教学案例二

介绍教师D的主要背景，记录三节课的课堂实录并分析，同时通过访谈了解教师D对数学广角的认识和对该课的设计。

1.教师D的背景资料

教师D，教龄20年，女性，本科学历，是某校的年级组长。她上课严谨细腻，在期末考试中，她带的学生的考试成绩总是名列前茅。在该教师的热心帮助下，研究者如愿以偿地听到了植树问题这一教学主题的3节课，这个内容该教师是用5个课时完成的，研究者没有听到第一课时与最后一个课时。

2.数学广角教学课堂实录

第二课时：

黑板上写着例1和例2：

例1：在一条路的一侧每隔4米植一棵树，一共植了6棵树，这条路有多长？

例2：把5棵树等距离地植在长为12米的水渠一侧（两端都栽），每相邻两棵树之间的距离是几米？

一、复习导入

师：（在黑板上画出一个线段图）这个线段图是昨天我们学习过的植树问题中两端都植的情况。

师：什么是间距？

生1：相邻两棵树之间的距离叫作间距。

师：此图中有几个间距？

生2：5个。

师：对的，因为有几个间距，间距数就是几，所以间距的个数就叫作间隔数，而间距是指长度。这里的间距是4米，其实问间隔数就是找有几个“4”。（板书）

根据一个乘法算式可以写出两个除法算式（学生说教师写）：

全长÷间距＝间隔数

全长÷间隔数＝间距

师：昨天学了一个公式，在两端都植的情况下，间隔数加一等于棵树。大家把这句话说一遍，然后背一遍。

生3：在两端都植的情况下，棵树加一等于间隔数。在两端都植的情况下，棵树加一等于间隔数。

例1和例2不是书上的例题，这一课是该教师在教授课本上提供的例1（两端都栽）之后，为了学习和运用全长÷间距＝间隔数而设计的一课教学。该教师非常重视复习、巩固，重视概念的理解和公式与公式变式的学习，而且将求全长的题目很好地与已有知识“几个几是多少”联系起来，帮助学生理解和记忆。同时，在公式变式的时候直接利用了“一个乘法算式可以写成两个除法算式”。

师：看着黑板上的例1，读题。

师：要求的是什么？题目中哪个是间距？哪个是棵树？我请个同学上来标明。

师：在昨天的课后作业中有部分人不是按照这个要求做的，没有把相关的条件画下来并写明，因此今天重新做。接下来对这个题目列式子，一定要先写出什么（学生一边说，教师一边板书）：

全长＝间距×间隔数

我们不知道间隔数，只知道棵树，因此可以用昨天学习的？

生（齐）：棵树-1＝间隔数

师：所以第一步是求？

生（齐）：间隔数，第二步求出全长。

例1板书如下：全长＝间距×间隔数

棵树-1＝间隔数

第一步：间隔数是几？

6-1＝5（个）

第二步：全长是多少？

4×5＝20（米）

巩固练习：

师：打开课本第118页，做一做，用笔标好间隔、棵树是多少，求全长，把用的公式写出来。按照第一步求间隔数、第二步求全长的格式做，不按照格式的重新做。

师：自己读例2，找出要求什么，标出已知条件是什么。（留时1分钟）

师：例2中最关键的是要找到？

生4：等距离，也就是相邻两棵树之间的距离是相等的，还要找到一侧植树。

师：把解题的步骤写在草稿纸上，一定要记得先写公式，写出第一步、第二步各求什么。

师：现在我们来总结两道题目，例1求全长，例2求间距，都要用到公式“间距×间隔数＝全长”，但是题目都没有告诉我们间隔数是多少，因此首先我们要先用“棵树-1＝间隔数”计算出间隔数。

在运用公式教学例题的过程中，该教师非常注重让学生先在题目给出的信息中找到已知的量是什么，求的是什么，并且要用笔画下来，列式的时候必须先写公式，写出每一步要求的内容。这些公式的运用是非常困难的，教师的严谨要求能够帮助学生保持思路的清醒。而且该教师非常注重及时巩固，进行直接有效的变式训练，促进了学生对公式的理解和运用。

三、巩固练习

师：打开优化第61页，完成第一大题的第四小题，要求同例1、例2，先标出来，找到求什么，写出公式，再分步列式。

师：练习课本第122页第一题。

先让学生猜、说，教师再讲解。

一共8秒

师：一共敲了5下，用了8秒，我们先来看，第一下与第二下之间是不是有一个间距，那么敲了5下有几个间距？

生（齐）：4个。

师：每一个间距用几秒？

生（齐）：用8÷4＝2秒。

师：题目中的要求是敲12下，有多少个间距呢？

生（齐）：11个。

师：那怎么列式呢？我们一起来写。

第一步：间隔数是几？

5-1＝4

第二步：间距是几？

8÷4＝2（秒）

第三步：敲12下的间隔数是几？

12-1＝11（个）

第四步：要用几秒？

11×2＝12（秒）

第三课时：

一、复习导入

在黑板上画能表示两端都植树的线段图，提出问题“你能算出它的全长吗？”然后复习公式：间距×间隔数＝全长，并且将间隔数与以前学过的份数对等，将间距与以前学习过的每份数对等，则有：每份数×份数＝总数，间距×间隔数＝全长，它们是一样的、相通的，只是名字不同。因此知道间隔数和全长怎么求间隔数大家也是清楚的吧。今天我们来学习两端都不植树的情况。

