叶罗艳（执教） 陈庆宪（评析）
我们对人教版原课程实验教材三年级下册的“用连乘解决问题”进行了两次教学研讨，现把两次教学的主要片段与思考整理如下。
◎实录与反思（第一次教学）
1.情境引入，尝试解答。
（1）呈现主题图，了解信息。
图1
教师在投影上呈现课本的主题图（如图1），并提出：某校三年级小朋友在操场上做操，排成这样的3个方阵。要计算3个方阵有多少人？你们还需要了解什么信息？
生1：要知道3个方阵多少人，先要知道每一方阵多少人？
生2：什么叫方阵？（教师做了解释：排成每行人数一样多的队形叫方阵）
师：是的，现在一下子看不出一个方阵到底有多少人？但你们能观察一个方阵有几行？每行有几人吗？
学生通过观察很快说出：每个方阵有8行，每行有10人。（教师把这两条信息也出示在屏幕上）
（2）独立思考，尝试解答。
师：为了看得更清楚，我们可以把图上每一个小朋友用一个小圆圈来表示（屏幕上呈现图2，每位学生课前也发了这样的方阵图）。同时在屏幕的下方呈现以下的学习要求：
①观察方阵图想一想，列出算式解答。
②把你的计算方法每一步的意思在图上圈一圈、画一画表示出来。
③你还能想出其他的方法吗？
通过独立思考，大部分学生都写出了分步式“10×8=80，80×3=240”，或“8×10=80，80×3=240”。接着在教师的引导下要求学生把分步式写成综合算式：“10×8×3”或“8×10×3”。
在这一环节中还有少部分学生写出了：“8×3×10”或“10×（8×3）”；发现两位同学写出的算式是“10×3×8”。
图2
2.组织交流，理解算法。
教师先要求分小组交流自己的解法，然后组织全班反馈评讲。
（1）对于算法“10×8×3”或“8×10×3”，学生都能针对图清晰地表述“10×8”或“8×10”都是先求出每一方阵的人数，再乘“3”就是求出三个方阵共有的人数。
（2）对于算法“8×3×10”或“10×（8×3）”，教师问：“8×3”这一步表示什么意思？
生：表示3个方阵共有几行。
这时大部分学生还有疑惑，教师利用课件演示把三个方阵重新排成图3的情形，使学生直观地看出“8×3”表示的是“3个8行”，也就是一共有24行，每一行仍然是10人，即“8×3×10” 或“10×（8×3）”就是3个方阵的总人数。
图3
教师还继续利用投影的演示，把这里的“8”看成每一列的人数，那“8×3”就表示3列看成一大列有多少人，然后乘“10”表示有10个大列共有多少人。
（3）对于算法“10×3×8”，教师问：“10×3”这一步表示什么意思？
在学生迟疑片刻后，教师又利用课件的演示把每一方阵的一行框在一起，并向学生提出：现在你能从图中看出“10×3”的意思吗？
生：表示3行共有多少人。
师：请大家看图把3行看成一大行，总人数就有这样的几大行呢？
生：有这样的8大行。
教师边提问边演示，屏幕上逐步呈现思考过程如图4。
图4
3.分层练习，巩固提升。
练习1.完成课本中的做一做题目如图5。
图5
学生通过对图的观察，很快找到一层鸡蛋有6行，每行有5个鸡蛋，并很快数出共有8层。全体同学都列出“5×6×8”，计算出一共有240个鸡蛋。
当学生做了以上的解答后，教师又利用课件的演示把这8层鸡蛋叠在一起，又向学生提出：除了先计算每一层鸡蛋的个数，再计算8层一共有多少鸡蛋的方法之外，你还有其他方法吗？
有部分学生说出：“5×8×6”和“6×8×5”或“5×（6×8）”。（这些学生大部分是依据平常的经验，大致知道在乘法中交换乘数的位置，积是相等的）
接着教师问：你们能解释以上两个算式的每一步的意思吗？（此刻学生茫然）
这时教师又借助于课件的演示，先呈现图6中左边的图，把此图按前后方向一层一层地切开，使学生直观地看出这样的每一层鸡蛋数量刚好是“5×8”，前后共有6层。接着教师又呈现图6中右边的图，把这个图按从右往左一层一层地切开，使学生直观地看出这样的每层鸡蛋数量刚好是“6×8”，共有5层。
练习2、3题略。
图6
