体现的数学思想方法及分析

数学知识和数学思想方法这两条线贯穿小学数学教材。数学知识是一条明线，在数学教材中可以直接呈现出来；数学思想方法则是一条暗线，隐藏在知识的背后，需要教师挖掘和在教学中渗透。

1.植树问题体现的思想方法及分析

植树问题包含的基本的数学思想方法有化繁为简、数形结合、一一对应、数学建模等。教学目的是通过学习，学生能够运用相关的数学思想方法，从中探索规律，抽取出数学模型，然后将发现的规律用于解决实际问题，从而发展学生的思维能力。

1）尝试运用并感悟化归思想

化归思想也叫转化的思想，是指人们在遇到数学问题的时候，如果将直接运用已有知识不能或不易解决问题时，把需要解决的问题不断进行转化，最终把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，从而使原问题得到解决的思想。

在教学例1中，给出了“在100米长的小路上种树”，当教师引导学生对“100米一共要栽多少棵树”进行探索时，学生在尝试画图时引发困惑，数字太大，全部画下来太麻烦、太浪费时间，而且如果数据更大，那么是不能够直接画完的。就在学生有所体验、产生困难的时候，借此渗透复杂问题简单化的思想。如果学生先选择研究在短距离（20米）的路上植树的情况，则会非常容易用画图的方式得到结果。在这个过程中，学生在实验中通过体验产生困难→无法解决→介绍方法→运用方法→解决问题的这个过程去感悟化归思想，将复杂的问题转化成简单的问题。

2）数形结合思想的渗透

数形结合是小学数学学习中非常重要的一种数学思想方法。数形结合思想的实质为将数与形相互转化，把抽象的数量关系转化为适当的图形，然后通过图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系，解决数量关系的数学问题。数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化。植树问题把通过直观图形得到的模型应用到现实生活中，沟通了图形、表格和具体数量之间的联系，强化了对题意的理解和对该方法的运用。

通过组织学生在课堂上画图或者是剪贴来模拟植树的过程。用线段代表一段路，用线段上的竖线代表一棵树，每画一条竖线就表示种了一棵树。学生通过画图和观察很容易发现规律，从而可以推测出结论并迁移运用。数形结合是数学中常用的推理方法；借助数形结合的思想，将文字信息与学生基础结合起来，很好地发展了学生的思维，也有助于渗透数学思想方法。

3）一一对应数学思想的渗透

在植树问题的教学中，如果通过探究教材例子，利用画图、小棒或圆片的排列来找出规律和验证规律，再结合生活实际应用规律，就会加深学生对规律的理解和记忆。教师以这种方式进行教学时，学生似乎能够更快地记住所学的公式，但是不能灵活判断“封闭、不封闭”“两端都栽、只栽一端、两端都不栽”这些问题，更无法用数学的眼光来统领“间隔排列”的现象。如果教学中真正把握了“间隔排列”的实质：当两种物体间隔排列，那么这两种物体的排列一一对应。对应是间隔排列的本质。进而，通过“感知对应现象→感悟对应思想→建构对应思想→升华对应思想”这种层层深入的教学行为，让学生真正感知间隔排列的特点，扫清思维上的障碍，层层推进认识的完善和引申，进而避免机械记忆导致的不能灵活运用。

4）在运用中体验模型思想

《数学课程标准》（2011版）中模型思想的含义及要求：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数量关系和变化规律的数学问题，求出结果，并讨论结果的意义。《数学课程标准》（2011版）进一步将这一过程简化成三个环节：首先，从现实生活或具体情境中抽象数学问题。这说明发现和提出问题是数学建模的起点。其次，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律。在这一步中，学生要通过观察、分析、抽象、概括、选择、判断等数学活动，完成模式抽象，得到模型。这是建模最重要的一个环节。最后，通过模型去求出结果，并用此结果去解释、讨论它在现实问题中的意义。

模型思想的教学不同于具体数学知识点，其不可以单独作为一个数学内容来进行专门教学，需要融入具体数学知识，通过“问题情境→建立模型→解决问题→拓展运用”的学习过程才能逐渐领悟。教材中的植树问题以“猜想试误→合作探究→发现规律（建立模型）→深化规律（再次建模）→解释运用”为主线，渗透了建立数学模型的思想方法。

