杨灵君（执教） 陈庆宪（评析）
◎课前思考
“平行四边形的面积计算”一课是学生第一次用“等积变形”的转化思想推导面积计算的教学。在以往的教学中教师一般采用以下三步进行：第一步引导学生去数格子纸中的平行四边形的底和高、长方形的长和宽的格子数，从而知道平行四边形的底与长方形的长、平行四边形的高与长方形的宽对应相等；再数一数它们的方格数来得出面积，发现它们的面积也相等。进而初步猜想到平行四边形的面积是“底×高”。第二步引导学生探究性地验证，让学生通过平行四边形的纸片剪拼转化，并进行说理论证得到平行四边形的面积计算方法。第三步组织练习。
分析以上教学，我们会明显感受到这种教法的优点是从学生的原有认知起点出发通过数格子引入，获得猜想后，进入第二步探究。但存在一个缺陷，数格子的目标过于明显，先通过数格子得出底和长、高与宽的长度，再得出面积，通过数与记录就得出面积是“底×高=长×宽”。我们觉得这种初步的猜想是材料安排好的必然结果，学生没有完全在原生态的思维状态下去猜测平行四边形的面积计算方法。那如何让学生回归到认知的本原，也就是当学生没有学习平行四边形面积计算方法之前，面对平行四边形的面积计算问题会怎样思考呢？它的面积与什么有关呢？它的面积应该怎样计算呢？据我们平时的了解，大部分学生的第一反应误认为是邻边相乘，很难感受到它的面积与它的底和高有关。今天提供给学生的是数格子的素材，学生只要按要求数就可以了，这样的教学能激发学生的好奇心、自主性吗？
对于第二步验证性的探究，关键是要给学生留有充裕的思考空间，交流出不同的想法，尤其要注意以不同的边为底进行剪拼推导。
对于第三步的课堂练习，以往教师都会给学生提供多个已知平行四边形的底和高来计算面积。我们认为学生能运用公式计算面积看似很重要，其实没有必要重复去做过多的题，因为它毕竟是机械的应用。在本课应特别注意让学生自己寻找平行四边形的底和对应的高，再计算面积。此外，还可以设计面积计算与本课的图形转化相结合的练习，尽可能在练习中提升数学的思考价值。
针对以上分析，我们对本课做了以下尝试，现整理如下，供大家教学时参考。
◎实录与评析
1.回归本真，在操作观察中初步感悟。
让学生拿出四根塑料棒搭成一个平行四边形（如图1），并向学生提出：你们可以轻轻地拉一拉、玩一玩这个平行四边形。
图1
接着提出：你们在玩这个平行四边形时，想到了什么数学问题吗？（学生先分组交流，再组织集体反馈）
生1：平行四边形容易变形。
生2：平行四边形的形状变了，面积也变了，但周长没变。
师：这个平行四边形变成怎样的图形时它的面积最大？
生：变成长方形时它的面积最大。
师：是吗？大家再慢慢地拉一拉，看一看是这样吗？
让每一位学生感受当平行四边形变到长方形时，它的面积最大。
师：假如这个平行四边形的两条邻边分别是7厘米、5厘米，那这个长方形的面积是多少平方厘米？
教师随手在黑板上画出一个长方形，借此复习“长方形的面积=长×宽”。
教师又提出：这些图形面积的大小变化与什么有关呢？
教师继续让学生拉一拉平行四边形的框架，先分小组说一说自己的发现，再集体交流。
生1：与角度有关。（指的是两条邻边的夹角，教师肯定他的想法有道理）
生2：平行四边形越扁，它的面积越小。
师：平行四边形越来越扁，你能想到与平行四边形的什么有关呢？
生：与平行四边形的高有关。
教师在长方形后随手画出三个平行四边形。提出：拉动平行四边形，它的高会变成3cm、2cm、1cm（如图2）。
图2
图3
师：平行四边形随着它的高的变化而变化，那平行四边形的面积除了与高有关外还与什么有关呢？
在学生思考片刻后，再投影呈现出图3让学生观察。