【反思】 对于用连乘解决问题，教师一般都会要求学生用多种方法去解答。目的是想引发学生在经历算法多样化的过程中，培养解决问题的能力，并从中渗透乘法的交换律与结合律。这样的愿望是好的，但从以上教学实况分析很值得商榷。我们不妨回到日常生活中去想一想，通常要计算3个方阵的人数时，首先想到的是先要知道1个方阵的人数是多少，很少有人先计算3个方阵共有几行，再去计算共有多少人。很少有人把每一方阵都拿出一行组成一大行，先计算这样一大行人数，再想到3个方阵有这样的8大行计算总人数。同样在计算8层鸡蛋总数时，学生也一定会先想到计算每一层鸡蛋的数量，再计算8层的总数，更不会把每层鸡蛋叠在一起，再把每一层都切去一行。从以上课堂的实际观察，大部分学生确实也不大愿意去思考后两种方法。所以我们在反思，既然不符合日常的思考习惯，何必硬要学生用多种方法计算，这岂不是为了算法多样化而多样化了吗？虽然学生通过观察课件演示能理解每一步的意思，但这样的理解意义有多大呢？出于这样的思考我们对学习素材做了改进，并进行了第二次教学尝试。
◎实录与反思（第二次教学）
1.根据算式意义，自主画图。
师：今天我们继续用乘法解决问题，先来复习一下乘法是什么意思好吗？（教师随手在黑板上写上“4×2”）
师：我相信同学们一定会知道这个算式的意思，下面就请大家在纸上用画小圆圈的方法把“4×2”的意思表示出来好吗？画好后请互相说一说它所表示的意思。
学生很快在纸上画出了一行有4个小圆圈，有2行的图；一行有2个小圆圈，有4行的图。并说出了它们分别表示“2个4”和“4个2”。
接着教师提出：你们还能在以上画的基础上画出“4×2 + 3”吗？（教师随手在黑板上写上这个算式）
学生又很快地针对这一“乘加”算式画出了圆圈图。教师让两位学生到台上展示所画的图。
教师又在黑板上写出“4×2×3”，并提出：你还能针对这个算式画出小圆圈图吗？
同时在屏幕上出示两条学习要求：
①根据算式“4×2×3”画出小圆圈图。
②画好后在小组里互相说一说根据“4×2”“4×2 + 3”与“4×2×3”这三个算式画出的图有什么不同？
学生根据教师提出的要求独立完成画图和小组的交流后，教师让两位学生在黑板上画出他们的作品（如图7）。接着组织学生观察评讲，使学生找出这些图的不同点与联系点，并再次针对图说一说“连乘”算式每一步的意思。
图7
2.根据算式和图，自主编题。
师：刚才大家根据算式的意义画出了小圆圈图，现在你能把小圆圈想象成生活中的物品，编出用“4×2×3”进行解答的问题吗？
同时在屏幕上又出示以下两条学习要求：
①根据算式“4×2×3”和自己画出的图编一道生活中的实际问题。
②分组互相检查交流，看一看谁编的题最合理、正确，选出一道向全班汇报。
学生经过一段时间的思考互动后，教师让各小组把选出的作品向全班汇报。教师又在各小组交流中重点选出四个同学的作品（如下图8）：
图8
同时教师又提出以下两条学习要求：
①这四位同学所编的题目你们都能看懂吗？
②根据算式每一题的第一步求的是什么？
全班同学经过一段时间的观察思考后，教师组织学生说理质疑：
生1：周子舒同学编的题目（第一题）：有三箱苹果，每箱有2筐苹果，每筐有4个，一共有多少个？第一步“4×2”是计算每箱有几个苹果，再乘3计算出三箱一共有多少苹果？
生2：我觉得一筐的苹果放得太少了，哪有一箱只放8个苹果的？
生3：有可能的，箱小。我觉得把每箱中2筐换成2包更好一些。
师：真有意思，题目中的数量关系和计算方法有没有问题？（生：没问题）
生4：赵嘉琪同学编的题目（第二题）不符合实际，小明每只手要拿4个鸡蛋，他的手也太大了吧？（全班同学都笑了）
师：那题目中数量之间的关系可以吗？第一步“4×2”计算的又是什么？
生：是小明一次拿来的鸡蛋数量。
生5：叶婷婷同学编的题，最后的问题错了，不是一共吃了几个桃子，应该是第三次吃了几个桃子。
教师问叶婷婷：他提出的意见你同意吗？（叶婷婷表示同意，自己上台修改了问题）
师：请大家注意这道题在前面条件中“第三次吃的是第一次和第二次的3倍”，我知道叶婷婷的意思是“第一次和第二次加在一起的3倍”是吗？
生：是的。
师：那好，第一步“4×2”又是求的什么？
生：是第一次和第二次一共吃的个数（8个）。
师：在她编的题中没有出现“2”，那为什么会有“4×2”呢？
生：因为第一次吃了4个，第二次也吃了4个，所以第一次和第二次一共吃的数量就是“4×2”了。
这时有一位学生提出：第三次吃24个也太厉害了。（全班同学又一次发出笑声）
师：对于第四题，程许豪同学用“4×2”求的又是什么呢？
生：两个书架合起来一层有8本。
师：这一题还可以用其他方法计算吗？
生：可以先计算2个书架一共有几层，再计算一共有几本书。计算方法是“3×2×4”。
师：这也说明“用连乘解决问题”当思考角度不一样，列出的算式也是不一样的。
3.分层练习，巩固提升。
