抓住薄弱点

马凤娟（执教）　陈庆宪（评析）

◎课前思考

人教版义务教育教材六年级下册在总复习中单独编排了“式与方程”的复习。这一内容是“数与代数”的重要内容之一，它由“用字母表示数、解方程、用方程解决问题”三部分组成。复习时可以根据学生的实际分块进行，也可以合并在一节课中。但无论采用怎样的复习方式，都应该抓住学生的薄弱环节，突出知识的整体。那这部分知识学生学习的薄弱点在哪里呢？大家能想到的是学生在用方程解决问题时，找等量关系列出方程的环节。找等量关系确实是学生学习上的难点，但我们在分析学生解题思路的过程中，发现学生的学习难点是对未知数与已知数进行四则运算后，对表示出来的式子的含义的理解。为了突破这一难点，我们把用字母表示数、解方程和用方程解决问题这三部分融合在一节课中，做了以下教学尝试。

◎实录与评析

1.复习用字母表示数。

师：今天我们要复习“式与方程”（板书课题），看到这一课题我们自然会想到有两个内容，即“式”与“方程”。当然这里的“式”一定是含有字母的式子，也就是要复习“用字母表示数”；对于方程，我们要回忆什么叫方程？怎样解方程？以及通过本课的复习，进一步提高用方程解决问题的能力。（教师随手板书出以上所说到的关键词：用字母表示数、方程、解方程、用方程解决问题）

【评析】　教师开门见山地向学生揭示了本课的复习要点，使学生在较短时间里明确了复习目标。

师：我们先来回忆用字母表示数，如果用一个字母“x”表示一个数（板书：一个数 x），你能想象一下这个字母“x”可以表示什么数吗？（学生说到了许多数，教师及时给予肯定：对了，这个字母可以表示我们所想象到的所有数）

紧接着教师随手写下“4x”，并提出：4x与x有什么关系呢？

生：4x表示x的4倍。

师：这里“x的4倍”的结果用“4x”表示，这“4x”就表示另一个数。

接着教师又随手写下“2x＋4”，并提出：现在另一个数用这样的式子表示，这另一个数又与x有什么关系呢？（学生又说出：另一个数是x的2倍还多4）

再接着教师又写下“x÷2－4”，同样使学生说出：另一个数是比x的一半小4。

师：真不错，我们要搞懂含有字母式子的含义，含有字母的式子仍然表示了一个数，而这个数是与这个字母所表示的数有着一定关系的数。下面一个数用字母a来表示，你能根据不同关系的表述分别写出另一个数吗？（教师呈现下面的练习）

学生在横线上表示后，教师提出：2a与a2有什么区别？

【评析】　学生对单独一个字母表示一个数是容易理解的，困难的是对含有字母的式子所表示的数的理解。所以我们在以上的教学中，特意突出另一个数与前一个数（一个字母所表示的数）的关系。让学生在用含有字母的式子表述与一个数的关系，以及根据关系的表述写出另一个数的过程中，进一步理解了一个式子同样可以表示一个数。

2.复习方程与解方程。

教师指着“4x”“2x＋4”“x÷2－4”提出：这三个式子分别表示另一个数，如果另一个数都是“60”，那么这些式子分别等于多少呢？

生：就有“4x=60”“2x＋4=60”“x÷2－4=60”。

师：像这样形式的等式，我们又可以说成是什么呢？

生：方程。

师：那什么叫方程？（学生回忆“含有未知数的等式叫方程”）

教师呈现方程的含义，并组织学生去质疑什么叫方程。教师随手写出“6＋3=9”，问学生：这是方程吗？又随手指着板书中的“2x＋4”问学生这是方程吗？（使学生进一步理解，方程一定是等式，但等式不一定是方程。只含有未知数，但不是等式的，也不是方程）

接着教师针对以上自然形成的三个方程，让学生做解方程的练习。

学生练习后，教师及时对学生解方程中出现的问题进行评讲。在评讲中突出解方程过程中所用到的等式性质，并提出：解方程时要注意书写，及时检验。

【评析】　当学生进一步明确了一个式子就表示一个数后，教师提出这些式子所表示的数是具体一个数时，这样就自然形成了方程。在这样的动态过程中复习方程的含义，学生会感到非常自然、和谐、轻松，更有利于对方程含义的理解。这三个自然形成的方程，各有一定的代表性，学生在独立解方程的过程中涉及四则运算（等式两边同加、同减、同乘或同除以同一个数）的等式性质。先练后评，学生能清晰地梳理出解方程的方法，以及解方程时的注意点。

