读懂学生的案例

“除数是两位数的笔算除法”的教学研究

计算教学历来被师生公认为是最简单的内容，可学生在计算时又总是错误百出。原因肯定是多方面的，主要原因我认为是教师在备课时没有真正读懂学生，具体说没有弄懂“三哪”：哪些知能基础是应该利用的？哪些知识只需教师点拨即可？哪些知识需要教师重点强调？恰逢有一次绍兴市小学数学优质课评比的内容是计算教学，我对人教版第七册“除数是两位数的笔算除法”进行了教学研究。

一、前测与分析

1.教学前测。

在教学设计前，我接连进行了两次教学前测，都是在上课的前一天，两次相隔5分钟。第一次让学生依次用竖式计算85÷20和130÷20，第二次让学生依次先口算再用竖式计算80÷20、85÷20和130÷20，测试结果见下表：

学生的主要错误整理如下：

（1）

（2）

（3）

2.结果分析。

（1）直接让学生学习“有余数的除数是几十的笔算除法”有难度。两次教学前测的时间只相隔5分钟，教师自始至终没有作任何提示，但是第二次测试的结果明显比第一次要好。主要原因是在第二次测试时让学生先用口算再用竖式计算80÷20，部分学生利用除数是一位数的笔算除法的基础，再结合上节课学习的除数是几十的口算除法的方法，很快领悟到了除数是几十的笔算除法的计算方法并正确地进行了计算。

（2）充分利用“除数是几十的口算除法”的方法非常必要也很重要。学生计算的主要错误有两方面：一是试商时总是用8个十和13个十除以2，二是试商后用商乘2写出积。主要受到两方面干扰：一是除数是一位数的笔算除法的计算方法印象太深刻，以至于习惯性地把除数看作是一位数；二是除数是几十的口算除法的计算方法还不够巩固，总是把除数的几个十算成几。说到底就是学生在试商时没有深入地想“80、85和130里最多有几个20”，这就是除数是几十的口算除法的方法，这个真的很重要。

二、设想与实践

1.教学设想。

（1）哪些知能基础是应该利用的？除数是几十的笔算除法与口算除法关于想的过程是相同的，即“被除数里有几个几十”。因此，教师应该充分利用学生已经掌握的除数是几十的口算除法，让学生在笔算前先口算，也就是在笔算前先知道结果。除数是几十的笔算除法与除数是一位数的笔算除法的计算方法在本质上是一样的，除数是几位数就用被除数前面相同位数的数去除，如果不够除再多看一位，被除数除到哪一位商就上在那一位。因此，教师应该有效利用学生已经掌握的除数是一位数的笔算除法和除数是几十的口算除法的方法，让学生主动利用已有知识、经验和能力进行自主学习。

（2）哪些知识是需要点拨与强调的？由于有除数是一位数的笔算除法和除数是几十的口算除法的基础，除数是几十的笔算除法的竖式格式和计算方法对于大多数学生而言应该都是知道的，对于基础好、悟性高的学生来讲已经会计算了，对于基础和悟性都一般的学生来讲除了一些小问题也基本会计算，对基础和悟性都不是很好的学生来讲还依然存在比较多的问题，因此，对于竖式格式和计算方法教师还是需要点拨。至于为什么要这样算对学生来讲基本都没有思考过，基本上都说不清道不明，这个需要教师引导。除数是几十的笔算除法，对大多数学生来讲已经能口算或估算出结果，但会受到除数是一位数的笔算除法的影响，商在哪里、商乘除数时积是几还是几十等问题非常容易出错，这个需要教师强调。