练习1．找出下面每一题的对应解法，用线连起来。
学生经过独立思考找到每一题的解法，①、④两题都用“4×2×3”；②题只要一步计算“4×2”；③题要用“4×2 + 3”。
练习2．请你先找出图中的信息和问题，再列式解答。（投影呈现课本例1“方阵图”的情境和相关信息、问题，同时提出以下练习要求）
①列出综合算式解答问题。
②解答之后再自学课本例1，你的解法与课本中的解法一样吗？
练习3．请你再找一找图中的相关信息，解决问题。（投影呈现课本的做一做“鸡蛋图”的问题）
练习4．你能用多种方法计算小方块的块数吗？（教师利用课件逐步呈现，先出示一行有4个小方块，再出示这样的2行合为一层，然后再呈现这样的3层，如图9）
图9
当学生列式计算后，教师引导学生分别针对“4×2×3”“4×3×2”和“2×3×4”的算式，说一说每一步计算的意思。教师利用课件动态揭示每一步计算的意思（如下图10）。
图10
练习5．你能用多种方法计算下图中的问题吗？（此题是课本练习第一题，如图11）
图11
【反思】 第二次教学我们主要突出了以下特点：
1．把握起点，回归本真。
用连乘解决问题是要学生熟练运用乘法的意义，因此我们在教学中首先给学生呈现的是一步计算的乘法算式，让学生用画小圆圈图的方式表示这个乘法算式的意思,促使学生通过自己画图来回忆乘法的意义。当学生用图表示出“4个2”或“2个4”时，教师又提出要画“4×2+3”的意思，学生接着画，虽然不觉得难，无非是在刚才的“4个2”或“2个4”的旁边再画上3个小圆圈，但让学生初步感受到要把“4个2”或“2个4”看成一个整体。接着教师又提出要学生根据“4×2×3”来画图，学生很快地画出3组“4个2”或3组“2个4”。由此可见教师在这一环节中仅仅写了三个算式，却很好地引领学生的思维从原有的认知逐步走向新知的过程，而且这一过程遵循了学生的认知特点。学生在算式与算式、图与图之间的比较中，对连乘算式有了更多理解。从知识角度这是回归于认知的本真。
当学生理解算式的意思后，教师又让学生针对算式和图自编应用题。虽然对一部分学生有一定的难度，但无论是否顺利编题，对每位学生来说是对连乘算式的进一步解读，也经历了思维的挑战过程。从以上的教学过程来看大部分学生编出了自己的题目，再通过小组的合作交流，即使有困难的学生，他们在同伴的帮助下也会初步感受到连乘的数量关系。教学中，我们还看到学生所编的题中，虽然有的数据与生活实际不符，但毕竟是学生自己的东西，也正显示了学生童趣、稚嫩的本真。
2．增强联系，比较解法。
从以上教学中要求学生根据算式三次画图，这是对一步的“乘法”、两步的“乘加”和“连乘”做了很好的区别与联系，接着对学生不同的自编题目进行评讲，是对同一算式不同问题背景的联系。虽然学生提供的素材有些幼稚，但这是学生对“连乘”的真实解读。紧接着，在练习中教师设计了针对四道题与算式连线，这又是对不同问题与解法的联系，特别在这组问题中设计的信息都含有“4、2、3”这三个数量，而解决问题的计算方法有相同的、也有不同的，这样再次促使学生进行自觉对比，提高解决问题的能力。
3．结合特点，适当延伸。
在第二次教学中对于用多种方法解决问题，我们并没有刻意地去引导，而是结合题材特点进行适当延伸。比如当反馈到学生所编的第四题时，由于此题顺着条件的叙述先计算“2个书架共有几层”的思考比较容易想到，于是教师及时帮助学生引出第二种“3×2×4”的计算方法。此外，我们在练习中特意设计了一个由小正方体搭成的长方体，要求学生从多个角度去观察，写出算式计算小正方体的总块数，其目的是借助此题带出连乘问题多角度的思考，并在思考计算方法的同时渗透长方体的体积计算方法。在教学的最后环节，教师还特意选择了课本中的一道练习“每天跑运动场两圈，每圈400米，跑一个星期（7天）跑多少米？”要求学生用多种方法计算。此题也比较适合用多种方法进行思考。由此我们可以得到这样的感触：只要结合问题素材的特点进行适当的延伸，才会使算法多样化且顺其自然。
总之，第二次的教学与第一次比较最大的不同，主要在学习引入环节我们设计了简约、大气的画图、编题素材，有了这样简约的素材，才能充分凸显学生思维的本真。其次我们抓住素材的特点与学生的认知规律，突出了知识之间的联系与区别，并对解法进行了恰当延伸，从而达到了较好的教学效果。
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