以品读名家之言收尾的“对一道数列填空题的研究性学习”

策略：品读

教学片段：

这里介绍这节课的整体设计思路。

课一开始，我向学生呈现了问题（2009年上海高考试题）：

已知函数f（x）＝sinx＋tanx。项数为27的等差数列｛an｝满足且公差d≠0。若f（a1）＋f（a2）＋…＋f（a27）＝0，则当k＝________时，f（ak）＝0。

在“数列”一章里，我们曾对很多命题从等差数列到等比数列都做过类比。通过对原问题的一系列追问，以使学生对该问题理解透彻后，向学生示范我用类比思想得到的一个命题（以填空的形式，创设思维体验），即命题1。

命题1：已知函数f（x）＝，x∈（0，＋∞）。项数为2m＋1的等比数列｛an｝满足an∈（0，＋∞），且公比q≠1。若f（a1）·f（a2）·…·f（a2m＋1）＝1，则当k＝m＋1时，f（ak）＝1。

随后提示学生换一个函数，指数函数或对数函数，看看能否得到类似的命题。（以填空的形式，为学生思维设置坡度）

命题2：已知函数f（x）＝2x。项数为2m＋1的等差数列｛an｝满足公差d≠0。若f（a1）·f（a2）·…·f（a2m＋1）＝1，则当k＝m＋1时，f（ak）＝1。

命题3：已知函数f（x）＝lgx。项数为2m＋1的等比数列｛an｝满足an∈（0，＋∞），且公比q≠1。若f（a1）＋f（a2）＋…＋f（a2m＋1）＝0，则当k＝m＋1时，f（ak）＝0。

接着，再做更一般的推广。

最后我引用开普勒的一句话来结束本课——我珍视类比胜过一切，它是我智慧的老师，它能揭示自然界的秘密。

设计说明：

这节课，当我们用了类比思想得到了很多新的命题和推广之后，学生有了一种探究的亲身体验。课的最后引用开普勒的话，是本节课的点睛之笔，希望学生通过本节课的学习能感受类比思想所带来的数学力量。学生在教师的引导下，在亲自经历了探究后，再对开普勒这段简短文字品读，就必定会有真切的感受与体会。