对一道数列题的研究性学习

情况简介

这节课是2010年12月24日上海市嘉定区、普陀区数学联合研修班（第1期优青）课堂教学探讨活动的一节研讨课。虽然我不是其中的学员，但是当主持人杨思源老师跟我说起需要一节研讨课的时候，我二话没说承担了下来。

相关论文《对一道高考数列题的研究性学习案例》发表于《数学教学》2010年第5期。论文发表前曾和《数学教学》杂志编辑部素未谋面的编辑有多次邮件往来，经历了多次修改、打磨。他们对待工作一丝不苟、严谨的态度让我肃然起敬，借此向他们深表谢意。

文化教育价值

1.思想的力量：

从原问题出发，运用类比思想以及推广，从而不断发展壮大，得到更多新命题。

2.情感体验：

经历一系列追问与推广环节，通过探究，体验获得更多新命题的成就感。

3.人文格调：

品读开普勒的话。

教学设计

教学目标：

能够在教师的带领下对问题进一步做深入探究（追问1—4）；

通过类比，能够自发地得到一些新结论；

能够对一些结论做进一步的形式上推广，并会用连贯的语言表述；

具有初步的探究意识与对猜测结论的论证意识。

教学重点：

对原问题的4个追问的研究；

运用类比的方法提出新命题。

教学难点：

运用类比的方法提出新命题；

有关结论的证明。

教学过程：

1.呈现

课一开始，我便向学生呈现了该问题（2009年上海高考试题）：

已知函数f（x）＝sinx＋tanx。项数为27的等差数列｛an｝满足an），且公差d≠0。若f（a1）＋f（a2）＋…＋f（a27）＝0，则当k＝________时，f（ak）＝0。

解析：

由于f（x）是一个奇函数，且在）上单调递增，故f（x）＝0，当且仅当x＝0。由此f（ak）＝0，当且仅当ak＝0。又由于f（x）是奇函数，即有f（－x）＋f（x）＝0，于是可得f（－13d）＋…＋f（－d）＋f（0）＋f（d）＋…＋f（13d）＝0。

故f（a14）＝f（0）＝0，即得k＝14。

下面证明“当k＝14时，f（ak）＝0”：

假设f（a14）＞0，则有a14＞0。

因为｛an｝是公差d≠0的等差数列2a14＝a1＋a27＞0，即a1＞－a27，f（a1）＞f（－a27）＝－f（a27），即f（a1）＋f（a27）＞0。

同理f（a2）＋f（a26）＞0，……，f（a13）＋f（a15）＞0，

故f（a1）＋f（a2）＋…＋f（a27）＞0，与题设矛盾。

同理假设f（a14）＜0时，也与题设矛盾。

故f（a14）＝0，即“当k＝14时，f（ak）＝0”得证。

2.深入

此题值得细细品味，它考查了函数的单调性、奇偶性、等差数列、数列的函数本性以及复合函数等多个知识点，因而容易造成思维障碍。所以我想通过追问以使学生能对｛f（an）｝的把握更深入。

追问1：｛f（an）｝是一个数列吗？

是的。对于任意一个正整数n∈［1，27］，（根据数列是一个特殊的函数）有唯一确定的an与之对应，又对于每一个an，有唯一确定的f（an）与之对应，故｛f（an）｝是一个关于n的函数，又由于定义域的特殊性，故｛f（an）｝是一个数列。

追问2：判断命题“｛f（an）｝是一个等差数列”的真假。

假命题。我们举反例：取等差数列｛an｝中的连续三项，如：a14＝0、a15＝0.01、a16＝0.02，于是f（a14）＝0、f（a15）≈0.020000166、f（a16）≈0.040001333，故该命题为假命题。

追问3：｛f（an）｝是一个单调数列吗？

是的。利用复合函数的单调性即可判断：当d＞0时，｛f（an）｝是一个单调递增的数列；当d＜0时，｛f（an）｝是一个单调递减的数列。

追问4：数列｛f（an）｝有最大或最小值吗？

有最大值，也有最小值。由｛f（an）｝是一个有穷单调数列即可知：当d＞0时，｛f（an）｝的最大值是f（a27），最小值为f（a1）；当d＜0时，｛f（an）｝的最大值为f（a1），最小值为f（a27）。

