平移前后对应关系及平移方式是平移的一个重要内容，解决这些问题的关键是找出平移的方向及平移的距离．

解：（1）A′，B′　（2）A′B′，∠D′A′B′　（3）BCC′B′，AD（A′D′），DCC′D′

例4　如图11-4所示，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是在边AB、BC、CA上，且DE、EF、FD把△ABC分成四个完全相同的等边三角形．请问：若把△BDE看作是由△ADF平移得来的，其平移的方向与距离是什么？

图11-4

解题策略：寻找平移的方向与平移的距离关键是弄清是由谁平移得到的，可以将图形中的某一点进行分析，看其怎样变化．

解：平移的方向是点A到点D的方向，平移的距离是线段AD的长度．

【知识联系与拓展】

例5　如图11-5，关于△ABC与△A′B′C′说法不正确的是（　　）

A．将△ABC先向右平移4格，再向上平移1格后能得到△A′B′C′

B．将△ABC先向上平移1格，再向右平移4格后能得到△A′B′C′

C．将△A′B′C′先向下平移1格，再向左平移4格后得到△ABC

D．将△A′B′C′向左平移5格，再向下平移1格后可以得到△ABC

图11-5

分析：图形平移的关键，看准图形，选择相对应的线段进行分析，从而找出整个图形的平移规律，而后从其他对应线段进行检验，达到准确地判断图形的平移规律．

解：选D．

例6　一艘轮船以15海里／时的速度，离开港口向北偏西45°的方向航行，如图11-6所示．画出一小时后小船的位置，并在图中指明平移的方向，说出平移的距离．

图11-6

分析：平移的方向是指小船运动的方向，而平移的距离是小船航行的路程．

解：平移的距离为15海里．

例7　如图11-7，长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm，试问将长方形沿着AB方向平移多少才能使平移后的长方形与原来的长方形ABCD重叠部分的面积为24cm²．

图11-7

分析：不妨设平移后的长方形为EFGH，如图11-7所示，根据平移的特点，四点D、H、C、G在同一条直线上，四点A、E、B、F在另一条直线上，则长方形EBCH即为重叠部分．由S_{长方形EBCH}＝EB×BC＝24，可得．从而AE＝AB－EB＝9．

解：平移9cm．

注意：（1）抓住图形在平移过程中的不变量．

（2）注意知识的综合运用．本题可用方程的知识来解决，设平移的距离为xcm，由题意有8（12－x）＝24．解得x＝9cm．在平移的问题中，同样要灵活运用有关代数知识或其他几何知识．