2.教学实践。

环节一：引入

出示：学校新买了90本科技书、92本连环画、145本故事书，打算分给各班，每班30本，每种书可以分给几个班级？剩余情况如何？

交流：解决什么问题？怎么解决？

板书：共几本÷每班几本=可以分几班。

交流：分别怎么列式？

口算：90÷30，你是怎么想的？

估算：92÷30，145÷30，你是怎么想的？

环节二：探究

引导：90÷30=3，如果用竖式计算该怎么表示呢？自己试着表示一下。

交流：选择几位很典型的学生板演，每个人都说说是怎么想的？

讨论：3个30的3应该商在哪位上？为什么？3×30=？90÷30的余数是多少？

计算：80÷20，120÷30，说说你是怎么想的？

尝试：结合估算的结果，根据刚才用竖式计算的经验，用竖式计算92÷30。

交流：选择几位很典型的学生板演，每个人都说说是怎么想的？

讨论：试商时把92看作多少？3个30的3商在哪位上？为什么？3×30=？余数是几？

计算：64÷30，85÷40，说说你是怎么想的？

比较：刚才几题有什么共同点？除数是几十的笔算除法，先用被除数的前面几位去除？为什么？商在哪里？商确定后怎么乘？

尝试：结合估算的结果，根据刚才用竖式计算的经验，用竖式计算145÷30。

交流：选择几位很典型的学生板演，每个人都说说是怎么想的？

讨论：试商时把145看作多少？用前几位除以30？为什么？应该商几？为什么？4×30=？余数是多少？

计算：280÷50，565÷80，说说你是怎么想的？

环节三：巩固

交流：81÷8和71÷8是什么除法？怎么计算？

交流：98÷30和125÷50是什么除法？怎么计算？

讨论：除数是三位数的除法应该怎么计算？

应用：课本“做一做”。

环节四：梳理

反思：刚才学习了什么？你是怎么计算的？我们是怎么学的？

三、实践思考

执教上述过程的老师在绍兴市课堂教学评比中荣获第一名，看似很平常的一节课为什么能得到专家们的充分肯定呢？我认为是教师弄清了“三哪”，这是真正读懂学生。

1.哪些知能基础是应该利用的？这是学习的起点。学习起点是指学生在多种学习资源的共同作用下，已具备的、与教材内容相关的知识和能力积累，包括知能基础、生活经验和认知规律等。奥苏贝尔认为：影响学习最主要的原因是学生已经知道了什么。《数学课程标准（修订稿）》指出：教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础。新知一般都是对相关旧知的延续和发展，学生在学习之前往往已有较多的知识、能力和经验方面的储备，其中包括部分学生对于部分新知“未学先知”的部分。这些基础对于学生的新知学习起着决定性作用，如此例中的除数是几十的口算除法和除数是一位数的笔算除法的计算方法就起着这样的作用。教师要将新旧知识有机呈现，让学生在自然状态下温故知新，帮助学生主动“唤醒”这些基础，教学就能实现化难为易、化繁为简、事半功倍的效果，学生就能在主动利用这些基础尝试解决问题的同时获取知识、掌握方法、培养能力、发展思维。

2.哪些知识只需教师点拨即可？这是学习的重点。学习重点是指学生应该掌握的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验等中似懂非懂的部分，其中包括部分学生对于部分旧知“已学已忘”的部分。对于学生有点懂但又没有完全懂的部分在教学时的分寸是很难把握的，讲多了学生会不以为然也不利于进一步发展，讲少了学生会一知半解也不利于进一步学习，关键要做到“到位”但不“越位”。教师要善于在此处停留，要舍得花时间进行生生、师生之间的互动交流，如此例中的对于竖式格式和计算方法就需要点拨。教师首先做好组织者和倾听者，让学生充分、深入地交流，甚至可以是辩论，不需要作任何提示；其次做好引导者和合作者，只有当学生说不清、道不明，不能统一意见，偏离方向甚至出现错误时，教师才适时、适度地进行引导，必要时进行一些追问，直至学生完全了解过程、理解知识、掌握方法、相信结果为止。

3.哪些知识需要教师重点强调？这是学习的难点。学习难点是指学生在学习过程中接受比较困难的内容、不容易解决的问题和阻力较大的地方，主要源于三方面：一是学生没有知识基础或者知识基础很薄弱，二是学生原有的知识和经验不能同化新知，三是学习内容抽象、过程复杂、综合性强。对于这些学生很难懂的内容，教师要放慢速度、集中精力、反复强调，让学生有足够的时间和精力进行理解、消化、吸收与运用，如此例中的商在哪里、商乘除数时积是几还是几十等问题需要强调。教师要让学生先练或先说，尽可能多地暴露问题，从中找到带有普遍性的问题，集中师生的智慧进行讨论，找到问题、分析原因、解决问题，并进行针对性练习达到巩固的目的。

读懂学生对于教师而言并不容易，对于教学设计和效果而言非常关键。弄清哪些基础可以利用、哪些知识需要点拨、哪些知识需要强调，就是找准了学习的起点、重点和难点，教学设计和效果自然就会很理想。

“线段、直线、射线和角”教学实践与反思

人教版第七册“线段、直线、射线和角”是公开课的“宠儿”，有着很多经典的教学设计，但基本的思路都是一致的，就是先认识线再认识角。

画线分类：（1）让学生画出自己知道的各种线；（2）通过分类明确线段是一种直的线，复习巩固线段的特征，知道线段是直线的一部分；（3）引入直线这一概念。

认识直线：在画直的线的基础上通过延长与想象认识并掌握直线的特征，借助举例与修正巩固直线的特征。

画直线：分别过一点、两点、三点和四点画直线（其中任意三个点不在同一条直线上），掌握画直线的方法，体验有序思考，巩固对直线的认识。

认识射线：知道射线是直线的一部分，掌握射线的特征，举生活中有关射线的例子。

画射线：过一点画射线，掌握画射线的方法，巩固对射线的认识，感受极限思想。

比较异同：通过比较直线、射线与线段的异同，进一步巩固对直线和射线的本质特征的理解与掌握。

研究角：（1）从过一点画“无数条”射线的图中抽象出3个角；（2）找找角的共同点，说说角的各部分名称，初步讨论什么是角；（3）通过观察、判断、交流等活动，讨论并理解掌握什么是角；（4）介绍如何表示角、如何读角、如何记角；（5）讨论如何画角；（6）比较角的大小，讨论角的大小与什么有关、与什么无关。

