方为负的数学概念

第七章　数学概说

大致可以说：数学就是有关数的学科。

—数的分析—

数有许多种，例如1234567890，还有1.5、6.5等，等，这些数的一个共同特点是含有阿拉伯数字，这也是几乎所有数的共同特点。不过有些数比较特殊，它们并不含有阿拉伯数字，例如∞，即“无穷大”，它也可以被看作是一个特殊的数。

这些数的形态差别很大，可以分成许多种类。

最简单的数当然是1234567890这10个最基本的阿拉伯数字——它们其实是印度人发明的，不过由阿拉伯人传入欧洲而已。由这10个阿拉伯数字直接组成的数都叫作“自然数”，例如125、98642等，无论多大，哪怕有一万位，只要中间没插进别的符号，就都是自然数。

自然数又叫正整数，除了正整数外，另外还有负整数，就是在自然数前面加个“－”号，例如－125、－98642等。正整数与负整数合在一起就叫整数了。

与整数对应的是分数。

分数就是带分号的数了，像等，上面的部分叫分子，下面的部分叫分母。作为分数的一个基本条件是分子与分母都必须是整数，而且分母不能为0。

整数与分数合起来还有另一个称呼，就是有理数。

与有理数相对的当然是无理数了。

这时候我们要引进另一个概念：小数。

小数就是带小数点的数了，例如1.889、7.97223等。我们前面讲过的各种数，包括有理数和无理数，实际上都可以用小数来表示。例如可以在任何整数后面加个小数点，再在后面加个0，这个整数就变成小数了。所有的分数都可以表示成小数，只要用分母除以分子就是了。

小数又可以分成两种，即有限小数和无限小数。前者指位数有限的小数，像1.889、7.97223就是，不管后面有多少位，哪怕一万位，只要有个尽头，就是有限小数。但有的小数却不如此，例如我们将变成小数就是3.3333333……，后面可以有无限个3。这样的小数就是无限小数了。

无限小数又可以分成两种：一种是小数点后面虽然有无限个数字，但这些数字是有规律地循环往复的，例如上面的3.3333333333……就是这样，这就叫做无限循环小数，但还有的，后面也有无限位，但却没有任何规律可言，永远不会循环，这就叫作无限不循环小数了，例如、π就是这样，π我们知道，它就是3.1415926……无限下去，数字永远没有有规律的重复。

这些无限不循环小数有另一个名字——无理数。

容易看出来，无论有理数或者无理数，都可以小数来表示。

有理数与无理数合起来还有一个名字，就是实数。

我们知道，就是说这个数的平方等于－1，根据数的基本原则，包括负数在内的任何实数的平方都是正数，这就是所谓负负得正。但现在却凭空里钻出个平方为负的数来，这样的数在一般的观念里显然是不存在的，它是虚无缥缈的，因此就称为虚数了。

那么，在实数与复数之外还有没有别的数呢？至少现在还没有，或者说数学家们还没有规定。这样，数就是实数与复数的合称了，即：实数＋复数＝数。数学就是有关此数的学问。

以上我们大概地讨论了有哪些种类的数，数学的研究对象就是这些数。不过，仅仅这些数并不是数学研究的所有对象，最明显的例子就是几何了，那里有许多抽象的图形，例如没有体积的点、没有宽度的直线、没有厚度的面等。数与图形结合起来就构成数学的另一个大分支几何学。

那么，是不是有了几何图形和数就构成了数学研究的所有对象呢？还不是，因为几乎所有实际存在的事物都可能成为数学研究的对象，而且，数学的研究对象还要超越于实际的事物，例如抽象的几何图形或者数字等这些在自然界并不存在的事物，也是数学研究的对象。

后面这种性质乃是数学最根本的特性之一，也是它与其他一切门类的自然科学最大的区别。其他一切门类的自然科学，无论是物理学、化学、生物学、天文学、地理学、地质学等，所研究的都是实际存在的万事万物，而数学所研究的恰恰不是这些，而是抽象的数字与图形。即使它们研究实际存在的物体，例如一个皮球，它所研究的也是这皮球的一些抽象性质，例如体积、重量等，而且，在做着这样的研究时，它也并不是将皮球看作是一个皮球，而是看作一个抽象的几何体——球体，至于它的体积与重量等具体的性质，则是物理学研究的对象了。这个意思也可以用一句哲学味的话儿来说：数学研究的是事物纯粹的形式。

这里就凸显了数学与自然万物及其他自然科学门类之间的区别了——它源自自然，又超越自然；它与其他各门自然科学密切相关，又超越于它！

—数学的构成—

一般来说，数学包括三大分支：代数学、几何学与分析学。

—代数学与数论—

代数学是数学的第一个分支，也是它最基本的内容。

代数学最基本的内容就是算术。算术研究数最基本的性质、种类及最基本的运算，但这些数中不包括复数。

数最基本的运算就是用具体、有限的数字，例如正数、负数、小数等具体的数进行加减乘除等四则运算，它的运算次数是有限的，并且有确定的结果。算术是数学其他复杂多样的内容的原始基础。

在算术之上是初等代数，它是用数字和字母进行代数运算的理论与方法。代数运算除了加减乘除四则运算外，还包括乘方、立方、开方等。参加运算的也包括了所有的数，即实数和复数。

与算术比起来，初等代数最基本的特征是在其代数式中引入了变数，也就是用某个字母来代替某个未知的数，如x，所代替的数可以是一个，也可以是若干个。

这种引入了字母的代数式用另一个我们熟悉的词来表达，就是方程。例如3x＋6＝9就是一个方程。

方程与解方程可以很简单，也可以很复杂。简单者如上面的一元一次方程，复杂者则可以是非常高深的数学，如群和域都是与方程紧密联系在一起的，群就是为了求解高次方程而创立的，不过这些内容就不属于初等代数了，而属于近世代数。

