多视角下的正方体

情况简介

本课是2010年5月25日上海市嘉定区教育局第一期名师工作室汤成超数学工作室展示活动中的教学展示课。

正方体是一个非常基本的几何体。借用这样一个基本几何体，我们可以将立体几何中的很多知识点都串联起来，同时还可以将立体几何中所涉及丰富的经典数学思想方法得以汇总、再现。

所以，在立体几何教学进度刚好完成的当口，我认为上一节基于这样一个基本几何体——正方体的立体几何复习课还是很有意义的。

文化教育价值

1.创造性：

斜二轴测画法、正等轴测画法都是源于生活的数学创造。只需借用平面就可以直观地表达三维空间的物体。

2.思想的力量：

体会问题解决中的多种数学思想方法。

3.情感体验：

多视角地观察与研究正方体，品味立体几何的多姿多彩。

教学设计

教学目标：

以正方体为载体，研究空间位置关系与空间数量关系，浏览第14章基本知识点；

综合运用立体几何知识对正方体中的一些空间问题进行探究；

渗透立体几何中的重要思想方法，如立体图形平面化、化归思想、割补法、变换视角等；

通过多视角地观察与研究正方体，品味立体几何的多姿多彩。

教学重点与难点：

以正方体为载体，研究空间位置关系与空间数量关系；

综合运用立体几何知识对正方体中的一些空间问题进行探究。

教学过程：

1.观察视角

由对正方体框架不同的观察视角（不同角度的平行投影）得到不同的投影图形。这里教师用实物投影展示。

一束平行光垂直地照射到一堵白墙上。如果在白墙前放置一个物体，当平行光照射到物体上时，会在白墙上留下它的影子。同样，如果在白墙前放置一个几何体的框架，当平行光照射到该几何体框架上时，会在白墙上留下它的影子。如果我改变这个几何体框架的位置，也许在白墙上就会得到不同影子。如果我不断改变这个几何体框架的位置，也许在白墙上就可以得到更多的影子。

现在就有这样一个几何体的框架，当平行光线照射到这个几何体的框架时，我不断改变它的位置，于是在白墙上得到了这样一些影子，请同学们来猜测一下这是哪一个几何体的框架。

同一个几何体的框架因位置不同而得到的不同的影子如下（逐一呈现）：

图1

图2

图3

图4

图5

通过实物投影仪，对用碰碰吸搭成的正方体的框架从不同的角度进行平行投影的操作，让同学们眼见为实。

图6

图7

图8

图9

图10

说明：图4（图9）即我们所熟悉的斜二轴测画法，图5（图10）即正等轴测画法。

2.研究视角

以正方体为载体，研究空间位置关系与空间数量关系，即线线、线面、面面的位置关系与数量关系，浏览第14章基本知识点。

研究（1）：

空间位置关系

研究（2）：

空间数量关系

已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1（以下同）。

直线与直线：相交、平行、异面（垂直）三种位置关系。

（1）AA1与CC1的位置关系？追问：AA1与CC1之间的距离？（知识点：两平行直线之间的距离）

（2）BD与CC1的位置关系？追问：BD与CC1的距离？（知识点：异面直线之间的距离）

（3）BD1与CC1的位置关系？追问：BD1与CC1所成角的大小？BD1与CC1的距离？（知识点：异面直线所成的角、异面直线之间的距离）

直线与平面：平行、相交（垂直）、直线在平面上三种位置关系。

（1）CC1与平面BD1D的位置关系？追问：CC1与平面BD1D之间的距离？（知识点：直线与平面的距离）

（2）P是平面BCC1B1上的一个动点（正方形BCC1B1的内部以及边界），保持AP⊥BD1，则点P的轨迹？（知识点：线面垂直、事实：过空间一点有且仅有一个平面与已知直线垂直、公理2）

（3）过点A作一截面使正方体12条棱所在直线与该截面所成角都相等，则该截面可以是什么？（知识点：线面角、正三棱锥的性质；思想方法：化归思想、变换视角）

平面与平面：平行、相交（垂直）。

（1）平面ACB1与平面A1DC1的位置关系？追问：平面ACB1与平面A1DC1之间的距离？（知识点：面面平行；思想方法：立体图形平面化、变换视角）

（2）二面角B-AB1-C的大小？（知识点：求二面角的大小、射影面积法）

研究（3）：

表面积与体积

（1）三棱锥A-B1CD1的体积？（思想方法：割补法）

（2）一个密封的正方体容器ABCD-A1B1C1D1上有三个漏洞E、F、C，其中E、F分别是棱C1D1与B1C1的中点，设该正方体容器的棱长为1分米，最多可盛水多少？（思想方法：变换视角）