这种传统的教学思路主要基于这样的认识：角是由射线组成的，射线和线段都是直线的一部分，直线和射线的知识储备比角丰富，直线和射线比角更容易理解。因此，他们按“直线——射线——线段——角”的思路进行教学。这种教学思路忽视了逻辑起点，人教版教材在学习此内容之前已经安排了大量的关于角的内容；视学生的现实起点为“零起点”，学生在学习此内容之前已经掌握了很多关于角的知识。这是一种无视学生知识储备和违背学生认识规律的表现，如果学生长时间处于这样的学习环境中，失去的不只是学习的主体地位，而且还将失去学习的兴趣和创造力。我对此进行了重新设计：

教学实践：

环节一：认识角和射线

出示一个三角形框架：这个图形是什么？为什么习惯叫它三角形？

生：这个图形是三角形，因为它有三个角。

师剪三角形框架这就是角，关于角你已经知道哪些？

师：指出黑板上三个角的顶点和边。

【设计意图：唤起学生对三角形相关知识的记忆，以准确把握学生的现实起点。】

师：黑板上有三个角，为了便于区分，一般我们是这样表示的读作角1，记作∠1（板书：角1、∠1）。“∠”是角的符号，跟什么很像？有什么区别？

师：后面两个角可以怎么表示呢？请你在纸上表示一下，谁愿意到黑板上表示？

生 。

【设计意图：找到最近发展区，掌握角的表示方法、记法和读法。】

师：角1和角3哪个角比较大？怎么验证？

生：角1大，用重叠的方法进行验证。

让一生上讲台进行验证：大小一样。

师：为什么你们认为角1大？

生：角1的两条边长一些，看上去好像大一些。

师：也就是说，角的大小跟什么没有关系？

生：与边的长短没有关系。

师：确切讲，跟画出来的边的长短无关。

【设计意图：明确角的大小跟画出来的边的长短无关，自然引出对边的研究。】

师把角1描下来，先后三次把角两条边画长一点，问：这个角的大小有没有变？

生：没有。

师：这个角的两条边还可以画得长一些吗？可以画多长？

生：可以画无限长。

师：现在我们知道了角的边可以向一边无限延伸，你们知道为什么吗？

学生都互相看看，没有人发言。

师：我们知道角是由一个顶点和两条边组成的，如果把这个角的两条边分开，我们看看这两条边是什么线。

课件播放把分解成。

师：你知道角的两条边是什么线吗？

生：直线。

师：这种线叫射线，板书“射线”。

【设计意图：通过边的变化，激发思考；通过角的分解，引入射线。】

出示这是什么线？

生：线段。

师：射线和线段有什么相同点和不同点？

生：相同点都是直的，不同点是线段有两个端点、射线只有一个端点。

师：射线只有一个端点，也就是说射线可以向一边无限延伸，为什么角的边可以向一边无限延伸？

生：角的边是射线，射线可以向一边无限延伸。

课件播放把还原成角是一种怎样的图形？

生：角是由两条射线组成的图形。

师这是角吗？为什么？

生：不是，角还应该有一个公共端点。

师：也就是说角是从一点引出两条射线所组成的图形。（板书）

【设计意图：掌握射线的特征和角的概念，理解为什么角的边可以向一边无限延伸。】

环节二：认识直线

出示：

师：这四条线分别是什么线？

生：（1）和（2）是射线，（3）是线段，（4）是直线。

师：直线与线段、射线比，有什么相同点和不同点？

生：相同点都是直的；不同点是线段有两个端点，射线有一个端点、可以向一边无限延伸，直线没有端点、可以向两边无限延伸。

课件播放：显示一条直线，向两边延伸一点，再向两边延伸一点。

师：还可以再延伸吗？请你闭上眼睛，在脑子里把直线向两边无限延伸。

师：在日常生活中你有没有看到过直线和射线？能举一个例子吗？

生：手电筒发出的光是射线，单杠是直线。

师：其实在日常生活中是没有直线和射线的，如果手电筒发出的光能笔直地向一个方向无限延伸就可以看成射线，如果单杠能够笔直地向两边无限延伸就可以看作直线。

【设计意图：掌握直线、射线和线段的相同点和不同点，把握直线和射线的本质。】

环节三：画射线和直线

师：我们已经认识射线，你会画射线吗？想想该怎么画？在纸上画一条射线。

展示作品：先画一个点，再从这点出发画一条直的线。

师：过这个点还能画射线吗？在30秒时间里你能画几条？

生：我画了15条，我画了21条，我画了28条。