3.抛砖

一系列的追问和解疑后，学生们应该是彻底地理解了该题。于是可以推进思维层次，给予学生新的挑战。

在数列一章里，我们曾对很多命题从等差数列到等比数列都做过类比。

首先向学生示范一个小推广——对项数的推广。

推广1：已知函数f（x）＝sinx＋tanx，项数为2m＋1，m∈N*的等差数列｛an｝满足an），且公差d≠0。

若f（a1）＋f（a2）＋…＋f（a2m＋1）＝0，则当k＝m＋1时，f（ak）＝0。（证略）

随即，对以上的推广再做进一步推广——将具体函数推广到更为一般的抽象函数。

推广2：已知函数f（x）满足f（－x）＝－f（x），且在R上是单调函数。项数为2m＋1，m∈N*的等差数列｛an｝满足公差d≠0。

若f（a1）＋f（a2）＋…＋f（a2m＋1）＝0，则当k＝m＋1时，f（ak）＝0。（证略）

接下来，启发学生，在推广2中函数f（x）满足f（－x）＝－f（x），等价于该函数的图像关于点（0，0）对称。那么函数图像关于点（a，0）对称呢？是不是还能对推广2做进一步的推广呢？

我们可以得到推广3、推广4。

推广3：已知函数f（x）满足f（a－x）＋f（a＋x）＝0，且在R上是单调函数。项数为2m＋1，m∈N*的等差数列｛an｝满足公差d≠0。

若f（a1）＋f（a2）＋…＋f（a2m＋1）＝0，则当k＝m＋1，f（ak）＝0。（证略）

推广4：已知函数f（x）满足f（a－x）＋f（a＋x）＝2b，且在R上是单调函数。项数为2m＋1，m∈N*的等差数列｛an｝满足公差d≠0。

若f（a1）＋f（a2）＋…＋f（a2m＋1）＝（2m＋1）b，则当k＝m＋1时，f（ak）＝b。（证略）

于是原问题以及推广1、2、3都成为推广4的特例。

事实上，我们学习了“数列”一章，在等差数列和等比数列之间的类比已深入脑海。这里我们还可以换一个函数y＝，运用类比思想，看看能否得到一些与原问题相关的变式命题。（这里采取填空的形式，帮学生搭建思维的脚手架。）命题1：已知函数f（x）＝，x∈（0，＋∞）。项数为2m＋1的等比数列｛an｝满足an∈（0，＋∞），且公比q≠1。若f（a1）·f（a2）·…·f（a2m＋1）＝1，则当k＝m＋1时，f（ak）＝1。

证明：

由于f（x）在（0，＋∞）单调递减，故f（x）＝1，当且仅当x＝1。由此f（ak）＝1，当且仅当ak＝1。

假设f（am＋1）＞1＝f（1），则有0＜am＋1＜1。因为｛an｝是公比q≠1的等比数列，故0＜a2m＋1＝a1·a2m＋1＜1，即0＜a1＜

于是f（a1）＞＞0，即f（a1）·f（a2m＋1）＞1。

同理f（a2）·f（a2m）＞1，…，f（am）·f（am＋2）＞1，

故f（a1）·f（a2）·…·f（a2m＋1）＞1，与题设矛盾。

同理假设f（am＋1）＜1时，也与题设矛盾。故f（am＋1）＝1，从而k＝m＋1时，f（am＋1）＝1得证。

4.引玉

提示学生换一个函数，指数函数或对数函数，看看能否得到类似的命题。（以填空的形式，为学生思维设置坡度。）

命题2：已知函数f（x）＝2x。项数为2m＋1的等差数列｛an｝满足公差d≠0。若f（a1）·f（a2）·…·f（a2m＋1）＝1，则当k＝m＋1时，f（ak）＝1。（证略）

命题3：已知函数f（x）＝lgx。项数为2m＋1的等比数列｛an｝满足an∈（0，＋∞），且公比q≠1。若f（a1）＋f（a2）＋…＋f（a2m＋1）＝0，则当k＝m＋1时，f（ak）＝0。（证略）

再在教师的引导下，请学生尝试对命题1、2、3中的任意一个进行推广，并尝试用完整的语言表述。

推广5：已知定义域、值域均为（0，＋∞）上的函数f（x）满足项数为2m＋1，m∈N*的等比数列｛an｝满足an∈（0，＋∞），且公比q＞0，q≠1。若f（a1）·f（a2）·…·f（a2m＋1）＝1，当k＝m＋1时，f（ak）＝1。（证略）

推广6：已知定义域为R，值域为（0，＋∞）的增函数f（x）满足f（－x）＝项数为2m＋1，m∈N*的等差数列｛an｝满足公差d≠0。若f（a1）·f（a2）·…·f（a2m＋1）＝1，当k＝m＋1时，f（ak）＝1。（证略）

推广7：已知定义域为（0，＋∞），值域为R的函数f（x）满足f（x）。项数为2m＋1，m∈N*的等比数列｛an｝满足an∈（0，＋∞），且公比q＞0，q≠1。若f（a1）＋f（a2）＋…＋f（a2m＋1）＝0，则当k＝m＋1时，f（ak）＝0。（证略）