3.回顾小结

今天，我们从不同的视角来观察了正方体，同时以正方体为载体研究了空间位置关系与空间数量关系，即从不同的视角研究了正方体，浅尝了立体几何的多姿多彩。正如我们每个人都有一双眼睛，我们用各自不同的眼睛去观察这个世界，同时我们也在用各自不同的心感悟这个世界，这才有我们多姿多彩的大千世界！

4.作业布置（略）

教学设计说明

刚学完第14章空间直线与平面以及第15章简单的几何体，设计这节课的初衷是通过这节课复习立体几何中的一些基本知识与重要的数学思想方法，故将这节课定为复习课。

本课教学设计总体思路：①浏览复习立体几何的基本知识点（线线位置关系、线线距离；线面位置关系、线面角、线面距离；面面位置关系、面面距离、面面角等）；②涉及立体几何中的一些经典问题（轨迹问题、截面问题等）；③渗透立体几何中的重要思想方法（立体图形平面化、化归思想、割补法、变换视角等）；④通过多视角地观察与研究正方体，品味立体几何的多姿多彩。

本节课通过以下两个环节对正方体进行多视角探究：

环节1：不同的观察视角，即对正方体的框架做不同角度的平行投影，得到不同的平行投影图形，以此来增强学生的空间概念。这里涉及两种不同的空间图画法——斜二轴测画法和正等轴测画法。这两种画法并不是凭空意念，而是根据现实观察从而凝结提炼的方法，进一步说明了数学来源于生活。多种不同的投影反映出数学的美妙。

环节2：多个研究的视角，即以正方体为载体，研究正方体上线面、面面的位置关系，研究正方体上线面、面面的数量关系（空间角与距离），研究以正方体的若干个顶点为顶点的几何体的表面积与体积。这里试图说明研究问题既可以从不同的视角，也可以采取不同的方法，展现了数学文化的丰富。

正方体是一个基本的几何体。从这个基本的几何体出发，设计了这样一堂章节复习课，有不同的观察视角，不同的研究视角。一个简单的几何体就可以引发这么多的思考，希望学生从中能够感受到数学的丰富多彩。

课例点评

学生在刚学完第14章“空间直线与平面”以及第15章“简单的几何体”之后，徐老师独具慧眼适时设计了“多视角下的正方体”这节课。课堂上学生合作交流，积极探究，精彩纷呈。这节课主要体现了如下特点：

1.立意高。徐老师在认真研读《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》（以下简述为《标准》）、深入研究学生认知基础和教材教法的基础上高屋建瓴确立课题，课题具有独创性和适切性。徐老师利用学生所熟悉的正方体为载体，引导学生有效运用立体几何的基本知识、方法进行探究，形成理性思维能力，很好地落实了《标准》所要求的“培养学生解决简单空间几何问题的能力，发展学生的空间想象能力，为将来进一步学习空间几何打下基础”。

2.视角新。徐老师主要在两个教学环节中让学生对正方体进行多角度探究。其中在第一个环节中运用不同的观察视角，即对正方体的框架做不同角度的平行投影，得到不同的平行投影图形，增强了学生的空间概念。学生切身感受了斜二轴测和正等轴测这两种画法的由来。在第二个环节中采用多个研究的视角，即以正方体为载体，研究正方体上线面、面面的位置关系，研究正方体上线面、面面的数量关系（空间角与距离），研究以正方体的若干个顶点为顶点的几何体的表面积与体积等，激活了学生思维的积极性，课堂气氛活跃。

3.活动实。徐老师根据学情及教材知识结构特点，安排了切实可行的探究活动。活动目的明确，重点突出，重视综合运用立体几何知识对正方体中的一些空间问题进行探究，学生参与面广，目标达成度高，在合作与探究的过程中形成了积极主动思考问题的能力和创新能力，同时体现了数学内容问题化，教学过程探究化的特点。

4.收获丰。学生在探究过程中巩固了立体几何的基本知识与方法，解决了立体几何的轨迹问题、截面问题等一些经典问题，体验了立体图形平面化、化归思想、割补法、变换视角等重要思想方法在分析问题与解决问题中的应用。

这一节课充满了数学美感，彰显了数学文化，是一节成功的区级公开课。

嘉定区教师进修学院　雷世清（教研员）