3.复习用方程解决问题。

（1）根据不同的应用，列出方程：

师：解方程的目的是为了解决一些实际问题，请同学们思考下面三道题，如果要你用方程解答，先要列出怎样的方程？

①一个正方形的周长是60厘米，它的边长是多少？

设：它的边长为x厘米。

②某人骑自行车4小时行了60千米，平均每小时行了多少千米？

设：平均每小时行了x千米。

③甲筐有橘子60千克，是乙筐的4倍，乙筐有橘子多少千克？

设：乙筐有橘子x千克。

生：这三道题都可以列出方程4x=60 。

师：“4x”在以上三题中分别表示了什么含义？

【评析】　以上题组都是一步计算的问题，采用方程的方法来解答，并不显得简单，但目的是帮助学生初步感受数学的建模思想。学生通过这样的题组练习，知道在不同的问题中可能会出现同一个等式形式。

（2）根据方程补上条件，根据条件变化列出方程。

教师提出：如果“2x+4=60”和“x÷2-4=60”这两个方程分别是从下面两个问题中列出的，请你给这两个问题补上相应的条件：

①甲筐有橘子60千克， ______________，乙筐有橘子多少千克？

设：乙筐有橘子x千克。

列出方程是：2x+4=60

②甲筐有橘子60千克， _______________，乙筐有橘子多少千克？

设：乙筐有橘子x千克。

列出方程：x÷2-4=60

学生独立思考后，对第①题补上了“甲筐是乙筐的2倍还多4千克”；对第②题补上了“甲筐是乙筐的一半（）还少4千克”。

师：你们补上的两个条件，也正是在列方程时要用到的关键句子。为什么说它是关键句呢？（学生迟疑了）

师：我如果把这一条件补上另外一句（呈现下题③），同样求乙筐有橘子多少千克？你能很快列出方程吗？

③甲筐有橘子60千克，是乙筐橘子质量的，乙筐有橘子多少千克？

反馈交流学生所列的方程：

师：如果我把这一关键的句子改为另一种说法（呈现下题④），同样求乙筐有橘子多少千克？你还能很快列出方程吗？

④甲筐有橘子60千克，甲筐与乙筐橘子质量的比是4 ： 5，乙筐有橘子多少千克？

学生交流，并列出与上题同样的方程：

师：如果我把上题的第一个条件变一变（呈现下题⑤），同样求乙筐有橘子多少千克？你还能很快列出方程吗？

⑤甲、乙两筐共有橘子60千克，甲筐与乙筐橘子质量的比是4 ：5，乙筐有橘子多少千克？

学生再次交流，并列出方程：

师：现在你们知道什么叫关键句子了吗？

生：从这句话中可以列出方程。

师：对了，从这句话中可以找到数量关系，列出方程。

【评析】　以上环节中，先让学生根据方程补充条件，目的是使学生进一步理解未知数与已知数进行四则运算后所表达的含义。然后再通过条件的变换，让学生思考两量之间关系的变化，从中找出等量关系去列方程。在变换条件时，教者特意把倍数、分数、比等有关知识进行了连接，这样更能使学生从整体上把握知识之间的联系，提高解决问题的能力。

