数学是一种文化

关于文化，现代汉语词典上提供了以下三种解释：

1.考古学上指同一历史时期的遗迹、遗物的综合体。同样的工具、用具、制造技术等是同一种文化的特征；

2.人类所创造的财富的总和，特指精神财富，如文学、艺术、教育、科学；

3.运用文字的能力及一般知识。

数学是一种文化，应该属于上述第2种解释的范畴。

为什么说数学是一种文化？《数学教育中的数学文化》将国内众多学者的回答总结为以下这样六条。

第一，数学对象的人为性。

该书中介绍：“从数学的研究对象来看，数学并非是对客观事物或现象量性特性的直接研究，而是通过建构相对独立的‘模式’，并以此为直接对象来进行研究，它是人类抽象思维的产物。”故在此意义上，数学是一种文化。“更重要的是，数学中还有一些概念与真实世界的距离是如此遥远，以至常常被说成是‘思维的自由创造’，如几何中的‘直线’这一概念，它并不是指拉直的绳子也不是用直尺画出来的一条直线，在现实生活中我们找不到它的原型，它是一条经过两点、在空间中无限延伸的线，只能存在于我们的观念中、想象中。这也更为清楚地表明了数学的文化特质。”

数学对象的人为性，在数学的各个角落都可以寻得到踪迹。大到数学的体系，小到数学的符号，一个专有名词等等。

数学的发展是在前人建造的堡垒上不断地添砖加瓦，其本身是一种创造的过程。既然是创造，这便具有人为性。让我们具体来看看欧氏几何的公理体系。欧几里得给出了23个定义、5个公设、5个公理。正因为人为规定了为数不多的几个公理与公设，以这些为起点，于是体系便可以开始演绎，并且可以演绎得如此庞大。

再来看看数学中那么多的符号也是我们人为规定的。规定了i2＝－1，并把i称作虚数单位；莱布尼兹规定了∫为积分符号，并一直沿用至今，它是将符号∑展开拉直的结果……甚至于“代数”这一词也是为纪念花拉子米而创造的。

第二，数学活动的整体性。

关于数学活动的整体性，书中指出主要体现在两方面：“一是数学家构成的数学共同体。不可否认，数学家的研究活动有个体性成分，但它必须符合数学研究的共同规范和准则，只有这样，个体的工作才有可能得到数学共同体的承认，在共同体内才能广泛地交流和互相促进。二是数学内容的系统性。数学好似一棵枝繁叶茂的大树，分支众多，但又是一个和谐的整体。”

这里就数学内容的系统性，举两个例子。

例如，我们分三章学习复数、向量与几何，而它们三者又是一个有机的整体，彼此和谐统一。有一本小册子，是上海教育出版社出版的《复数、向量与几何》，就将这三者统一了起来。

又如，逻辑运算（逻辑思想）的统一。集合中的“交”与“并”的运算，概率中的“事件积”与“事件和”的运算。集合中的运算“补”和概率中的“对立事件”，在逻辑上就有着矛盾律、排中律的统一。

第三，数学发展的历史性。

该书指出：“在数学活动中的整体性意义上可构成数学传统，数学传统反映着数学的历史性，而历史性则是文化的一个重要特征。数学活动只能是在数学传统的继承与变革中求得发展。先人创造的数学知识对于后人来说却是一种文化。因为文化的实质是人的非遗传信息，特别是体外信息。人类的数学知识是非遗传性的体外信息，只有通过学习才能获得。”

我们来看数系的扩充，从自然数到有理数，再到实数，再到复数……每一次数系的扩充都是在继承中发展。再如，函数的概念，在历史上先后进行了多次扩张，也是在继承中不断完善，不断发展。

第四，数学是一种特殊的语言。

1.数学具有自己独一无二的语言系统即数学语言，它是大容量具有发达符号系统的语言体系。

皮亚诺说，在数学中一切进步都是引入符号（表意符号）后的反响。

英国著名数学家罗素说，什么是数学？数学就是符号加逻辑。

数学发展到今天，已然变成了一个符号的世界。数学没有了符号还怎能成为数学？

就拿我们“集合”一章为例。集合的交、并、补、子集、真子集等定义都是通过纯粹的符号来表述的。回顾一下，在这些定义中有几个文字？还有“函数”一章。函数的概念、函数的奇偶性、函数的单调性、函数的周期性、函数的最值等定义，都充分借助了符号，充分体现了数学从符号化逐步走向形式化。

2.数学语言具有准确、精炼的特点，这正是数学科学解释描述方法定量化和思维方法逻辑化的直接反映。

在《费马大定理，一个困惑了世间智者358年的谜》一书中有这样一段话：“需要经过确实无疑的真情才能承认某个结论，对这一点数学家是以其一丝不苟而著称的。伊恩·斯图尔特在《现代数学的观念》一书中讲的一个故事清楚地反映了他们的这种声誉：一个天文学家、一个物理学家和一个数学家（据说）正在苏格兰度假。当他们从火车车厢的窗口向外瞭望时，观察到田地中央有一只黑色的羊。‘多么有趣，’天文学家评论道，‘所有的苏格兰羊都是黑色的！’物理学家对此反驳说：‘不，不！某些苏格兰羊是黑色的！’数学家祈求地凝视着天空，然后吟诵起来：‘在苏格兰至少存在着一块田地，至少有一只羊，这只羊至少有一侧是黑色的。’”

