李叶钊
一 教学设计
（《数学课程标准解读》中指出：学生是学习的主体，所有的数学知识只有通过学生的再创造活动，才能纳入认知结构。标准理念要求教师不仅要关注学生学习的结果，还要关注学生学习的过程，教学过程是师生交往共同发展的互动过程，要通过讨论、研究、实验等多种教学组织形式，引导学生积极主动地学习，教师应创设能引导学生主动学习的教学情景，激发学生的积极性。为此，2014年6月程寨乡中学数学教研备课组以“中位数和众数”为例，以程寨乡中学八年级数学教师李叶钊在八（1）班上的一堂课进行了研究。）
（一）知识点
义务教育教科书《数学八年级下册》中的“20.1.2中位数和众数”，人民教育出版社。
（二）教学目标
1.掌握众数、中位数的概念。
2.理解众数、中位数并不总是有意义的。
（三）重点难点
众数、中位数的理解与应用。
（四）设计思路
1.创设问题情
通过学生身边的实际问题，激发学生的求知欲，通过师生互动，生生互动，生思师导，生说师听，生做生说，生议师导，生想师引，让学生全面掌握中位数、众数概念的知识。
2.新知讲授
概念的讲授不是单纯的知识教学，而是让学生自己了解的身边案例来提炼概念的特点和辨析概念的内涵和外延，重视学生抽象概况能力和理性思维的培养。
3.数学思考
师生共同讨论，帮助学生正确认识和理解数据背后的事实。树立学生用数学思维去思考身边的数学问题。
二 教学过程
片段一 故事引入——骗人的平均数
程华伟有一个在程寨街上的小工厂，生产木林森纸巾，管理人员由程华伟，他的弟弟，六个亲戚组成；工作人员由五个生产组长和十个工人组成。工厂经营得很顺利，需要增加一个新工人。袁晓涛初中毕业需要一份工作，应征而来与程华伟交谈。程华伟说：“我们这里报酬不错，平均薪金是每周496元，你在学徒期每周150元，不过很快就可以加工资了。”袁晓涛工作几天后找到程华伟说：“你欺骗了我，其他工人工资我核对过了，没有一个工人的工资超过每周300元，平均工资怎么可能是一周496元呢？”程华伟说：“啊，袁晓涛，不要激动，平均工资是496元，你看，这是一张工资表。”
请同学们仔细观察表中的数据，讨论并回答下面的问题：
1.程华伟说每周平均工资496元是否欺骗了袁晓涛？平均工资496元能否客观地反映工人的平均收入？若不能，你认为应该用什么工资反映比较合适？
2.袁晓涛找工作时，你认为他应该首先了解什么工资？上述问题呈现出来后，同学们兴奋异常，思维活跃，算的算，议的议，就连平时最不爱动脑筋的同学也积极参加了讨论。下面是师生的讨论过程。
学生甲：老师，平均工资是496元，程华伟没有欺骗袁晓涛。
学生乙：不对，我认为欺骗了，因为496元根本不能客观地反映工人的平均收入。
老师：为什么？说说你的理由。
学生乙：因为程华伟本人和他弟弟两个人的工资每周就有3400元，这样放在一起计算平均数，就把整个平均工资提高了，所以496元根本不能客观地反映工人的平均收入。
老师：分析正确，有理有据，那么你认为应该用什么工资反映比较合理呢？
学生乙：去掉程华伟和他弟弟的工资，用剩下的21个人的平均工资364元表示比较合理。
学生丙：我认为用程华伟亲戚的工资——500元——反映比较合理。一是因为去掉两个高工资后，500元比去掉的两个工资低，比工人的工资——300元——高，处于中等水平；另外500元也接近于496元，所以用此工资反映比较合理。
学生丁：我觉得还是不合理，因为袁晓涛是当工人，应该用工人的工资——300元——来反映合理。袁晓涛找工作时，首先应该了解大多数工人的工资是多少，而不应该首先关心工厂的平均工资是多少。
老师：大家分析得不错，尤其是同学丁和同学丙的分析很到位。这里的个别高工资在统计数据中，我们将它称为极端数据或异常数据，即指一组数据中特别大或特别小的数据。对于存在极端数据的总体或样本，用平均数描述其集中趋势就不合适了，应该像同学丁分析的那样，用大多数工人的工资来反映。本故事中这个“大多数工人的工资”以及学生丙提出的处于中等水平，确切地说“处于中间位置的工资”就是今天我们要学习的内容——众数与中位数。
（教学反思：“骗人的平均数”具有挑战性，容易激发学生的求知欲，需要向学生阐明透过现象看本质，理性看待问题和-认,识问题，不盲从别人，培养学生独立思考的意识。）
片段二 概念教学
有了前面以学生了解的纸巾厂事实导入新课，以问题的讨论进入新课内容的铺垫，学生已对众数和中位数有了初步的认识与理解，这时，教师先让学生自学教材内容，然后分组讨论下面的问题。（教师在学生自学时板书问题，以便控制授课时间）教师：结合书本知识的“骗人的平均数”故事，讨论回答下面的问题：
1.用自己的语言阐述众数与中位数的概念。
2.指出两者的根本区别之点，找出它们的共同点。
3.在一组数据中，平均数、众数、中位数都是唯一的吗？
