关注数学本质

在数学课堂中，教师要将那些概念、定义、定理、思想、方法等等，讲得干干净净、明明白白、透透彻彻，还是需要动一番脑筋的。教学设计中尤其要重视对概念本质、思想方法本质的揭示。

奚定华老师曾经说过关于概念本质的话题。他举了一个例子——反函数其本质是一个函数，授课时可千万不能忽略这一点。

这里，我们先以函数的概念为例。

历史上，函数概念经历了十分漫长的演进过程。17世纪至20世纪上半叶，数学家们给出了各种各样的函数定义……类别1：运算；类别2：解析式；类别3：曲线（图像）；类别4：变量的依赖关系；类别5：变量的对应关系；类别6：映射；类别7：集合的对应关系；类别8：序偶集……

以下罗列了上海市初中和高中教材中两种不同函数概念的表述。

初中函数的概念：在某个变化的过程中有两个变量，设为x和y，如果在变量x的允许取值范围内，变量y随着x的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫做自变量。

高中函数的概念：在某个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的值与它对应，那么y就是x的函数，记作y＝f（x），x∈D，x叫做自变量，y叫做因变量。

以上两种概念的区别与联系：初中强调了“依赖关系”，高中强调了“对应关系”。初中强调了运动变化的动态过程，高中似乎又是两个变量间的一种静态的对应关系，让人联想到函数极限的定义，用静态的ε－δ定义来刻画一个动态的收敛过程，这里或许体现了某种进步。初中没有出现y＝f（x），x∈D这样的记法，在高中，函数的概念由于是用对应关系来刻画的，于是自然而然地引出了这种形式化的函数表现形式。而一旦函数以这种形式化的面目出现，一些相关的形式化定义也就自然而然地应运而生，如用f（－x）＝f（x）来定义偶函数，单调函数的定义，函数最值的定义等等，同时自然地生成了一个形式化的理论体系。

个人认为对于以上初中和高中的两种不同的函数概念，很难说孰优孰劣。初中的概念表达一个运动变化、表达一种依赖关系，所以只能是描述性的；而高中的函数的概念是变量间静态的对应关系，所以相对于初中的概念就可以稍形式化一些了。当然，动态的依赖关系和静态的对应关系都是函数的本质。

如，物理中需要研究速度与时间的关系，或者位移与时间的关系，那么用初中函数的概念“变量的依赖关系”就很好理解。又如，问函数y＝x，x∈｛－1，0，1｝和函数y＝x3，x∈｛－1，0，1｝是否是同一个函数？用高中函数的概念“变量的对应关系”或者“映射”就很好解释。

所以，我认为不同的函数概念恰恰体现出函数本质的多面性特点。当然，函数概念的各种不同的抽象水平反映了不同的学生在各阶段的认知水平。在高中阶段讲授函数的概念时，就要重点揭示“对应关系”这一纯粹的本质。

再以求一个抽象函数的反函数为例。

由于数学概念的本质是抽象的，如果一直依赖于具体与直观，那么学生的理解水平就难以上一个层次。因此在教学的适当阶段还应尽可能地摆脱具体或直观，使概念上升到抽象水平。

我们看一个具体问题：已知函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x），求函数y＝f（－x）＋2的反函数。

求抽象函数的反函数对学生来说是一个难点。其实只要明确反函数的概念，紧扣求反函数的步骤要领，就能轻松逾越。

让我们来回顾一下求反函数的一般步骤。

步骤一：解出x；

步骤二：x与y互换位置；

步骤三：写上反函数的解析式与定义域。

按照上述步骤操作一下。

第一步：由y＝f（－x）＋2得f（－x）＝y－2。于是－x＝f－1（y－2），即x＝－f－1（y－2）。

第二步：将x与y互换位置，便得到y＝f（－x）＋2的反函数就是y＝－f－1（x－2），即y＝－g（x－2）。

抽象函数因其没有具体的解析式，一直以来都成为学生学习的障碍。历年来与抽象函数相关的高考题也屡见不鲜，有些成为高考题中的难点，学生难以逾越。事实上，只要深刻领会有关函数的概念、性质的纯粹本质，领会其中所蕴含的数学思想方法的本质，攻克抽象函数还是有章可循的。

在教学中还要注重解释一些公式的本质。我们都知道，在解析几何中有两个弦长公式：和。我这里不详细说明公式中k，x1，x2，y1，y2的具体意义。这两个公式的本质是一直线上的两点之间的距离公式。可能有些教师也没有跳出“弦长”的消极思维定势。事实上，在有些数学问题中灵活使用这两个公式可以轻松解决直线上两点之间的距离问题。