模型思想需要教师在教学中逐步渗透和引导学生不断感悟。“问题情境→建立模型→求解验证”的数学活动过程，有利于学生去发现、提出、分析、解决问题，培养学生的创新意识。

2.鸡兔同笼体现的数学思想方法及其分析

鸡兔同笼是我国民间广为流传的数学趣题，通过对它的学习，我们能够体会到解题策略的多样性以及其中蕴含的丰富的数学思想方法。

1）化归思想

化归是基本而典型的数学思想，前面对其已有介绍。我们在解题中应用到的将未知化为已知、将复杂化为简单、把曲化直等都是这一思想方法的运用。鸡兔同笼同植树问题一样，原题中的数据比较大，学生探究不方便，因此根据化繁为简的思想，先把数据改编成较小的，比如，笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有7个头，从下面数，有18只脚，那么鸡和兔各有几只？当学生学习掌握了此类问题后，教材中提供的题目会得到很好的解决。与鸡兔同笼类似的问题在生活中有很多，比如龟鹤问题、桌凳问题、确定最大运力、做对多少题目等，相关问题都可以先通过化归的方法，将其归结为鸡兔同笼问题，再得到解决。

2）枚举思想

枚举思想是一种朴素的思想方法，又是一种实用的解决问题的策略。用枚举思想解决问题就是逐个找出可能符合问题的答案，并用一些表格、图标等简单明了、便于记录的形式将其进行整理，从而找到问题的答案。学生在刚接触鸡兔同笼问题时，一般很难理解列式计算。不过在数据很小的时候，学生往往会凭着直觉经验去假设和猜想，实际上就是用枚举思想（即一一列举）来解决问题。一般地，按从大到小或从小到大依次枚举，可以避免疏漏或重复，还有学生会根据经验从最接近的开始试，不断地优化枚举的方法，这样可以节约很多时间。此方法常常借助于列表来及时记录每一种可能的结果。例如前面讲到的鸡兔同笼问题，就应用枚举思想并借助了列表来记录得到：鸡有5只、兔有2只。

3）数形结合思想

在教学鸡兔同笼问题时，当数据较小时，采用画图的方法来解决。例如解上一题，用○表示头，用∣表示脚，先画7个头，如果每个头下都画上2只脚，数一数，共有14只脚，比题中给出的脚数少了4只，因此再2只脚2只脚地添，添2次，脚刚好18只，这样便得到笼中有5只鸡和2只兔。也可以先在每个头下画上4只脚，结果比题中给出的脚数多了10只脚，再2只脚2只脚地划去，划5次后，脚的数刚好是18只，得到相同答案，这一方法是列式子解决的基础，很好地理解数形结合的思想方法有助于对所列式子的理解。

4）假设思想

假设是一种重要的数学思想方法。假设法就是先假定一种情况或结果，然后去推导、验证来解决问题的方法。合理运用假设法，有利于问题的解决和培养学生的逻辑思维。

用假设法教学鸡兔同笼主要有两种思路，可以假设笼子里全部都是鸡或者全部都是兔，再计算题目中的与假设情况下总脚数之差，最后再通过数形结合思想，推理出鸡和兔各有多少只。同样解决上一个题目，可以假设7只全部都是鸡，那么兔有（18-7×2）÷（4-2）＝2（只），鸡有7-2＝5（只）。运用假设法解题是教学的难点，学生理解起来有困难，因此可以先通过上述的画图法在直观操作活动中建立思维的表象，再进一步抽象，这样有助于学生真正理解假设法。同时，抬脚法也是应用假设的思想。

5）方程思想

根据问题中的已知数和未知数之间的等量关系，在已知数与未知数之间建立一个等式是方程思想的由来。在鸡兔同笼的问题中，可以将鸡或兔中任意一种假设为X只，然后根据鸡、兔的只数列出鸡脚和兔脚的只数与脚的总只数的关系式。比如，假设兔有X只，那么鸡有（7-X）只，可列方程：4X＋2（7-X）＝18，解得X＝2，于是鸡有7-2＝5（只）。方程解法思路比较简单，且具有一般性，教学中要突出方程解法的优越性，不断渗透方程思想。

6）模型思想

对数学研究对象的某些特征进行想象，并将其用数学语言、图形或模式表达出来，建立数学模型。当解决了鸡兔同笼这个具体问题之后，可以引导学生观察、思考，以概括提炼出解题模型：兔的数量＝（实际的脚数-鸡兔总数×2）÷（4-2）；鸡的数量＝（鸡兔总数×4-实际的脚数）÷（4-2）。之后再通过应用加深理解和拓展该模型，把鸡与兔换成其他动物或者物品，变式为其他问题，通过这些问题与鸡兔同笼的联系，鸡兔同笼便成为这些问题的模型，应用该模型解决问题，并不断促进模型的内化。