“一元二次方程的应用”学习体验案例

徐　术

一　教学设计

（一）知识点：用代数方法解应用题；评价解法及答案

（二）教学目标

1.使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题。

2.通过列方程解应用问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力。

3.通过列方程解应用问题，进一步体会代数中方程的思想方法解应用问题的优越性。

（三）教学重难点

1.教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题。

2.教学难点：根据数与数字关系找等量关系。

（四）设计思路

笔者没有使用教材上的例题进行教学，而是采用了一个古代问题和一个生活中的问题作为情境材料。

情境1：（古代问题）“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步？”渗透数学文化培养。

情境2：（生活中的问题）一根长为10米的竹竿，斜靠在墙上，竹竿的顶端距地面的垂直距离为8米，如果竹竿的顶端下滑1米，那么同学们能想到些什么？由学生交流自己的看法，提出数学问题。

为什么用这两个情境来教学呢？

①对古代问题的研究，一方面是让学生了解并弘扬中国古代数学文化，另一方面是自然导入课时主题。

②根据竹竿演示和动画设计创设情境2。引导学生提出问题，主动建立数学模型——一元二次方程，并进行计算。可让学生了解生活中的数学问题，利于激发学习兴趣和学习的主动性，使学生从“做数学”中去体验数学学习的“再创造”。

情境3：学以致用环节，又设置一个大家耳熟能详的三国故事，促进学习和探究问题的兴趣。

二　教学过程

片段一　创设情境

师：数学是一种文化，具有源远流长的历史，对人类生活中发挥着重大的影响。我国古代对代数的研究，方程是中心问题之一，并取得了重要成果。

出示情境1：1275年我国南宋数学家杨辉提出：“直田积（矩形面积）八百六十四步，只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）。问阔及长各几步？”

引导学生利用现有的知识解决问题。

解：设长为x，则宽为x－12，依题意得

x（x－12）=864

x2－12x－864=0

师：所建立的数学模型是一个什么方程？

生：一元二次方程（点题：一元二次方程的应用）。

解得：x1=36 x2=－24（舍去）

答：长为36步，阔为24步。

（教学反思：对数学文化的渗透要注意学生的可接受性。）

片段二　数学应用

图1

一根长为10米的竹竿，斜靠在墙上，竹竿的顶端距地面的垂直距离为8米，如果竹竿的顶端下滑1米（如右图1），同学们你们能想到些什么？请交流自己的看法。

教师使用竹竿作教具，假设竹竿为10米，演示情境，同时采用动画设计，演示滑动前和滑动的过程，看看能提出哪些问题，让各个学生独立观察，共同交流后提出问题，经小组讨论汇总后交给教师，教师筛选出几个具有价值的、又符合教学目标的问题，最后经师生共同归纳整理后得出如下4个问题：

问题①：底端也滑动1米？

图2

问题②：底端滑动距离可能大于1米？

问题③：底端滑动距离可能小于1米？

问题④：如果把竹竿滑动前和滑动后分别标上字母（如右图2），那么△ABC与△CDE的周长和面积分别是多少？

（教师将这4个问题写在黑板上）

师：大家的问题问得很好，但你们是否注意到这4个问题主要要求我们去找到什么？

生：判断底端滑动距离。

师：好！接下来请大家动脑想想，相互讨论、交流，依次解决这4个问题，再交流探索成果，看看还能得出哪些结论。

（教学反思：初一学过一元一次方程的应用，实际上是根据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决。但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，是一元二次方程，这就是我们本节课所要强调的问题，一元二次方程的应用——有关数字方面的问题。）

片段三　解决问题

（小组探索10分钟之后）

师：大家想一想，究竟是1米呢？还是大于1米或小于1米？

生1：我认为底端也将滑动1米。

师：你是怎么思考的？

生1：因为顶端下滑过程中，竹竿的长度没有变，墙面与地面都没有变，滑动的距离应该不变。

师：能否用数学知识解答。

（有几位同学举手愿意帮助）

生2：我们发现，墙面与地面之间是垂直关系。墙面、地面、竹竿滑动和顶端下滑1米后构成的图形都是直角三角形，满足勾股定理：“两直角边的平方和等于斜边的平方”。

师：（好）利用勾股定理，能否找到底端滑动距离的数学模型呢？

生2：（接着说）竹竿未滑动时，在△ABC中由勾股定理可求得底端与墙的距离为6米，当顶端下滑1米时，设底端滑动距离为x，可得方程（x+6）2+72=102。

展开得x2+12x－15=0

师：x应为多少？

生3：解方程得

师：还有不同答案吗？

生4：解方程得

滑动距离不可能为负数应舍去，所以滑动距离应为

师：底端滑动的距离比1大？还是比1小？请同学们估算一下。

生滑动距离比1大。

师：估算是我们计算中常用的一种方法。能进一步得出这个方程的近似解吗？

生6：方程的解为底端滑动距离约为1.1米。

师：（点评）问题①②③可以综合为一个问题：底端滑动的距离为多少？解决这个问题我们根据题意，建立了一元二次方程，解这个方程并判断方程的根的合理性，最后得出问题的解答。

对问题④只作了一个简单解释，进一步启发学生：滑动前和顶端下滑1米后，都是直角三角形，你们还想到什么呢？

组1：问题⑤，如果设竹竿与地面的交角为θ，则滑动的距离是否可用θ的三角函数表示？

生7：（如图2）设BE=x，则

师：滑动的距离x随θ的变化而变化。cosθ取不同的值，x的值不同，能用cosθ值表示顶端下滑1米后，底端滑动的距离吗？

师：对相同的数学问题，思考角度不同，解决问题的方法不同，这种“一题多解”的方法，有利于同学们掌握基础知识，拓展自己的数学思维。如果改变题目条件，顶端下滑距离不是1米，而是在竖直方向上下滑动，这时，底端B的滑动距离x将在什么范围内变化？为什么？

