【本节解读】
图形的旋转，是图形运动的又一种基本形式，广泛应用于我们的日常生活，它是我们认识与描述物体的形状和位置关系的必要手段，而且也是我们解决现实生活中的具体问题、进行数学交流的重要工具，与平移一样是一个比较重要的内容．在本节中我们主要探究图形的旋转、旋转的特征及旋转对称图形及中心对称图形和中心对称的有关知识．
【基础知识详解与要点点拨】
1．旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心．
2．某个图形经过旋转，图形上的每一个点都绕着旋转中心沿着相同的方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，即图形旋转的特征是：图形的形状与大小都没有发生变化，图形中每一个点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度（旋转角相同）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等．
3．（1）旋转作图的依据：图形上每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度．对应点到旋转中心的距离相等．这既是旋转的基本规律也是我们旋转作图的依据．像平移的作图一样，对于旋转作图，我们同样应先确定图形的“关键点”，以局部带动整体进行旋转．
（2）旋转作图的步骤：
①确定旋转中心及旋转方向、旋转角．
②找出表示图形的关键点．
③将图形的关键点与旋转中心联结起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一个旋转角，得到此关键点的对应点．
④按原图形顺序联结这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形．
因此确定一个图形旋转后位置所需条件是：图形原来的位置、旋转方向和旋转角的大小．
【典型例题精讲与规律方法、技巧总结】
例1 下列运动形式属于旋转的是（ ）
A．运动过程中篮球的滚动
B．钟表上钟摆的摆动
C．气球升空的运动
D．一个图形沿某条直线对折的过程
解题策略：旋转是指物体（图形）绕着一点的旋转运动，考察这个选项中的运动形式，只有钟摆的摆动符合条件．
解：选B．
例2 △ABC如图11-8所示，则下面四个图形中哪个图形是由它经旋转得到的．
图11-8
解题策略：图形的旋转受旋转中心与旋转角度决定，图形在旋转过程中，形状大小不变，只是位置发生了改变，在旋转的过程中注意考虑旋转前后的对应关系，分析给出四个选项．可以发现只有A选项符合条件．
解：选A．
例3 如图11-9所示△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝45°，△AEC按顺时针方向旋转一个角后成△AFB．则（1）图中点__________是旋转中心；（2）旋转角是________，其度数为________；（3）试写出图中的对应点、对应角和对应线段．
图11-9
解题策略：图形旋转前后的对应关系是旋转中的重点内容，解决这个问题的关键是抓住旋转中心、旋转方向及旋转角度．
解：（1）A （2）∠BAC，90° （3）图中的对应点是A→A，B→C，F→E，对应线段是AB→AC，AF→AE，BF→EC，对应角是∠FAB→∠CAE，∠F→∠AEC，∠ABF→∠C．
例4 如图11-10所示，在正方形ABCD中，E是正方形内一点，把△AED绕点A按逆时针方向旋转90°，得到旋转后的三角形，观察并回答：
（1）图中有哪些相等的线段与相等的角？
（2）哪两个三角形的形状大小一样？
图11-10
解题策略：图形旋转是将一个图形某一点按一定的方向旋转到一个角度后到达另一位置，在这个运动过程中，图形的形状大小都没有变化，只有位置发生变化且对应线段相等、对应角相等．旋转前后的两个图形能完全重合，在本例中，△ABE′是由△ADE按题目指定的方式旋转而得到的，那么图形中相等的线段、相等的角等成立结论就不难寻找了．
解：（1）相等的线段有：AB＝AD＝DC＝CB；AE＝AE′；DE＝BE′．相等的角有：∠E＝∠E′；∠EDA＝∠E′BA；∠DAE＝∠BAE′（除直角） （2）△AED和△AE′B形状大小相等．
例5 如图11-11作出△ABC绕点O顺时针方向旋转60°后的三角形．
图11-11
解题策略：在利用旋转的基本特征作图时注意：
（1）旋转中心到对应点的距离相等；
（2）旋转角度；
（3）旋转方向．
