例谈数学中的对应思想

情况简介

记得是2012年11月，是我上“解析几何序言”教学研讨课的那段时间，李秋明老师曾抛给我们基地学员这样一个问题——直角坐标系下，点和其坐标是一一对应的，但为什么在极坐标系下，点和其坐标却不是一一对应的？这个问题一直萦绕在我脑海中。

有一次在基地其他学员教学研究课的讨论中，讲到了等差数列与等比数列前n项求和之间能否寻找一些统一这样一个话题。我在想，从公式的最终形式上我们实难找出一些可以统一的地方。不过，如果把等差数列求和看成对应项的相加，而把等比数列求和看成是对应项的相减，那就可以在对应这个地方找到统一了。又想起了康托的集合论，等势集不正是在对应的基础上定义的吗？忽然觉得“对应”有点意思。在2014年3月11日开设了这样一节区级公开课。

文化教育价值

1.简洁性：

运用对应思想解决数学问题简洁、清晰，体现了方法的简洁；在问题解决中，通过对应关系的表述或图表，体现了表达的简洁，促进理解。

2.思想的力量：

集合论和解析几何的创立基于简单的对应思想。

3.情感体验：

朴素无华的对应，不仅能够清晰、简洁地解决问题，它还是学科分支创立的源头，感受数学家的智慧。

教学设计

教学目标：

通过一些具体数学问题的解决，体会数学中的对应思想；

了解对应思想在数学分支学科创建中的作用。

教学重点与难点：

体会数学中的对应思想。

教学过程：

1.引入环节

“对应”是现代数学中重要的基本概念之一，它所反映的是两个集合元素间的关系。广义地可理解为两个对象之间的关系。

在很多数学概念中，对应思想普遍存在。例如，函数概念中的自变量与因变量；复平面上的点和复数；向量、位置向量与向量的坐标；两个三角形的全等或相似；正弦定理中的边与角；祖暅原理中两个幂势相等的几何体；将随机事件对应到实数的随机变量等等。

在一些数学问题的解决中，运用对应思想、寻找对应关系，有时可使解答清晰明了、干净利索、化繁为简。

对应思想是许多数学概念与数学方法的基础。

2.讲授新课

（1）作为思想方法的问题解决

有些数学问题，运用对应思想可以使得解题思路表达清晰、干净明了。

例如，教材中在推导等差数列前n项和公式的时候，我们用到了逆序相加。这里的逆序相加实质是为了对应相加。另外，教材中在推导等比数列前n项和公式的时候，用到了错项相减。这里的错项相减实质是为了对应相消。

下面再来看几例。

例1：①已知集合A＝｛1，2，3，4，5，6｝，对于X=A，定义S（X）为这个子集X中所有元素的和，求全体S（X）的总和。

②已知集合A＝｛1，2，3，…，n｝，n∈N*，对于X=A，定义S（X）为这个子集X中所有元素的和，求全体S（X）的总和。

分析：

第①题，我们不妨取一个子集X＝｛1，2｝其补集为fUX＝｛3，4，5，6｝，它们产生了一一对应关系。这两个集合中所有元素的和为1＋2＋3＋4＋5＋6＝21。而集合A的子集个数为26。因两两配成对，故S（X）21＝672。同样的方法，第②题全体S（X）的总和为2n－2·n·（n＋1）。

例2：对集合定义一个唯一确定的“交替和”如下，按照由大到小的顺序重排元素，然后由最大数开始交替减、加后合计的数，如｛1，2，4，6｝，交替和就是6－4＋2－1＝3，那么N＝｛1，2，3，…，n｝，n∈N*的所有子集的“交替和”的总和为多少？

分析：

这里我们将集合N的所有子集分成两组：含有最大元素n的，和不含有最大元素n的。让这两组子集建立一个一一对应。

若A＝｛1，2，3｝，则A′＝｛1，2，3，n｝。A＝｛1，2，3｝的交替和为3－2＋1，A′＝｛1，2，3，n｝的交替和为n－3＋2－1。故这两个集合的交替和的和为n。

又若B＝｛1，2，3，6｝，则B′＝｛1，2，3，6，n｝。B＝｛1，2，3，6｝的交替和为6－3＋2－1，B′＝｛1，2，3，6，n｝的交替和为n－6＋3－2＋1。故这两个集合的交替和的和亦为n……