组3：问题⑥，设竹竿顶端在竖直上下滑动过程中，底端点B滑动的距离x=10cosθ－6，求cosθ何值时，（i）x最大？（ii）x最小？并求出x的最大（小）值。

师：大家激情较高，可能还有问题提出，希望课后继续做这种练习，这对我们掌握数学知识很有帮助，问题⑥作为课外作业。

（教学反思：本次课按照“情境—问题”教学模式的思想进行教学，是一节体现新课改理念的数学教学活动课。教师精心设置情境，学生围绕情境提出问题，探索一元二次方程的应用，并通过观察情境，动脑思考，小组合作，师生交流来解决问题。“判断底端滑动的距离”，多角度解决问题；“改变题设为竖直方向上下滑动时，求底端B滑动的距离”。体验到从简单到复杂的思考问题的方法。）

片段四　学以致用

请欣赏一道借用苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》的头两句改编而成的方程应用题，解读诗词（通过列方程，算出周瑜去世时的年龄）

大江东去浪淘尽，千古风流数人物，

而立之年督东吴，早逝英年两位数，

十位恰小个位三，个位平方与寿符，

哪位学子算得快，多少年华属周瑜？

（教学反思：本题强调对古文化诗词的阅读理解，贯通数学的实际应用。有两种解题思路：枚举法和方程法。）

三　学习体验

（一）促进了学生自主探索

波利亚认为：“学习任何知识的最佳途径是学生自己去发现，因为这种发现，理解最深，也最容易掌握其中的内在规律。”本教学案例打破了传统教学强调学生接受学习，死记硬背，机械训练的状况，选择“建立数学模型，注重数学应用”的教学方法，引导学生通过创设数学情境，自己提出问题，在自主探索、亲自实践、师生交流中解除困惑，明确自己解决问题的思路，并在亲身体验和探索中认识方程的应用，解决所得出的问题，在“疑→问→思→进”中进行数学思考。整个教学过程中，学生自始至终处于主体地位，他们的兴趣与自信心得到了很好发展。

（二）培养了学生的问题意识

问题意识是指学生在认识活动中感到一些难以解决的、疑惑的问题时，产生一种怀疑、困惑、探究的心理状态。本教学案例由古代问题到实际生活中的问题情境展示，引起学生学习的兴趣，激起学生的好奇心、求知欲、诱发质疑、猜想，让学生在课堂学习的时间和空间内培养其问题意识。如“从情境2中，同学们发现了什么？”“竹竿在竖直方向上下滑动过程中，底端B滑动变化范围是多少？”等问题，在学生原有知识和经验的基础上，教师及时捕捉和提取有用的数学信息，把与本节有关的、最能反映本节课内容的问题整理出来，将问题情境数学化，为学生的探索活动指明方向，明确目的。

（三）转变了教师角色

与传统教学相比，教师已从单一的数学知识传授者的角色，向数学学习活动的组织者、引导者和合作者转变。无论从问题情境的创设，师生的共同交流，教师都经过精心设计，并营造和保持学习过程中积极的心理氛围，真正成为学生学习的引导者和组织者。引导学生在“做数学”、“用数学”的过程中，将面前的问题与自己原有的知识经验之间建立联系。在解决问题中，强调了估算的思想，并引导学生多角度思考问题，如勾股定理的知识、三角函数的应用等等。

［参考文献］

［1］中华人民共和国教育部，全日制义务教育课程标准（实验稿）［M］，北京：北京师范大学出版社，2001.

［2］吕传汉，汪秉彝.中小学数学情境与提出问题教学探究［M］，贵阳：贵州人民出版社，2002年.27—41.

［3］吕传汉，汪秉彝.再论中小学“数学情境与提出问题”的数学学习［J］，天津：数学教育学报，2002.11（4）：72—76.

［4］杨跃鸣，数学教学中培养学生“问题意识”的教育价值及若干策略［J］，天津：数学教育学报，2002.11（4）：77—80.

作者单位：贵州省习水县习酒镇中学　564600

【点评】

本节课是一节体现新课改理念的数学教学活动课：教师精心设置情境，学生围绕情境提出问题，探索一元二次方程的应用，通过观察、思考、小组合作、师生交流来解决问题。

本节课亮点之一：笔者以“直田积”这一古代数学问题为载体，进行了基于“数学文化”的教学设计探索，让学生经历发现、创新的过程，在体验中发现一元二次方程的优越性，提高概括能力，增加学习兴趣。

本节课亮点之二：笔者以竹竿演示和动画设计来创设情境，让学生主动生成转化和构建数学模型：一元二次方程，并进行计算，使学生从“做数学中”去体验数学学习的“再创造”，并引导学生多角度思考问题，激发和培养学生的问题意识。

本节课教学，渗透设未知数、列方程的代数方法，领略知识从实践中来到实践中去。从列方程解应用题的方法来说，列出的一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题类似，但其数量关系比用一元一次方程问题复杂得多。因而，课堂上不少同学能很快找出题目中的等量关系，列出方程，但解方程却有困难。因此，我们需要思考：数学课中能力培养固然重要，但千万不能忽视基础知识的落实。就本节课而言，除了“精讲”，还要“多练”，这样才能促使学生真正掌握知识，发展能力。

点评人：徐术，王宽明