二、新授

师：打开课本第118页，齐读例2的题目。

师：题目告诉我们绿化队要做什么？怎么理解两旁、两馆之间？问题是什么？

生1：绿化队要在两个馆之间植树。

生2：两旁指的是路的两边。

师：现在大家都合上数学书，把所有的精力都用在解题上。因为是两边都栽，两边栽的情况相同，所以我们可以先研究一边。如果有障碍我们还能够两边都植吗？

生（齐）：不行。

师：所以我们要空一个间隔，为了简单，画图的时候我们用线段表示。题目中是60米的小路，我们化繁为简，把60米的路画成6米。假设我们3米植一棵，2米植一棵，1米植一棵，会怎样？

师：通过去找间隔数与棵树的关系你发现了什么？

生3：间隔数-1＝棵树。

师：因为我们研究的是两端都不植，因此要加上两端都不植。

板书：两端都不植：间隔数-1＝棵树。

师：回到原题，先在书上画出全长和间距，第一步求间隔数是几，第二步求棵树是几，第三步求两边都种要多少棵树。

因此列式为（板书）：

第一步：间隔数是几？

全长÷间距＝间隔数

60÷3＝20

第二步：棵树是几？

20-1＝19（棵）

第三步：两边都种要多少棵？

19×2＝38（棵）

师：总结：两端都植树时：间隔数＋1＝棵树。

两端都不植树：间隔数-1＝棵树，自己默默记一记。

师：（比手势，把手掌立起表示两端都栽，放平表示两端都不栽）帮助学生记忆。

该教师先把上一次课学习过的公式及公式的变形做了复习，并将公式与已经学习过的每份数×份数＝总数相联系。在讲授例2的过程中，非常重视学生对一些易混淆的概念进行理解，在探究的过程中重视思考、方法，化繁为简，以线段图将植树的情况表示出来，引导学生观察，从中发现了两端都不植时棵树与间隔数的关系，最后回到原题一步一步运用发现的规律解决问题，其步骤清晰、有条理。

师：除了这两种情况，还会有什么情况？

生（齐）：一端栽，一端不栽。

师：我们一起来看看这个时候棵树与间隔数有什么关系呢？还是画线段图，还是6米长，每隔2米、3米各种一棵。

师：因此在只植一端的情况下，间隔数＝棵树。

师：给大家3分钟，看谁能够快速地记忆这三种情况下棵树与间隔数的关系。

生4：作图。

该教师在第三课时教学两端都不植的情况时，将只植一端的情况一起教学，同样采用画线段图观察的方式，找出了棵数与间隔数的关系。最后该教师注重学生学习之后对这三种情况下棵树与间隔数关系的记忆，采用直观的方式帮助学生记忆。

第四课时：

黑板上两个例题：

例1：一根木头长10米，要把它平均分成5段，每锯下一段要8分钟，锯完一共要花多少分钟？

例2：一栋楼有四层，每上一层楼要12级台阶，小明从一楼到4楼，一共需要上几级台阶？

一、复习导入

画图复习前面学习过的三种情况：

师：记不得的时候怎么办？

生：画个植树的简图或者画一个线段图。

二、新授

师：这节课要学习的是：第一要判断它是不是植树问题；第二要判断它是什么情况；第三要能根据规律解答题目。

例1教学：

师：全班读题，读完后根据你的第一感觉判断这是一个什么题。它和我们的植树问题有什么联系？

生（齐）：植树问题。

师：是的，此题中的问题可以转换成植树问题，老师用一支粉笔表示一根木头，看着老师是怎么锯的。

生（齐）：一段、两段……

师：现在，我们用一根线段来表示木头，我们会在端点去锯吗？

生1：不行，我们只能够在这个表示木头的线段的中间锯。

师：那锯成5段，每一段到底要多少米？

生2：告诉了全长和间隔数，5段就是间隔数，求间距。

第一步就是：间距是几，用10÷5＝2。

师：每隔2米就要锯一次，第一个2米处锯一次，第二个2米处锯一次……

师：所以以后遇到锯木头的题怎么办？

生（齐）：画图。

师：从刚才的分析看，锯一次相当于种了一棵树，段数等于间隔数，所以我们可以总结出，锯木头相当于植树问题中两端都不植的情况。所以在做这种题目时，重要的是找出锯了几次。