这样集合N＝｛1，2，3，…，n｝，n∈N*的子集按照上述一一对应的方式共得到2n－1组，故所有子集的“交替和”的总和为2n－1·n。

例3：关于x的方程x2＋（m－1）x＋1＝0在［0，2］上有两个不相等的解，求实数m的范围。

分析：这里我们采用变量分离。由题意1°x＝0不是原方程的解；2°x∈（0，2］时，1－m＝x＋。令g（x）＝x＋，x∈（0，2］，并作出其图像，如图1。使1－m在（2，］内取值，则此时一个1－m∈（2，］就有两个x∈（0，2］与之对应。故m∈［－，－1）。

图1

例4：设函数y＝f（x）的反函数y＝f－1（x）存在，将y＝f（x）的图像向左平移1个单位得到图像C1，再将C1向上平移1个单位得到图像C2，作出C2关于直线y＝x对称的图像C3，求C3的解析式。

分析：

易得图像C2的解析式为y＝f（x＋1）＋1。图像C3与C2关于直线y＝x对称，即它们的解析式是互为反函数。求抽象函数的反函数一直是一个难点，不过根据函数与反函数定义中变量与变量的对应关系，我们可以迎刃而解。

将y＝f（x＋1）＋1改写为y－1＝f（x＋1）。于是x＋1在f的作用下有唯一确定的y－1与之对应，反之y－1在f－1的作用下有唯一确定的x＋1与之对应，即x＋1＝f－1（y－1）。从而x＝f－1（y－1）－1，于是C3的解析式为y＝f－1（x－1）－1。

例5：x∈R，则函数y＝f（a－x）与函数y＝f（a＋x）的图像关于直线对称。

分析：

我们可以先具体举一些特殊函数进行体会。

图2

y＝ln（2－x），y＝ln（2＋x）

图3

y＝35－x，y＝35＋x

我们从上两图中（图2、图3）可以发现y＝ln（2－x）和y＝ln（2＋x）的图像关于直线x＝0对称，y＝35－x与y＝35＋x的图像也关于直线x＝0对称。于是，由特殊到一般，我们不难可以得到正确的结论。但是，如何不失一般性地来解决这个问题呢？我们还是需要借助一下两组函数图像之间的对应。

函数y＝f（x）和函数y＝f（－x）的图像关于直线x＝0对称。不妨设a＞0，函数y＝f（a－x）的图像是由y＝f（－x）向右平移a个单位所得，而函数y＝f（x＋a）是由y＝f（x）向左平移a个单位所得。运用对应关系，两组函数对应着来观察，可得函数y＝f（a－x）与函数y＝f（a＋x）的图像关于直线x＝0对称。

（2）作为数学方法的学科创建

在有些学科创建中，对应思想也起到了不可磨灭的作用。

对应思想在一些数学学科创建中举重若轻，如解析几何、集合论等。

解析几何创立就是基于几何对象与代数对象的对应。它是建立在方法论基础上的一门学科。其本质是通过建立坐标系，几何与代数之间建立了对应，于是用代数的方法解决几何问题。17世纪法国的笛卡尔与费马分享了解析几何奠基人的荣誉。笛卡尔是对于一条曲线，思考它怎样对应一个代数对象。费马是先有一个方程，然后思考怎样让这个方程对应一个几何对象。

如，在解析几何的序言课中，我们的教学重点是要揭示几何与代数的对应关系。可以通过下面几个简单的例子来引导学生体会。

对于上表中的三个例子，我们可以从几何对象到代数对象，再从代数对象到几何对象，正向与逆向交织，帮助学生强化对几何对象与代数对象之间对应关系的理解，为后续要介绍的怎样学习解析几何，即通过对代数方程代数性质的研究进而得到几何图形的性质做好思想方法的铺垫。

再来看看康托创立的集合论。康托把能够和它的真子集构成一一对应的集合定义为无穷集。康托又成功运用了一一对应思想定义两个无穷集等势，并把“无穷”分成了许多“层次”。康托为我们创造了一个集合论的乐园。

3.课堂小结

波利亚曾说过，完善的思想方法犹如北极星，使人们找到正确的道路。

事实上，关于数学思想方法，我们也已经接触过不少，如数形结合、分类讨论、转化化归、类比思想等等。这里我们也看到，对应思想在解决一些数学问题中的确起到了实实在在的作用，只是在日常的中学数学课堂教学中很少把它个性鲜明地提出来。

