数学思想方法在教学中的渗透

数学思想方法是什么呢？目前的定义以解释性定义为主。数学思想是对数学知识本质的认识，是对数学规律的理性认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中所提炼升华的数学观点、它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学体系和用数学解决问题的指导思想。例如，模型思想、极限思想、统计思想、最优化思想、化归思想、分类思想等；数学方法是以数学为工具，进行科学研究的过程中，所采用的各种方式、手段、途径等，包括变换数学形式等。我们认为，数学方法就是提出、分析、处理和解决数学问题的概括性策略。^[6]对于数学思想与数学方法之间的关系，张奠宙教授曾写道：“二者实际上没什么区别，评价数学成就的地位、价值时，称数学思想；而用数学成就解决某个问题时，称数学方法。”

数学思想方法最早见著于古希腊数学家欧几里得的《几何原本》，在我国最早见著于数学家刘徽的《九章算术》。20世纪80年代初，G·波利亚的《怎样解题》^[7]是研究数学思想方法的开端^[8]。接着我国学者开始尝试翻译国外有关数学思想方法的著作，如美国数学家M·克来茵的巨著《古今数学思想》^[9]，亚历山大·洛夫等人的《数学——它的内容、方法和意义》，日本数学家米山国藏的《数学的精神、思想和方法》。徐利治教授在大学数学系开设数学方法论课程，并于1988年出版了《数学方法论选讲》^[10]，其可以说是植根于中国本土的数学教育创新。之后关于数学思想方法的研究不断深入，直到现在，化归方法、方程思想、数形结合、函数观念等已经成为大家耳熟能详的名词。数学教育界非常注重数学思想方法的教学研究，同时开展了数学思想方法的教改实验，如：上海市黄浦区数学方法论研究小组历时三年半的“关于数学思想方法训练序的研究”，以及在全国二十多个省市开展的“MM教育方式”实验研究，均对数学思想方法教学进行了不同侧面的探讨，在数学思想方法教学上取得了显著成绩。关于数学思想方法方面的专著也如雨后春笋般涌现，在翻译国外著作的同时，我国学者也出了很多专著。从20世纪80年代开始，主要有徐利治的《浅谈数学方法论》《数学方法论选讲》，张奠宙等人的《现代数学思想讲话》，解恩泽和徐本顺的《数学思想方法》，袁小明的《数学思想史导论》；2000年以后以论文为主，主要有凌晓牧的《从七桥问题中品味数学的思想方法》，郑毓信的《数学方法论入门》，徐唐藩和程子雄的《浅谈平面向量中的数学思想方法》，钱佩玲与邵光华的《数学思想方法与中学数学》，毛鄂婉和樊恺的《关于加强数学思想方法教学的思考》，郭刘龙和陈宇涛的《论数学思想方法的教育价值》，张承然的《数形结合培养学生思维能力》，朱成杰的《关于数学的思想方法教学的几点思考》等。这些著作，从不同的角度，多层次地对数学思想方法的教学进行了研究，这些著作有一些共同的特点：从宏观上对数学思想方法进行了研究，偏重于理论的论证，而很少有实践证明；在研究方法方面侧重于先理论分析后用例题论证的形式，研究内容上对一般的、普通的思想方法的研究比较多，而很少研究现代数学思想在数学教学中的渗透和应用^[11]。本书将从数学思想方法的特征和教学的基本原则对数学思想方法进行分析。

1.数学思想方法的特征

数学思想方法是一种指导思想和普遍使用的方法。数学具有严谨性、逻辑性、简洁性、可靠性。对“数学思想方法”的研究有利于数学本身的发展，也有利于数学教学。根据数学家的研究，数学思想方法有以下特征：

（1）数学思想和数学方法是紧密联系的，可以分开称呼，强调指导思想时称数学思想，强调操作过程时称数学方法。

（2）数学方法的层次性。数学的发展是由低级到高级、从生活与客观现实逐步抽象发展起来的。数学知识是数学方法的载体，因为数学知识具有层次性，所以数学方法同样具有层次性。

（3）数学科学的特征和数学思想方法的发展阶段可以概括为创新阶段、理论建立阶段、应用阶段三个阶段。

2.数学思想方法教学的原则和教学基本途径

数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是以数学内容为载体的对数学内容的一种本质认识，因此数学思想方法是一种隐性的知识内容，要通过反复体验才能领悟和运用。数学思想方法是处理、解决问题的一种方式、途径和手段，是在变换的数学形式中不断实践才能理解和掌握的。针对如何进行数学思想方法的教学，我国学者满小莹提出四点建议^[12]：数学思想方法教学的前提是不断强化教师的意识；数学思想方法教学的启动——深入钻研教材和教师教学用书；数学思想方法教学的关键——抓准、抓好知识与思想方法的结点；数学思想方法教学的实施——“点线面”教学。该学者提出的数学思想方法的教学方法对教学有很大的启发作用。由于数学思想方法教学的载体是数学知识，又有别于具体的数学知识教学，因此有学者提出数学思想方法的教学除了受到数学知识教学的影响外，还应遵循如下原则^[13]：目标性原则、渗透性原则、层次性原则、概括性原则、实践性原则、计划性原则、科学性原则和重复性原则等。

在查阅相关文献的过程中，近年来有数篇文章从不同角度论述了关于数学思想方法教学的途径问题，可以做出以下概述：首先，在知识的发生过程中渗透数学思想方法，不能简单下定义和过早地给出结论；其次，要在教学活动过程中，逐步揭示数学思想方法；再次，通过问题解决方法的探索，掌握数学思想方法；最后，通过知识的总结，概括数学思想方法。