关注数学发现

波利亚曾说过：“一个重大的发现可以解决一个重大的问题，但在求解任何问题的过程中，也都会有点滴的发现。你要求解的问题可能不大，但如果它能引起你的好奇心，如果它能使你的创造才能得以展现，而且，如果你是用自己的方法去解决它们的，那么，你就会体验到这种紧张的心情，并享受到发现的喜悦。在易塑的青少年时期，这样的体验会使你养成善于思维的习惯，并在你的心中留下深刻的印象，甚至会影响到你一生的性格。”

我们呼喊着教师主导、学生主体的双主课堂，那么就让我们把数学的发现留给学生吧。

下面以我自己论文《我在高中数学教学中的困惑与思考》中的一则案例“一元二次函数在闭区间上的最值”为例，来看看学生们在问题引导的小组讨论中经历了怎样的一些波折，最终接近成功的。

教学过程如下：

（一）学生热身

1.学生独立完成三道小题，学生交流结果，教师小结。

求出下列函数的最大值与最小值：

（1）y＝x2－2x，x∈［－1，4］

（2）y＝x2－2x，x∈［4，8］

（3）y＝x2－2x，x∈［－4，0］

2.请学生思考两个书面问题：

你是如何得到这三个函数的最大值、最小值的？请写出理由。

在求解了以上三道函数的最值后，你对求解一元二次函数在闭区间上的最值有何体会？

（二）合作探究

1.学生小组合作（全班50人，除两组5人外，其余组都4人，共12组），讨论解决问题——求出y＝x2－2x，x∈［n，n＋1］的最大与最小值。

2.组与组之间交流求解以上问题的解决方法。

（三）归纳小结

由学生自行从解题中体会，归纳出解决此类题的一般思想方法。

（四）布置作业（略）

下面来说一下关于这堂课的设计思路。

在这堂课中，学生处于自主探索知识的角色。授课时一改以往教师亦步亦趋引导的方式，先不向学生提供解题一般方法，也不举例，而是在解决了前三小题之后，随即向学生提出了两个书面问题，之后便要求学生小组讨论解决问题：求出y＝x2－2x，x∈［n，n＋1］的最大与最小值。

在课堂上有些小组的同学就由书面问题想到了对以上三小题进行解法的反思，从而有利于解决后面提出的问题：求出y＝x2－2x，x∈［n，n＋1］的最大与最小值。

这是教师为了从前一环节到后一环节所设计的一个过渡，或称为缓冲。也是在给学生搭建思维的“脚手架”，为学生创造“跳一跳，摘桃子”的机会。这也正是教师为学生提供问题引导下探究体验式、发现式学习。

有一个学生分小组讨论问题“求出y＝x2－2x，x∈［n，n＋1］的最大与最小值”的场景。

这一组学生已经通过图像，由函数的单调性解决了∈（－∞，n）以及∈（n＋1，＋∞）这两种情况。接下来，在研究∈［n，n＋1］时的最值时，遇到了阻碍。

这里撷取了这组学生的一小段对话。

男生1：你们看n与n＋1，一个在这边，一个在那边，那就是说应该在n的地方取到最小值，在n＋1的地方取到最大值。

男生2：不对。应该是当n＞1时，用n代入，得到最小值，用n＋1代入是作为最大值。当n＝1的时候，区间就是［1，2］算一下就可以了。还有就是当n＋1＜1的时候，那么就应该是在n＋1的地方取到最小值，而在n的地方取到最大值。（结合自己在草稿上画的图讲）

女生1：挺乱的，刚才一开始的两种情况图像上看的很清楚的，现在这种情况说不大清楚。

女生2：这种情况我们要看n与n＋1谁的位置高，其实就是看他们两个谁离开对称轴的距离远，谁的位置就高。用距离来算，如果n＋1离开对称轴的距离大于n离开对称轴的距离就是|n－1|≤|n＋1－1|，就可以得到n≥，这样不就出来了。

男生2：用距离说很清楚的。

在上述这段对话中，学生一开始用了一些表述不够清晰的词语，如：“在这边”、“在那边”等等。

然而，正是由于这些个体建构的不规范的语词作为基点，在此基础上学生们你一言、我一语地对这些语词进行修正与完善。

这些话语在平时的传统教学中是听不到的。

“你那个‘上面’是什么意思？”——这是生对生的质疑。

“挺乱的，刚才一开始的两种情况图像上看得很清楚的，现在这种情况说不大清楚。”——很平常的一句内心表白却在不经意间给其他同学做了提示。

我们欣喜地发现在后来的学生小组讨论过程中出现了这些短语或语句：

“就是函数单调递增的这种情况”、“离开对称轴的距离远谁的位置就高”、“n＋1离开对称轴的距离大于n离开对称轴的距离”……

这些都是学生们在小组交流中，逐步改进的结果。最后这一小组的同学达成了一致，那便是从知识的个人建构走向了群体性的建构。

在这样的课堂里，学生有更多的挫折体验，当然也有成功的乐趣，这是平日亦步亦趋的教学所无法比拟的。

在教学中要注重关注学生的思维体验，关注数学的发现。在进行教学设计时，要尽量考虑让学生经历数学家思考和解决数学问题的过程，经历数学发现的过程，这正是数学文化中的一种动态过程。