上述这段文字，以幽默的方式，淋漓尽致地为我们展现了数学语言精准、严密的特点。

再举一个例子。我们教学中经常遇到的“任意性问题”和“存在性问题”。这两类问题一直以来都是学生学习的难点。思维障碍的产生是因为思维失去了连贯性、逻辑性和目的性。“任意性”和“存在性”就涉及了思维的逻辑性。只寥寥三个字，有的学生却晕头转向了。所以，每每教师在讲解相关习题的时候，总会把这两个问题同时放在某一个具体问题中，借助于直观图像来解释，以便让学生通过具体的、直观的比较把握这两个非常具有思辨性的问题。

第五，数学的精神品位。

有人认为“数学是理性的艺术”。

罗素曾说，数学具有至高无上的美，正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性微弱的方面，这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。

数学因严谨、抽象确立了其“高傲”的地位。如何让更多的学生也能欣赏品味这阳春白雪着实需要智慧。

第六，文化建构中的数学成分。

《数学教育中的数学文化》中提到：“在诸类文化构建过程中，都不同程度地交融了数学成分，如数学理性对古希腊文化的重大影响，就西方文化传统而论，这种痕迹尤为明显。”如数学中的透视原理在西方文艺复兴时期绘画作品中的运用。

关于数学文化观的萌芽，是始于20世纪60年代，代表人物有美国数学家怀尔德和M·克莱因等。

《数学文化与人类文明》文中提到，19世纪末到20世纪初是数学哲学研究领域的黄金时代，形成了逻辑主义学派、直觉主义学派、集合论公理化学派、形式主义学派等。各学派各有优缺点，但都为数学基础的严密性作出了贡献。然而美国近代著名的数学家、逻辑学家、哲学家哥德尔的研究击破了他们的幻想，曾使数学哲学研究陷入谷底。20世纪60年代，西方提出了数学文化观，从新的立场为数学哲学提出新的观点、新的方法。文中介绍，最早系统地完成这一开创性工作的是怀尔德。他提出了数学作为文化体系的数学哲学观。他从文化生成和发展的理论等角度考察数学，率先提出了数学文化的概念并构建了数学文化的理论体系，形成了很长时期以来出现的第一个成熟的数学哲学观，强调了数学的发展动力、发展规律、思维方式等文化内涵，强调了遗传、环境、人类以及人类文化等对数学的作用影响。

《数学文化赏析》中提到，数学文化作为一种特殊的文化形态，直到20世纪下半叶，才由美国著名的数学史学家M·克莱因在其三本著作《西方文化中的数学》、《古今数学思想》和《数学——确定性的丧失》中进行了比较系统而深刻的阐述，力图营造数学文化的人文色彩。

《数学文化概论》中介绍，数学文化的教学与研究在中国近二三十年的发展，使中国的学者们对数学文化作为一门学科的建设，对数学文化研究的方法及研究的重点领域进行了一些新的探索。数学文化是数学史、数学教育、数学哲学与文化学的交叉领域。它把数学史、数学教育、数学哲学作为一种文化现象进行分析研究。

对于什么是数学文化？学者看法各异。《数学教育中的数学文化》为我们搜罗了以下一些观点。

李铁安认为，从文化的本质和数学的本质来看，数学就是一种文化。数学文化是人类在数学活动中所积累的精神创造的静态结果和所表现的动态过程。其中静态结果包括数学概念、知识、思想、方法等自身存在形式中真、善、美的客观因素；动态过程包括数学家的信念品质、价值判断、审美追求、思维过程等深沉的思想创造因素。而静态过程和动态过程以及它们所包含的各个因素之间的交互作用，构成了庞大的数学文化系统。

顾沛认为，数学文化是指数学的思想、精神、方法、观点以及它们的形成和发展。广泛些说，除上述内涵以外，还包含数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分、数学与社会的关系、数学与各种文化的关系，等等。

黄秦安认为，在现代意义下，数学文化作为一种基本的文化形态，是属于科学文化范畴的。从系统的观点看，数学文化可以表述为以数学科学体系为核心，以数学的思想、精神、知识、方法、技术、理论等所辐射的相关文化领域为有机组成部分的一个具有强大精神与物质功能的动态系统。其基本要素是数学各个分支领域及与之相关的各种文化对象、各门自然科学、几乎所有的人文社会科学和广泛的社会生活。

刘朝晖认为，数学文化的基本内涵主要包含以下几方面：（1）物质形态。人类在探索数学世界的过程中必须借助一定的工具和设备。（2）精神形态。数学中也蕴含着数学家的道德观念、情感态度、内心信念和价值体系，而且数学本身也蕴含着理性精神。（3）知识形态。人类在探索数学世界的过程中，建立了数学概念，发现了数学规律，构建了数学理论，并用专门的语言和符号表达出来。这就构成了一个综合的数学知识系统。这是人类认识世界的数学劳动与智慧的结晶，是数学文化的知识形态。（4）组织形态。人们在从事数学活动的过程中构成了一个特殊的群体——数学共同体，这个共同体包括一切从事与数学相关的活动的社会群体及其活动和活动方式。