近世代数主要是由一个叫伽罗瓦的法国数学家创立的，他也是数学史上最伟大的天才人物之一，只活了20岁，但却引入了群这个堪称近世代数的最基本的概念。近世代数看上去同初等代数完全不同，它非常抽象，也相当难以理解。主要是因为它引入了一些在初等代数中完全不存在的新的概念与十分抽象的结构，像群、域、环等。虽然很难，但用上这些方法之后，我们前面在解方程中遇到的许多难题在这里都只是小菜一碟。这些理论较之初等代数更具有美感，一种数学的独特美感。

数学的一个分支与代数学相似，也有人说它是代数学的一部分，那就是数论。

数论就是有关数的理论。不过它的研究方法与一般代数学的研究方法略有不同，而且考察的往往只是整数。它通常的表现形式是想求得整数的某些性质，这些性质很可能看上去简单，但实际上可能非常复杂。典型者如有关质数的理论。

质数就是除了1和自身外不可能被其他整数整除的数。它在汉语中的另一个名字是素数。如1、3、7、11、13、17、19等。质数的分布有没有规律？有没有一个公式能求出任意大的质数？很早以来数学家们就在苦苦思索这个问题，直到现在也没有找出来。在很可能没有这个公式的前提之下，有没有最大的质数呢，如果没有的话，那么我们能够找到的最大质数是什么？于是许多数学家为了寻找这最大的质数而殚精竭虑。

许多我们所熟悉的数学史上的趣题都属于数论，像众所周知的哥德巴赫猜想。

1742年，一个德国的中学教师哥德巴赫在写给大数学家欧拉的信中提出了后来很著名的哥德巴赫猜想。它可以用两个命题表达：

命题1：每一个大于或等于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和，即所谓的偶数＝（1＋1），如6＝3＋3，20＝3＋17，……。

命题2：每一个大于或等于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和，如9＝3＋3＋3，31＝5＋7＋19，……。

接到这封信后，欧拉回信说，他相信这个猜想是对的，但他不能证明。

正由于许多杰出的数学家想证明之而不能，它便凭空增添了许多魅力，甚至夸张地被尊为“数学皇冠上的明珠”。

中国著名的数学家陈景润就是因将这个猜想的证明推进了一大步而成名的。他在1966年证明“每个大偶数都是一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”，这就是“陈氏定理”。

另一个著名的数论难题是费马大定理。费马也是个业余数学家，但他的成就可是哥德巴赫比都不能比的。除数论外，他对解析几何、微积分都有重大贡献。他提出的“费马大定理”就是：不存在大于2的正整数，使得xⁿ＋yⁿ＝zⁿ成立。费马曾在自己读过的一本书的空白处写道：“我确信我已经发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”但后来怎么也找不到他的证明了。

这种情形一直持续到1995年。这一年，1953年出生于英国的普林斯顿大学数学教授安德鲁·怀斯发表了《模椭圆曲线和费马大定理》。这篇堪称历史性的长篇学术论文厚达100余页，占了著名的数学刊物《数学年刊》第141卷的整卷，最后证明了费马大定理。

—几何学—

几何学简言之就是研究空间及物体在空间中的性质的数学分支。

几何学的一个基本特点是它总与图形相关。

几何学的图形包括直线图形、平面图形、立体图形等，还有解析几何中的坐标、非欧几何中的曲面、拓扑学中复杂的不规则图形等。

几何学的另一个基本特点是在考察其研究对象时所采取的纯粹理想的模式。例如它在探讨直线时，虽然我们看到画在纸上的直线是有一定宽度的，但是对于几何学来说，这种宽度并不存在，直线乃是一种没有宽度、只有长度的特殊的“线”。几何学中的面也是没有厚度的纯粹的面，立体图形虽然看上去有线也有面，但构成面的那些线一样是没有宽度的，构成立体的那些面也是没有厚度的。总之，几何学考察的是一种在自然界中并不存在的、纯粹的、抽象的图形。

几何学的种类很多，我们熟悉的是平面几何、立体几何、解析几何、三角几何等。平面几何是最基础的几何学，研究平面上的几何问题，像平面上的直线、三角形、平行四边形、梯形等几何图形等。立体几何研究的则是立体几何图形，像正方体、长方体、球体、圆锥体、棱形等。解析几何则是一种形式与平面及立体几何很不相同的几何学，它引入了一个新概念：坐标。

坐标有横轴与纵轴，分别称为x轴与y轴，通过它们可以表示各种平面几何图形。图形中每一个点在坐标轴上都可以找到相应的数值与之对应。

由此我们可以看出，解析几何的主要特点是它将几何学中的基本元素点与代数学中的基本元素数结合起来了。

我们也知道，不但几何图形可以通过坐标来表示，方程也可以通过坐标来表示，例如方程y＝3＋x，每一个x的取值与相应的y值都是在坐标上的一个点，这些点就构成了一条直线。

不但直线可以，曲线与曲面同样可以找到对应自己的方程。从这些可以看出来，通过解析几何与坐标，代数与几何得以优美地结合起来。

除平面、立体与解析几何之外，还有许多别的几何学，例如代数几何、投影几何、微分几何等。此外还有一个更重要的、我们应当有所了解的几何学，那就是非欧几何，我们到后面再说。

在代数学与几何学之后，我们本来应该讲分析学的。其核心就是由以集合、映射与函数为基础，由微分与积分组成的微积分。不过由于它比较复杂繁难，并不适合在这里讲，我们只好略过了。