解：如图11-12：（1）联结OA、OB、OC．
（2）分别以OA、OB、OC为一边按顺时针方向作∠AOD、∠BOE、∠COF，使得∠AOD＝∠BOE＝∠COF＝60°．
（3）分别在射线OD、OE、OF上截取OD＝OA、OE＝OB、OF＝OC．
（4）联结DE、EF、FD．
△DEF就是△ABC绕点O顺时针方向旋转60°后的三角形．
图11-12
【知识联系与拓展】
例6 如图11-13所示，仔细观察它是由哪个基本图形通过旋转而得到的；旋转中心在哪里？旋转多少度？由本题的启示，分析图11-14中的旋转现象．
图11-13
图11-14
分析：图形的分析要抓住图形的组成方式及运动形式．图11-13中是由六个形状大小完全相同的菱形组成的，可看作是由其中的一个菱形绕着它的锐角顶点，按同一个锐角顶点，按同一方向连续旋转60°，120°，180°，240°和300°形成．图11-14也是同样的道理．
例7 同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的．如图11-15是看到的万花筒的一个图案，图中所有的小三角形均是全等的等边三角形，其中的菱形AEFG可以看成是菱形ABCD以A为中心（ ）
A．顺时针旋转60°得到
B．顺时针旋转120°得到
C．逆时针旋转60°得到
D．逆时针旋转120°得到
图11-15
分析：本题关键是找准对应点及旋转角．
本题的旋转角为∠GAD、∠EAB
解：选D．
例8 钟表是我们的日常生活用品之一，它的时针、分针、秒针每时每刻发生着旋转：
（1）指出它的旋转中心．
（2）钟表上8点15时，时针与分针所夹的角度是多少？
分析：（1）它的旋转中心是钟表的轴心；（2）在钟表上，分针每分钟转6°，时针转
．故从8点整算起，分针走了15分钟，转了15×6°＝90°，时针旋转了
．所以时针与分针的夹角为（8－3）×30°＋7°30′＝157°30′．
【基础知识详解与要点点拨】
1．旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形．这个定点叫做旋转对称中心．旋转的角度叫做旋转角（旋转角0＜α＜360°）．
2．中心对称图形：如果把一个图形绕着一个定点旋转180°后，与初始图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
3．中心对称图形是特殊旋转对称图形，它的旋转角只能是180°，而旋转对称图形的旋转角在0＜α＜360°之间均可．
4．旋转对称图形和中心对称图形研究的是一个图形，是指一个图形的两个部分之间的关系．
【典型例题精讲与规律、方法、技巧总结】
例1 下列图形中是旋转对称图形的是（ ），如图11-16所示．
图11-16
解题策略：本题考查的是旋转对称图形的识别．在分析时，注意所给图形是否存在一点，将该图形绕该点旋转一定角度后，旋转后的图形能否与原图形重合，分析这四个选项中只有A、D选项所示图形能与绕其中心旋转90°后的图形重合．
解：选A、D．
例2 线段、角、三角形、平行四边形、长方形、正方形、圆是中心对称图形吗？如果是，那么对称中心在哪里？
解题策略：中心对称图形是对一个图形而言的，是指一个图形的两个部分之间的关系，中心对称图形的对称点在一个图形上．如果能找到这样的一个点，经过旋转180°后能与原图形重合，那这个图形就是中心对称图形．
解：角、三角形不是中心对称图形，线段、平行四边形、长方形、正方形、圆都是中心对称图形．线段的中点是它的对称中心，平行四边形、长方形、正方形的对角线的交点是它的对称中心，圆的圆心是它的对称中心．
例3 下列四幅图形（图11-17）都是旋转对称图形，其中一个与其他三个不同的是（ ）
图11-17
解题策略：既然以上四个图形都是旋转对称图形，并从中找出不同的一个，那么我们只能从旋转角度上去寻找，A、B、C可以绕一点旋转60°，120°，180°，240°，300°，360°后能与自身重合．而D可以围绕一点旋转90°，180°，270°，360°也能与其本身重合，因此可见旋转角度不同．
解：选D．
【知识联系与拓展】
例4 如图11-18所示的风车叶片中，是中心对称图形的有（ ）
图11-18
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
分析：旋转对称图形与中心对称图形的区分之一，容易将旋转对称图形与中心对称图形混淆，解此类问题时，应抓住概念的含义，旋转对称图形的特点是将一个图形绕某一点旋转一个角度（可以不是180°）能与自身重合，这样的图形即为旋转对称图形．如等边三角形、五角星，而中心对称图形一定要绕旋转中心旋转180°才能与自身重合，这样的图形才是中心对称图形．故选C．