对于1，因有了前面故事的铺垫，大部分学生能用自己的语言较准确地阐述众数与中位数的概念。对于2，同学们也能很快地指出两者的根本区别：“一个是出现次数最多的数据”，一个是“位置居中的数据”。（将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是基数时，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数。）
至于它们的共同点，在老师的启发下，也归纳出如下点：（1）概念清楚易理解掌握；（2）对于存在异常数据且数据的分布不均匀时，用众数或中位数描述其集中趋势比平均数的代表性强。对于2.2.3，同学们在教师的点拨下，通过实例验证，知道了一组数据中的平均数、中位数是唯一的，唯有众数不唯一。例如，若将“骗人的平均数”中的工人人数改为6，就存在两个次数最多的数据——500元和300元，这时就有两个众数，故众数不是唯一的。并结合生活中的实际，知道了许多商品就是根据众数进行生产的，如衣服、鞋子、帽子等。如果根据中位数或平均数生产，那么，不管是大人、小孩，老人、年轻人，高个子、矮个子都只能穿戴同一型号的衣服、鞋子、帽子，这岂不可笑。
（教学反思：要求学生用自己的语言表达概念，使得学生对概念认识进入形式化阶段，同时提高对概念的辨析，让学生明确概念的内涵，概念的外延。）
片段三 数学思考
1.如果你找工作，你会怎样去了解工作报酬？
2.写出“骗人的平均数”故事的结尾。
3.写出生活中应用平均数、众数、中位数的实例各一个……
（教学反思：要求学生正确认识平均数、众数的概念，养成从数学的角度认识和思考问题。）
三 学习体验
（一）“问题驱动”，强调对学生能力的培养
教师通过呈现问题，鼓励学生探究，让学生的思维动起来，师生间课堂上的良性互动，充分暴露学生的思维过程，加深学生的领会。这节课利用问题的引申开放，引导学生抓住概念实质，理解其精髓，掌握其特点的讨论式教学方法，不仅很好地调动了学生思考的积极性，而且通过问题的讨论、分析、归纳，提高了学生正确理解概念、分析归纳问题的能力。
（二）联系生活，培养学生从数学的角度观察问题
在教学中，教师针对具体问题，加强理性思考，真正让课堂的价值是通过师生间的碰撞、相互讨论，生成许多新的东西。随着社会的发展数据分析已经渗透到生活的方方面面，各种数据信息在媒体中频频出现。为此，充分地挖掘结合学生生活实际的素材，将数学知识的学习放在解决问题的情境中。让学生分析、评判，使学生体会到数学与现实的联系。生活实际是数学创造的源泉，贴近学生鲜活的实例，一方面可以利用学生的亲身经历加深对数学的领悟，另一方面可以增加课堂情趣，使学生认识到数学就在身边达到激发学生学习数学兴趣的目的。教学过程是师生交流、互动的过程，本节课让学生带着自己的知识、经验、思考、灵感、兴致参加课堂活动，从而增进学生对现实世界体验，呈现出丰富性、多变性和复杂性。
作者单位：贵州省习水县程寨乡中学 564600
【点评】
1.本节课实现良好的师生互动、生生互动，互动不断地进行，课堂发生了不断变化和意外。教师具有较高的现代教育理论素养：“教材、教案等一切文本的意义都具有不确定性，师生皆可对之进行不同的诠释与解读，进行不断地界定和再界定。”教者在教学过程中，不再追求永远的平衡，而是失衡再平衡；不再是一味的有序，而是无序中的有序，教学过程是多元变通，动态生成的。
2.本节课亮点之一是教师层层设问，揭示主题，层层递进的设问帮助学生最终解决问题搭建了一个合适的“脚手架”，在不知不觉中将学生的思路引向目标的情境，使学生“够得着”。在问题1中的两个小问题的讨论中，主要采用了两种方式：（1）学生想、教师导，学生思考所能解决的问题，要让学生自己去思考解决，教师引导学生去想，在充分研读的基础上交流。（2）学生议、教师导，老师在学生充分讨论的基础上，教师再导。教者所用方式恰当，从而让学生以饱满的热情、旺盛的精力、积极的态度探求问题，这正是我们数学老师所追求的课堂场面。
3.教师根据教材的结构，能从整体及其互相关联上理解教材内容，理解内容的内在联系和结构，根据学生的实际，设计出了一堂很“美”的、“开放”型的、“互动”型的课。教者对“众数、平均数”作了整体思考，完全是根据教学目的，仔细斟酌教材密度、广度、深度进行安排、组织教学内容的。这正是教师跳出数学看数学，学生透过数学看世界。
但仍存遗憾和不足：如果在新课导入部分和中位数的概念与定义部分，更多的由学生来探索、讨论、总结，可能学生的学习效果会更加显著一些。总之，本节课通过故事引入、教师提出问题、师生互动等一系列的教学活动，让学生从看似零散的学习内容中梳理出清晰的脉络，强调综合应用和整理提升，注重面向全体学生，促使每个学生通过充分体现教学的有效性让学生真正笑对课堂。这正是新课程教学的生命所在。
点评人：陈应奎，王宽明
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