师：如果给你更多的时间，还能再画吗？能画几条？为什么？

生：能画无数条，因为相邻两条射线之间的空隙是永远存在的。

课件播放：过一点画很多条射线的动画，然后将画面放大再放大。

师：随着画面的放大，相邻两条射线之间的空隙越来越大，因此可以画无数条射线。

【设计意图：培养学生的动手能力和空间观念，渗透极限思想。】

师：先画一个点，过这个点画一条直线。

师：过这个点还能画直线吗？能画几条？为什么？

生：能画无数条，射线能画无数条，直线也能画无数条。

师：先画两个点，过这两个点能画几条直线？

生1：

生2：

师：过两点只能画一条直线，因为每条直线都由无数个点组成，每个点的大小与线的粗细一样。为了教学的需要有时会把点画得大些，因此被误认为能画好几条直线。

【设计意图：提高对直线本质的把握，培养空间观念和逻辑推理能力。】

出示经过任意两个点画一条直线可以画几条？你是怎么画的？

生：3条，先从左上方这个点出发可以画2条，再从右上方这个点出发可以画1条。

师：你的方法非常有顺序，这样画既快又不会重复或遗漏。

出示经过任意两个点画一条直线可以画几条？

师：老师把刚才画的情况整理了一下，你能发现什么规律吗？

生：因为3=1+2，6=3+3，10=6+4，所以10+5=15，15+6=21，21+7=28。

【设计意图：培养有序思考、观察、分析和推理的能力。】

环节四：总结梳理

师：这节课我们学习了什么？你有什么收获？

【设计意图：培养学生反思与梳理的意识和能力。】

教学反思：

这是按“角——射线——直线和线段”的思路进行教学的，主要是基于这样的认识：学生对于角的知识储备比直线和射线丰富，对于角的感知先于直线和射线，对于角的理解比直线和射线容易。这种教学思路在多种场合施教，教学效果非常好，得到了浙江省特级教师、绍兴市小学数学教研员汤春燕和浙江省特级教师、北海学区党总支书记童燕娜的高度评价。这次经历让我对于“备课，如何备学生”有了更深入的思考。

（1）要充分尊重学生的认识规律

按照几何中点、线、面、体的知识系统，应先学习射线再研究角。但是小学生认识事物一般都是从粗略的整体感知开始，然后对物体进行细致观察和局部研究。当他们看到客观世界中各种形状的物体时，首先看到的是一个个的物体，然后看到的是一个个的面。当他们研究各种平面图形时，首先感知的是图形的整体，然后感知的是图形的局部。人教版教材的编排是：先认识立体图形（第一册）再认识平面图形（第一册），先初步认识平面图形（第一册）再初步认识角（第三册），先研究平面图形（第五册、第六册）再研究角（第七册），正是基于上面的认识。同样的道理，当角展示在学生面前时，他们首先感兴趣的是角的整体，即角是一种怎样的图形，然后才会关注角的两条边是什么线。再加上，角在物体上和平面图形中随处可见，学生对此非常熟悉，很容易理解掌握；直线和射线在生活中无法找到，学生对此非常陌生，很难消化吸收。因此，从认识规律看，认识“角”先于认识“线”更能体现学习的层次性，更有利于他们同化、顺应并建构新知识。

（2）要充分估计学生的现实起点

现实起点是指学生在多种学习资源的共同作用下，已经具备的、与教材内容相关的知识和能力积累，主要包括学生的逻辑起点和生活经验。“线段、直线、射线和角”一课在新教材体系中的逻辑起点是非常丰富的：对于角，学生在第三册已经学习过角的各部分名称、画角、数角，学习过直角、锐角和钝角及它们之间的大小关系；对于直线和射线的逻辑起点，只是在第三册“长度单位”这一单元的“做一做”里学习过线段的特征。由于生活经验的积累，学生的现实起点往往都远高于逻辑起点：对于角，学生不但已经掌握逻辑起点范围内的知识，而且还知道了“角的大小与两条边叉开的大小有关、与所画两边的长短无关”这一知识；对于直线和射线，学生已经普遍知道直线但普遍不知道射线，由于直线和射线在生活中并不存在，也就是说学生很难在生活中找到直线和射线的原型，在他们的认识里，直线有点等同于线段。因此，学生在角的知识方面的储备比射线和直线更丰富，认识角先于认识直线和射线更符合知识发展规律的，更容易被理解、消化、吸收。

“认真备学生”应该不仅仅作为一种教学理念牢记在心，更应该成为一种教学实践落实到行。也只有认真备学生，才能使教学更有效。