生：平行四边形的面积还与它的底有关。
【评析】 这一环节主要让学生在操作活动中提出数学问题。学生通过仔细地观察、静静地思考，感悟到平行四边形的面积随着高的变化而变化，当变成长方形时邻边相乘就是它的面积，而且它是平行四边形所有变化中面积最大的一个。这样不仅借此回顾了长方形面积的计算方法，同时说明一般平行四边形的面积不能用邻边相乘。接着通过投影观察，使学生完整感悟到面积大小与平行四边形的底和对应的高有关。
2.关注经历，在观察猜想中引发探究。
（1）观察猜想。
师：请同学们观察黑板上这一组平行四边形（如图2）的变化，你们觉得平行四边形的面积应该怎样计算？（学生交流）
生：这三个平行四边形的面积可能分别用“7×3”“7×2”“7×1”来计算。
教师利用投影呈现第一个平行四边形（如图4），并提出：你们能从图中看出“7×3”就是它的面积吗？
学生再次观察、交流，部分学生看出了以长为7cm、宽为3cm的长方形，还有部分学生迟疑着。这时，教师没有马上让学生说出，而是继续等待片刻后，发现又有部分学生想到一种割补方法，但还有部分学生没有想到，这时教师再在图4基础上打上格子（每格表示1平方厘米，如图5）。
学生通过观察都找到图中长是7厘米、宽是3厘米的长方形，它的面积“7×3”就是平行四边形的面积，并说出了割补的过程。教师根据学生的表述，利用投影的动态移动展示割补过程（如图6）。
图6
图4
图5
师：通过对这个特殊的平行四边形面积的观察和计算，我们可以猜想到，一般平行四边形的面积应该怎样计算呢？
生：平行四边形的面积=底×高
【评析】 学生经历了第一环节的活动，知道了平行四边形的面积不能用邻边相乘，在引导进一步观察中，学生自然猜想到：平行四边形的面积=底×高。但要从图中观察出底与高相乘就是平行四边形的面积是不容易的。所以杨老师先借助一个特殊的平行四边形来观察，并提出：你们能从图中看出“7×3”就是它的面积吗？为了使更多学生经历观察、想象过程，杨老师没有急于呈现格子图，而采取继续等待，当有更多学生有一定的感悟后，再呈现格子图。通过格子图的观察，使所有学生都不仅看到长是7厘米、宽是3厘米的长方形，而且看到了这个平行四边形通过割补就能转化为这个长方形。这样为进一步验证性的探究打下了基础。
（2）引发探究。
师：请同学们拿出一张平行四边形的纸片，先找出一条底，并标上字母a；再画出这条底上的高，并标上字母h；再把它剪一剪、拼一拼、想一想是否原来的平行四边形的面积就是“底×高”。
图7
学生剪拼后，教师把学生剪拼的纸片重新贴在黑板上（如图7）。学生由于受以上的投影割补提示，顺利完成这种剪拼的方法和说理。教师根据学生的推理，逐步做了板书。
师：除了沿着高剪出一个直角三角形和一个梯形拼成长方形外，怎样剪也能拼出长方形？
图8
图9
学生拿出另外一张平行四边形的纸片，继续剪拼探究。教师在学生独立探究后，再揭示出不同的剪拼方法（如图8、图9），并组织质疑交流，分别说出推理过程。
师：刚才大家都以平行四边形较长的一条边为底，再沿着这条底上的高剪拼成长方形，现在能不能以较短的一条边为底，沿着这条底上的高来剪一剪，是否也能拼成长方形。
在学生继续探究说理中揭示另一种剪拼方式（如图10）。
图10
（3）反思小结。
教师提出以下问题组织学生交流：
①以上剪拼的共同之处是什么？
②剪拼的时候要注意什么？
③剪拼的图形与原来的平行四边形相比什么变了，什么没变？
学生经过小组讨论后说出：
生1：都要剪拼成一个长方形。
生2：剪的时候都要沿着平行四边形的高来剪。
生3：剪拼后的长方形与原来的平行四边形的面积没变，而且长方形的长与平行四边形的底相等，长方形的宽就是平行四边形的高。