例5 有四个图形分别至少旋转下列角度才能与自身重合，则其中不可能是中心对称图形的是（ ）
A．15°
B．18°
C．45°
D．48°
分析：如果一个旋转对称图形至少旋转α度才能与自身重合，且α的某一整数倍等于180°，则它是中心对称图形，否则不是．故选D．
【基础知识详解与要点点拨】
1．把一个图形绕着一个定点旋转180°后，和另一个图形重合．那么叫做这两个图形关于这点对称，也叫做中心对称．这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
2．中心对称是旋转对称的特例．关于中心对称的两个图形能完全重合．关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心并且被对称中心平分．关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在一条直线上）且相等；反过来，如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点并且被该点平分，那么这两个图形一定关于这点成中心对称．这给我们提供了判断某两个图形是否成中心对称的方法．
3．中心对称与中心对称图形的区别与联系．
中心对称是对两个图形而言，指两个图形间的关系，而中心对称图形是对一个图形而言的，指一个图形的两个部分之间的关系．成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上．若把中心对称图形的两个部分看成两个图形，则它们成中心对称．若把中心对称图形的两个图形看作一个整体，则成中心对称图形．
【典型例题精讲与规律、方法、技巧总结】
例1 如图11-19所示，△ABC与△A′B′C′成中心对称吗？若是，请指明对称中心，并回答．
（1）点A的对称点是__________．点B的对称点是____________．（2）点A、O、A′三点共线吗？若是，还有其他三点共线吗？（3）AO与OA′相等吗？若相等是否还有相等的线段？
图11-19
解题策略：根据中心对称的特征及识别方法．可以从以下几个方面考虑．
（1）对称中心是对称点连续的中点．
（2）成中心对称的两个图形能完全重合．
（3）寻找两个成中心对称图形的对称中心的方法是：联结两个图形中所有对应点相交于一点即为对称中心．
（4）判断两个图形是否成中心对称，方法是：联结两个图形的对应点线段是否经过同一点，并且被该点平分．
解：（1）A′；B′
（2）点A、O、A′三点共线；有，如B、O、B′与C、O、C
（3）AO＝OA′，其他相等的线段为BO＝BO′，CO＝CO′，AB＝A′B′，BC＝B′C′，CA＝C′A′；并且还有△ABC与△A′B′C′能完全重合．
例2 如图11-20所示，已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′为中心对称图形．求出它们的对称中心．
图11-20
解题策略：已知两个图形是中心对称图形，并且图形的对应线段、对应角比较明显，可以通过直接观察的方法来找对应点，如果直观观察不明显，就只好用尺规测量的方法来找对应点了．
解：联结任意两对对应点的连线的交点O，就是它们的对称中心，如图11-21．
图11-21
例3 如图11-22所示，已知△ABC和点O，画△A′B′C′使它与已知△ABC关于点O成中心对称．
图11-22
解题策略：（1）联结AO并延长到A′，使OA′＝OA，得到点A的对称点A′．（2）同样画出B、C的对称点B′、C．（3）顺次联结A′、B′、C各点．△A′B′C′即为所求图形，如图11-23．
图11-23
【知识联系与拓展】
例4 如图11-24所示，在网格中，不用量角器和刻度尺，画出已知图形关于O点的中心对称图形．
图11-24
分析：网格类的题目只能靠图形（线段）所占格的数目来比较长度了．
解：如图11-25所示．
图11-25
例5 在数轴上表示2和-2的两点关于原点成中心对称，那么3≤x≤5所在的区域关于原点对称的区域是什么？在数轴上表示出来．
分析：3关于原点对称的点是-3，5关于原点对称的点是-5，所以3≤x≤5所在的区域关于原点的对称的区域是-5≤x≤-3．
解：区域是-5≤x≤-3，在数轴上如图11-26所示．
图11-26
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