5.结束

本课我们用类比思想对一个问题进行了一些粗浅的探究，得到了较为丰富的成果。最后让我们用杰出的德国天文学家开普勒的一句话来结束本课——我珍视类比胜过一切，它是我智慧的老师，它能揭示自然界的秘密。

6.作业布置（略）

教学设计说明

本课是基于2009年一道高考题而设计的一堂探究课。本课的教学内容较有难度，无论是对原问题的理解，还是做一些变式和推广。所以，整堂课的探究活动必须在教师按步骤地引领下才能得以较为顺利地完成。

1.着眼探究的深度

（1）寻求合理解释或证明。事实上，有些同学根据“共27项”这个信息，都能够猜出来答案为k＝14，但是他们并不知道为什么，给不出合理的解释或证明。所以，必须寻求合理的解释和证明，端正治学的态度。

（2）追问使问题层层深入。深刻是一种数学精神。本题中有数列，有函数，还有数列与函数复合的形式。那么即便学生得到了正确的答案，但是他们对于｛f（an）｝的理解究竟是怎样一个程度呢？所以这里设计了4个追问，以促进学生对｛f（an）｝的深入理解。

追问1：｛f（an）｝是一个数列吗？

追问2：判断命题“｛f（an）｝是一个等差数列”的真假。

追问3：｛f（an）｝是一个单调数列吗？

追问4：数列｛f（an）｝有最大或最小值吗？

2.着眼探究的广度

在对原问题有了较为彻底深入的了解后，向学生示范一个小推广——对项数的推广，即推广1。

随即，再对以上基础上做了进一步推广——将具体函数推广到更为一般的抽象函数，即推广2。

接下来，启发学生，在推广2中函数f（x）满足f（－x）＝－f（x），等价于该函数的图像关于点（0，0）对称。那么函数图像关于点（a，0）对称呢？关于点（a，b）对称呢？是不是还能对推广2做进一步的推广呢？于是便得到了推广3、推广4。

除了对原问题做推广外，我们尝试着改变一下原问题中的函数f（x）＝sinx＋tanx和数列｛a｝。改成函数f（x）＝，x∈（0，＋∞），改成n等比数列｛an｝，运用类比思想，我们还会得到类似的结果。还可以改成函数f（x）＝2x或函数f（x）＝lgx。甚至依然可以将函数推广到更为一般的抽象形式，如

于是，整堂课是由一道高考题出发，然后经历了对原问题的解法探究——对原问题的推广（项数推广、函数推广）——对原问题的变式——对原问题变式的进一步推广，层层递进。最终一堂课的收获是丰富的。整堂课也就显得枝繁叶茂、丰富多彩。

本课的文化价值在于培养学生探究的意识与探究的精神，在探究活动中体会数学中类比推广的思想方法。文末用开普勒的一句关于类比的名言结束，起到了画龙点睛的作用。

课例点评

徐泼老师的这堂课是“上海市普教系统第一期优青项目工程——嘉定区、普陀区数学联合研修班课堂教学研讨活动”中的一堂跨区级的课堂教学研讨课。

这堂课的选题具有独创性、富有现实意义。高三学生已经复习完数列的相关内容，结合高考关注热点，展开的数学探究性学习，选题是恰当的、独创的。

教学方式符合学生的认知规律与认知水平。徐老师把握住了由易到难、由具体到抽象，由特殊到一般，这种循序渐进的教学原则。从具体的一个高考填空题开始引入本课，并进行严格的证明，到对原问题的深入，追加了4个小问题：1）｛f（an）｝是一个数列吗？2）判断命题真假：｛f（an）｝是一个等差数列。3）｛f（an）｝是一个单调数列吗？4）｛f（an）｝有最大最小值吗？通过四个追问，可见徐老师在让学生更加深刻地把握该题上是下了功夫的，而且思考也非常缜密细致。

探究的方式做到步步递进、层层深入，变式的呈现和最后的结论推广，都很好地证明了这一点。课堂注重引导、注重启发，不是教师一灌到底。教学设计逻辑缜密、思路流畅。课堂中也见到学生几处思维障碍，但徐老师都能做到很好的引导。事实证明学生能够在课堂上进行很好的探究，教学效果好。

最后的结尾部分借用开普勒的一句话——我珍视类比胜过一切，它是我智慧的老师，它能揭示自然界的秘密，着实将本堂课推向了高潮。让数学变得那么“令人神往”！

本课是一节成功的探究性课，具有示范意义。

难能可贵之处是徐泼老师在平时的教学中始终坚持不断钻研、探究。本课是基于她在《数学教学》上发表的一篇文章——《对一道高考填空题的研究性学习案例》的基础上而重新提炼、整理、组织、设计而成的一堂课。教会学生探究的前提是教师自己先要会探究。徐老师很好地做到了这一点。

上海市嘉定区第一中学　杨思源（特级教师）