师：列式为：第一步：锯了几次？（棵树是几）

5-1＝4（次）

第二步：共用多少时间？

8×4＝32（分）

师：通过刚刚这道题，你知道了什么？

生3：锯木头是植树问题里面两端都不栽的情况，求这一类题目用两端都不栽的公式就可以。

师：打开课本第119页，把结论写在书上，然后做优化61页中的第二大题里的第五小题。

例2教学：

师：自己读题，然后思考，想一想第一层要爬吗？

生4：1楼教室不用爬，我们可以用画图的方法来做。

师：那相当于植树问题的哪种情况？

生5：两端都不栽。列式为，第一步：爬了几次楼梯？

4-1＝3次

第二步：一共要上几级？

3×12＝36级

师：谁能够总结一下我们今天学习的这两个题目？

生6：它们都是两端都不植的情况。

第四课时，该教师的设计是对前面三节课所学习公式的综合运用，例题选取了学生迁移运用存在困难的锯木头和爬楼梯。因此该教师一开始就告诉学生，要先判断它是植树问题，然后判断是植树问题中的哪一种情况。教师在运用知识前都很注重对公式的复习、巩固和记忆，在讲授例题的过程中都很直观，采用了实物粉笔和线段图，帮助学生建立起锯木头和爬楼梯都是两端都不栽的情况的认识。

该教师第一课时、第三课时与第五课时是对应教材上的三个例题设计的新课，第二课时有的老师放在第一课时一起完成。由于该教师非常注重学生对这些公式的掌握，因此单独用一个课时完成，第四课时是将知识用在非常典型的几个模型中。从该教师的课堂设计和上课的方式可以看出：该教师以双基教学为目标，非常重视基本知识、基本技能的掌握。

3.针对数学广角教学的访谈

研究者：老师，您怎么看待数学广角的教学？

数学广角学生难学，教师也难教。作为公开课，这一内容在其他班上过，学生上课的反应很好，但是依旧不会做题。所以我就采用了今天这样的教学设计。有些教师自己都不太明白教学内容设计的意图和价值，如我们学校的教师，对这个内容的学习主要是新教师听老教师的课，从老教师那里学习。虽然每学期我们学校都组织教研活动，比如本学期的教研内容就是植树问题，但是我们主要的意图还是老教师指导新教师，帮助新教师解决困难，所以对于这部分教学难以有新的突破。

研究者：老师，您设计这个课的时候是怎么想的呢？

教师D：我没有让学生都去活动，而是直接画出了线段图，学生很容易就发现了规律，其实发现这个规律不难，但是在实际的题目中运用这几个规律特别难，尤其是好多学生会找不准间距、间隔数，因此我特别注重让学生都画下来并标注好，这样可以保证他们套用公式时少出问题。在第四次课中设计的问题是奥数题，学生难理解，但是期末考会考到，以我以前的经验看，即使在考前复习了，期末考试中也最多只有三分之二的人会做对。

研究者：老师，那您认为学生学习植树问题这个内容时存在的困难是什么呢？

教师D：主要还是不能够灵活地运用公式，基本的还好，但是稍微变一下，很多学生就不会解答了，而且有时候不能够把题目与植树问题相联系，或者不能够判断题目属于三种情况中的哪一种，封闭图形植树也是一样的，从优化所做的练习来看，还有一大部分人没有理解，做不到知识的迁移。

研究者：老师，您怎么看待学生学习完这一内容之后的检测？

教师D：期末考试就考一道题，最多两题，一般上过之后不会做单元测试，也没有试卷讲评，只有到了期末的时候会回顾这些典型的题目，还有，在期末复习卷中出现的题，我会在课堂上讲一遍。我用了5个课时教学这个内容，已经算是很重视这个内容了，有些老师都不上这个内容，只是临近期末考试才开始做些题、背背公式。

研究者：老师，我们都知道数学广角有一个重要的目的，而且在现在的《课程标准》（2011）中也明确指出了发展学生的思维与积累活动经验，您是怎么看待您所在学校的思维渗透情况的呢？

教师D：我觉得还是基础的知识重要，学生的思维发展不能够离开具体的内容，所以我觉得教学中还是要先扎实地掌握基础知识，毕竟考试只用成绩来衡量教师的教学。而且思维的渗透，听上去是很容易的，似乎大家都懂，课改这么多年了，对这些概念老师们虽然耳熟能详，但还是太抽象，我们一线教师还是不太能理解透。我就不喜欢去参加那些公开课的比赛，以前参加的时候，也不完全是自己设计的课，到最后课里面融入了很多的东西。比如你刚刚说的思想方法渗透的体现，小组合作、探究学习等，但是那个都是表演的课，实际中，为了教学的效率和进度，一般是不会这样上课的。