师：那什么变了？
生：形状变了。
师：这样的转化是图形的形状变了，而它们的面积不变，这叫“等积变形”。也就是把新的图形面积计算转化为已学过的图形的面积计算。
【评析】 以上两个环节是本课的教学重点。杨老师知道学生的第一次剪拼是在投影的提示下操作的，因此，她要求学生继续展开思考，探究其他的剪拼方法。通过不同的剪拼与说理，使学生达到更好的思维训练，获得更多的活动经验。当学生逐一表述剪拼方法和推理过程后，杨老师还继续引导学生进行汇总反思，使学生进一步梳理不同剪拼的共同点与注意点，帮助学生进一步强化“等积变形”的转化思想。
3.提升价值，在组织练习中进而深化。
（1）独立完成课本练习十五第2题（如图11）。
图11
学生在计算图中两个平行四边形面积时，首先自己要在图中确定底和高，测量出长度，再计算面积。而且每一图都有两种测量方法，教师在教学时及时做了反馈评讲。（评讲过程略）
【评析】 因为根据平行四边形的底和高的长度来计算面积，这只是计算问题，所以杨老师没有让学生做这样的题，而选择了两个平行四边形，让学生分别测量之后再计算。此题有三点好处：①学生必须先确定底和对应的高再测量，再计算它的面积；②学生进一步理解同一个平行四边形的两条底和它们对应的高分别相乘的结果应该是相等的，即面积相等；③学生知道因为测量可能出现误差，所以计算面积也可能出现比较接近的数值。
（2）看图回答下面各平行四边形的面积（如图12）：
图12
学生很快回答出了这三个平行四边形的面积都是“4×8=32（平方厘米）”。
接着教师提出：如果让你们将这三个平行四边形分别转化成长方形，你们觉得应该怎样转化呢？
学生通过观察很快说出了前两个平行四边形的剪拼方法，投影呈现学生所说的剪拼过程（如图13）。
图13
对于第三个平行四边形，学生迟疑了好长时间，这时教师把第三种形状的平行四边形纸片发给各组同学，让学生继续讨论如何剪拼成长方形。
学生经历剪拼探究后，教师将学生的两种剪拼贴在黑板上（如图14）。
图14
师：对于①平行四边形转化成了长方形，根据已知条件，你能计算出它的面积吗？
生：①剪拼后的长方形的长与平行四边形对应的底的长度不知道，长方形的宽与平行四边形对应的高的长度也不知道，要重新测量才能计算它的面积。
师：对于②的剪拼过程又是怎样的？
生：先沿着高（高的方向）剪下一个直角三角形，把剩下的四边形向右平移与三角形拼合后，再把外面的直角三角形剪下平移到右面。（教师根据学生的说理，直接在黑板上再次剪拼纸片演示过程）
师：实际上,把这个平行四边形剪拼成长方形还有不同的方法，大家课后可以继续探究。
【评析】 杨老师利用平行四边形的面积计算，除了使学生知道等底等高的平行四边形面积相等外，还有另一主要目的是使学生再次整理转化思想。学生通过第三个平行四边形的剪拼转化，懂得了无论怎样的平行四边形都可以把它剪拼成长方形，但剪拼后的长方形的长和宽与原来平行四边形的底和高要对应。通过这样的练习不仅加深了转化思想的认识，而且提升了思维的思考价值。
4.组织反思，突出总结转化思想方法。
教师向学生提出以下问题组织学生小结：
①本课除学会了平行四边形面积计算方法外，我们还学到了什么？
②我们是怎样想到要把平行四边形转化成长方形的？
（过程略）
【评析】 教师在组织学生小结中突出了学法的反思，通过对本课学习过程的简单回顾，使学生进一步明确了把“新知”转化为“旧知”学习方法。并知道这种转化是在自己观察、想象中获得的。
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