（3）复习用方程解决问题的一般步骤。

师：请同学们用方程解答下题，并思考用方程解决问题时一般的步骤应该注意什么？

小明和小刚两家相距1240米，两人约定在两家之间的路上会合，小明每分钟走75米，小刚每分钟走80米，两人同时从家出发，经过几分钟后能在途中相遇？

学生独立解答后，反馈出完整的解答过程。（略）

教师提出：用方程解决问题时要做到哪几步？

通过讨论，学生梳理出了一般步骤：①读懂题意；②假设未知数；③找出等量关系；④列出方程；⑤解方程；⑥检验得数。

教师做了简要板书：读、设、找、列、算、验。

接着教师又指出：在这六步中你们认为哪一步是最重要的？

在质疑中，学生都认为找出等量关系是最关键的。

【评析】　通过独立完整的解答，学生梳理出了用方程解决问题的一般步骤，并在质疑中突出了“找等量关系”。

（4）对比质疑，突出优化。

教师提出：下面请同学们按照这六步，用方程解答下面问题：

马老师为学校买了8个篮球，12个足球，共用去760元。已知篮球每个32元，足球每个多少元？

解：设足球每个x元。

学生独立解答后，呈现第①个方程：① 8×32＋12x=760 。

师：列成这样方程的同学是按照怎样的等量关系列的？

生：是按“篮球的总价＋足球的总价=两种球的总价”来列出方程的。

师：当然在找等量关系时，由于思考的角度不同，有可能列出的方程是不一样的。下面请同学观察另外四个方程，你们觉得这些方程列得对吗？如果是对的，它们分别是按怎样的等量关系列的呢？（投影呈现下面各方程）

②760 - 12x=8×32

③（760 - 12x）÷8=32

④（760 - 12x）÷32=8

⑤（760 - 32×8）÷x=12

生：第②个方程是按“篮球总价相等”；第③个方程是按“篮球的单价相等”；第④个方程是按“篮球的个数相等”；第⑤个方程是按“足球的个数相等”。

师：根据这五个等量列出的方程，你们觉得最容易找到的等量关系是哪一个？

学生有不同的看法，教师没有说出哪一种最容易找到，只是说：根据每个人的理解，能较快地找到等量关系列出方程的都应该是可以的。但如果你所列出的方程计算比较麻烦，就要继续调整，找出其他的等量关系再列方程。像上题，最容易想到的是按“总价相等”来列出方程。

师：如果有一位同学以总价相等来列方程，但列出的方程是“12×32=8x=760”，你有什么话想对这位同学说吗？

生1：篮球的单价要与篮球的个数相乘。

生2：足球的单价要与足球的个数相乘。

师：这位同学的错误，让我们想到了怎样的一个成语？

生：张冠李戴。

师：对了，在解答此类问题时最容易出现“张冠李戴”，你们可要注意！

教师又呈现下面两题，并提出：请同学们以最快的速度列出下面两题的方程或算式。

①马老师为学校买了8个篮球，每个32元；买了若干个足球，每个42元；这两种球共付了760元，问足球买了多少个？

②马老师为学校买了8个篮球，每个32元；12个足球，每个42元。问应共付多少元？

学生独立列式后，教师做了以下反馈评价：

第①题学生基本上用方程来解：设足球买了x个，列出方程“32×8+42x=760”；

第②题大部分学生直接列成了算式“8×32+12×42”。

师：第②题你们大部分同学为什么不用方程来计算呢？

生1：因为这一题是求总价的。

师：在看到第②题的表述条件和问题时，你们就会有怎样的想法？

生2：根据题目中条件的顺序，就能很快写出算式，求出总价。

师：第①题列成方程式与第②题直接列算式，有什么相同之处吗？

学生互动交流后，组织集体交流。

生：这两题都用到了“篮球的总价＋足球的总价=两种球的总价”。

师：对了，这两题在列式时都用了同一个数量关系，只不过第①题把已知数与未知数合在一起按以上数量关系进行列式，得到的是方程；而第②题是把已知数直接按以上数量关系进行列式，就可以得出结果。所以第②题是我们平常所说的 “顺向题”。

【评析】　这一环节是帮助学生优化找等量关系的过程。学生先独立列式，再进行比较质疑，从而感悟到在同一问题中可以找到不同的等量关系来列方程，更重要的是根据条件与问题的叙述找出自己最顺向的思考方式来列出方程。以上环节的最后两题是教师特意安排的，最后一题不需要用方程来解，以此来说明方程更适合逆向题用顺向的思路去找等量关系。

通过对本课的研究，再次说明：复习课教学一定要抓住学生的薄弱点，把握知识的整体性。要做到这一点，我们就要准确地分析知识的内在联系，设计出连贯的训练素材。如上面的复习，学生的薄弱点就是对含有字母的式子表示一个数不易理解，在解决具体问题时，当未知数参与四则运算后，所呈现的式子对应某一具体的数量含糊不清。学生最初在学习这部分知识时，教材是分块进行的。但复习时，我们应把“式”与“方程”联系在一起进行，让学生真正理解含有字母的式子表示数，及实际应用中含有字母的式子表示具体的数量的含义，并以此构成一个整体，设计连贯的背景素材，使学生在自主梳理、练习中达到更佳的复习效果。