生活中也处处存在着对应。如，我们拿着电影票就能在电影院对号入座，或在班级喊一下学生的学号，就会有某位学生站起来回答问题，等等。

正是因为对应，才让我们整个社会、整个世界如此秩序井然。

4.作业布置（略）

教学设计说明

整个高中，我们向学生渗透的数学思想主要有数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想。而关于对应思想这一名词，我们的学生几乎没有过接触，近乎陌生。

那么，对应究竟是一种数学思想还是一种数学方法呢？我以为方法更加具有技巧性，有些方法用得多了也就成了比较重要的思想了。所以数学思想和数学方法两者本身无法割裂。

这节课主要目的是让学生体会对应思想在定义、解题、学科创建中的作用。如果说，运用对应思想去解决数学问题，略有些功利性，毕竟和应试挂上了一点钩。那么让学生体会在定义、概念、定理、公式中的对应思想，以及在学科创建中对应思想的作用，毫无功利性可言，纯粹作为一种欣赏。

本课关于对应思想的教学主要从以下三个层面展开。

1.经验出发——列举概念、定义、公式、定理中的对应思想

事实上，在很多数学概念、定义、定理、公式中，对应思想普遍存在着。在初中，学生都学过两个三角形的全等或相似，这里就有边和边的对应，角和角的对应。在我们高中，我们同样可以找到很多例子。如，函数概念中的自变量与因变量；复平面上的点和复数；向量、位置向量与向量的坐标；正弦定理中的边与角；祖暅原理中两个幂势相等的几何体；将随机事件对应到实数的随机变量；等差数列求和的对应相加和等比数列求和的对应相消等等。学生可以举出这些例子。这样，从学生已有的数学经验出发来谈对应，有利于学生对对应思想产生一些初步的认识。

2.具体体会——通过解决一些具体数学问题体会对应

这个环节是让学生通过一些具体数学问题的求解来体会对应思想在解决问题中的价值，有集合的问题、有函数的问题、有方程根的问题。通过运用对应思想，发现有些问题的解决可以变得一目了然，变得自然通透。

3.拓展引申——对应思想对数学分支学科创立的作用

对应思想在集合论的创立和解析几何的创立中都起到了不可磨灭的作用。在这个环节里，给学生做一定拓展延伸，我认为还是适时的、有意义的。

我选择在高三第二学期的第二轮复习，在讲一些思想方法专题课的那段时间，增加了这样一堂课。这样一节课并不会占去我们应付高考题海战多少时间。相反，这堂课中不仅有对具体数学问题的解题策略的讲解，从对应思想这个角度来看，更有价值的是它有助于学生对整个中学知识有一个统领性的领悟。

课例点评

本节课是高三第二轮复习中的专题复习课。听了本课，给我最深的印象是，这节课老师是在教文化，教数学思想。

首先是对数学思想的认识。数学思想是数学的灵魂和核心，也是把知识转化为能力的桥梁。掌握基本的数学思想，能使数学更易于理解。领会基本的数学思想方法是通向问题解决的金光大道。运用数学思想方法解决问题，对提升学生的理性思维品质，对学生的数学及其他各科的学习，乃至学生的终身学习和发展都具有十分重要的意义。

本节课讲的是对应思想，所谓对应思想，实际上是用联系的观点来看待两不同集合之间的关系。而数学中最基本的函数概念，对应思想就是其源泉。

其次，是对应思想在解决问题中有哪些作用。正像徐老师在文中说到的，运用对应思想解决数学问题可以使过程简洁、清晰，体现了方法的简洁。在问题解决过程中，通过各种数学语言的对应关系的表述，体现了表达的简洁，促进学生更好地理解。

第三，是对应思想怎么教。如果由教师像作报告一样地给学生灌输，那么学生会如坠云里雾中，不知教师所云。而徐老师在课上所选的问题，都是集合、方程与不等式及函数等典型的问题，教学中注重对学生的引导，问题由学生先思考，展示学生的思路，通过合作探究，体会数学中的对应思想，达到了对数学知识与思想方法的融会贯通的目的。教师的讲解深入浅出，起到了画龙点睛的作用。因此，虽然教学内容难度较大，但学生的学习效果比较好，在解决问题的过程中初步领悟了对应思想在解决数学问题中的作用。同时这节课充分展现了徐老师深厚的数学教学功底和浓厚的教学特色。

嘉定区教师进修学院　张桂明（教研员）